मोत्ज़किन संख्या

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मोत्ज़किन संख्या
Named afterTheodore Motzkin
Publication year1948
Author of publicationTheodore Motzkin
No. of known termsinfinity
Formulasee Properties
First terms1, 1, 2, 4, 9, 21, 51
OEIS index

गणित में, nवें मोट्ज़किन नंबर के बीच गैर-प्रतिच्छेदी कॉर्ड (ज्यामिति) खींचने के विभिन्न तरीकों की संख्या है n एक वृत्त पर बिंदु (जरूरी नहीं कि प्रत्येक बिंदु को एक तार से स्पर्श किया जाए)। मोट्ज़किन संख्याओं का नाम थिओडोर मोत्ज़किन के नाम पर रखा गया है और ज्यामिति, साहचर्य और संख्या सिद्धांत में इसके विविध अनुप्रयोग हैं।

मोत्ज़किन संख्याएँ के लिए अनुक्रम बनाएं:

1, 1 (संख्या), 2 (संख्या), 4 (संख्या), 9 (संख्या), 21 (संख्या), 51 (संख्या), 127 (संख्या), 323, 835, ... (sequence A001006 in the OEIS)

उदाहरण

निम्नलिखित चित्र एक वृत्त पर 4 बिंदुओं के बीच गैर-प्रतिच्छेदी जीवाएँ खींचने के 9 तरीके दिखाता है (M4 = 9):

MotzkinChords4.svgनिम्नलिखित चित्र एक वृत्त पर 5 बिंदुओं के बीच गैर-प्रतिच्छेदी जीवाएँ खींचने के 21 तरीके दिखाता है (M5 = 21):
MotzkinChords5.svg

गुण

मोत्ज़किन संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंधों को संतुष्ट करती हैं

मोट्ज़किन संख्याओं को द्विपद गुणांक और कैटलन संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

और इसके विपरीत,[1]

यह देता है

उत्पन्न करने वाला कार्य मोत्ज़किन संख्याएँ संतुष्ट करती हैं

और स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है

मोट्ज़किन संख्याओं का एक अभिन्न प्रतिनिधित्व किसके द्वारा दिया गया है

.

उनका व्यवहार स्पर्शोन्मुख है

.

मोट्ज़किन अभाज्य एक मोट्ज़किन संख्या है जो अभाज्य संख्या है। As of 2019, केवल चार ऐसे अभाज्य ज्ञात हैं:

2, 127, 15511, 953467954114363 (sequence A092832 in the OEIS)

संयुक्त व्याख्याएँ

के लिए मोट्ज़किन नंबर n लंबाई के धनात्मक पूर्णांक अनुक्रमों की संख्या भी है n − 1 जिसमें प्रारंभिक और अंतिम तत्व या तो 1 या 2 हैं, और किन्हीं दो लगातार तत्वों के बीच का अंतर −1, 0 या 1 है। समान रूप से, मोत्ज़किन संख्या n लंबाई के धनात्मक पूर्णांक अनुक्रमों की संख्या है n + 1 जिसमें प्रारंभिक और अंतिम तत्व 1 हैं, और किन्हीं दो लगातार तत्वों के बीच का अंतर −1, 0 या 1 है।

इसके अलावा, मोट्ज़किन नंबर के लिए n निर्देशांक (0, 0) से समन्वय () तक ग्रिड के ऊपरी दाएं चतुर्थांश पर मार्गों की संख्या देता हैn, 0) में n कदम यदि किसी को प्रत्येक कदम पर केवल दाईं ओर (ऊपर, नीचे या सीधे) जाने की अनुमति है लेकिन नीचे डुबकी लगाने से मना किया गया है y = 0 अक्ष.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आंकड़ा (0, 0) से (4, 0) तक 9 वैध मोत्ज़किन पथ दिखाता है:

Motzkin4.svgजैसा कि गणना की गई है, गणित की विभिन्न शाखाओं में मोट्ज़किन संख्याओं की कम से कम चौदह अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ हैं Donaghey & Shapiro (1977) मोत्ज़किन संख्याओं के अपने सर्वेक्षण में।

Guibert, Pergola & Pinzani (2001) दिखाया गया है कि वेक्सिलरी इन्वोल्यूशन की गणना मोट्ज़किन संख्याओं द्वारा की जाती है।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. Yi Wang and Zhi-Hai Zhang (2015). "सामान्यीकृत मोट्ज़किन संख्याओं का संयोजन" (PDF). Journal of Integer Sequences (18).


बाहरी संबंध