सामान्य रैखिक विधियाँ

Not to be confused with सामान्य रैखिक प्रारूपएस या सामान्यीकृत रैखिक प्रारूपएस.

सामान्य रैखिक विधियाँ (जीएलएम) संख्यात्मक विधियों का एक बड़ा वर्ग है जिसका उपयोग साधारण अवकल समीकरणों के संख्यात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। उनमें बहुपद रनगे-कुट्टा विधियां सम्मिलित हैं जो मध्यवर्ती साहचर्य बिंदुओं का उपयोग करती हैं, साथ ही रैखिक बहुपद विधियां जो समाधान के सीमित समय की हिस्ट्री को बचाती हैं। जॉन सी. बुचर ने मूल रूप से इन विधियों के लिए यह शब्द निर्मित किया था, और उन्होंने इस विषय पर समीक्षा पत्रों की एक श्रृंखला, एक पुस्तक अध्याय और एक पाठ्यपुस्तक लिखी है। उनके सहयोगी, ज़ेडज़िस्लाव जैकीविक्ज़ के पास भी इस विषय पर एक व्यापक पाठ्यपुस्तक है। विधियों का मूल वर्ग मूल रूप से बुचर (1965), गियर (1965) और ग्रैग और स्टेटर (1964) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

कुछ परिभाषाएँ

प्रथम-क्रम सामान्य अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों फॉर्म की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के अनुमानित समाधान

$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

परिणाम अलग-अलग समय $t_{i}$पर $y(t)$ के मान का सन्निकटन है,

$y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,$

जहां h समय चरण है (कभी-कभी इसे $\Delta t$ कहा जाता है)|

विधि का विवरण

हम अपने विवरण के लिए बुचर (2006), पृष्ठ 189-190 का अनुसरण करते हैं, हालाँकि हम ध्यान दें कि यह विधि अन्यत्र पाई जा सकती है।

सामान्य रैखिक विधियाँ दो पूर्णांकों का उपयोग करती हैं, $r$, इतिहास में समय बिंदुओं की संख्या और $s$, साहचर्य बिंदुओं की संख्या। $r=1$ की स्थिति में, ये विधियाँ चिरप्रतिष्ठित रनगे-कुट्टा विधियों में बदल जाती हैं, और $s=1$ की स्थिति में, ये विधियाँ रैखिक बहुपद विधियों में कम हो जाती हैं।

चरण मानों $Y_{i}$ और चरण अवकलजों, $F_{i},i=1,2,\dots s$ की गणना समय चरण $n$ पर सन्निकटनों, $y_{i}^{[n-1]},i=1,\dots ,r$ से की जाती है,

$y^{[n-1]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n-1]}\\y_{2}^{[n-1]}\\\vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{matrix}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{matrix}}\right],\quad Y=\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{s}\end{matrix}}\right],\quad F=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}f(Y_{1})\\f(Y_{2})\\\vdots \\f(Y_{s})\end{matrix}}\right].$

चरण मान दो आव्यूहों द्वारा परिभाषित किए गए हैं, $A=[a_{ij}]$ और $U=[u_{ij}]$:

$Y_{i}=\sum _{j=1}^{s}a_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}u_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,s,$

और समय $t^{n}$ का अद्यतन दो आव्यूहों, $B=[b_{ij}]$ और $V=[v_{ij}]$द्वारा परिभाषित किया गया है,

$y_{i}^{[n]}=\sum _{j=1}^{s}b_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}v_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,r.$

चार आव्यूहों $A,U,B$ और $V$ को देखते हुए, कोई बुचर टैब्लो के अनुरूप को इस प्रकार लिख सकता है,

$\left[{\begin{matrix}Y\\y^{[n]}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A\otimes I&U\otimes I\\B\otimes I&V\otimes I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}hF\\y^{[n-1]}\end{matrix}}\right],$

जहां $\otimes$ का अर्थ प्रदिश गुणनफल है।

उदाहरण

हम (बुचर, 1996) में वर्णित एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। इस विधि में एक 'पूर्वानुमानित' चरण और 'संशोधित' चरण सम्मिलित है, जो समय इतिहास के बारे में अतिरिक्त जानकारी के साथ-साथ एक मध्यवर्ती चरण मान का उपयोग करता है।

एक मध्यवर्ती चरण मान को किसी ऐसी चीज़ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ऐसा दिखता है जैसे यह एक रैखिक बहुपद विधि से आया हो:

$y_{n-1/2}^{*}=y_{n-2}+h\left({\frac {9}{8}}f(y_{n-1})+{\frac {3}{8}}f(y_{n-2})\right).$

एक प्रारंभिक 'पूर्वानुमानित' $y_{n}^{*}$ समय इतिहास के दो भागों के साथ $y_{n-1/2}^{*}$ का उपयोग करता है,

$y_{n}^{*}={\frac {28}{5}}y_{n-1}-{\frac {23}{5}}y_{n-2}+h\left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f(y_{n-2})\right),$

और अंतिम अद्यतन इसके द्वारा दिया गया है,

$y_{n}={\frac {32}{31}}y_{n-1}-{\frac {1}{31}}y_{n-2}+h\left({\frac {5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4}{31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\right).$

इस विधि के लिए संक्षिप्त तालिका निरूपण इस प्रकार दिया गया है:

$\left[{\begin{array}{ccc|cccc}0&0&0&0&1&{\frac {9}{8}}&{\frac {3}{8}}\\{\frac {32}{15}}&0&0&{\frac {28}{5}}&-{\frac {23}{5}}&-4&-{\frac {26}{15}}\\{\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\\hline {\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right].$

यह भी देखें

• रंज-कुट्टा विधियाँ
• रैखिक बहुपद विधियाँ
• साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ

संदर्भ

• Butcher, John C. (January 1965). "A Modified Multistep Method for the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations". Journal of the ACM. 12 (1): 124–135. doi:10.1145/321250.321261. S2CID 36463504.
• Gear, C.W. (1965). "Hybrid Methods for Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis. 2 (1): 69–86. Bibcode:1965SJNA....2...69G. doi:10.1137/0702006. hdl:2027/uiuo.ark:/13960/t4rj60q8s. S2CID 122744897.
• Gragg, William B.; Hans J. Stetter (April 1964). "Generalized Multistep Predictor-Corrector Methods". Journal of the ACM. 11 (2): 188–209. doi:10.1145/321217.321223. S2CID 17118462.
• Hairer, Ernst; Wanner, Wanner (1973), "Multistep-multistage-multiderivative methods for ordinary differential equations", Computing, 11 (3): 287–303, doi:10.1007/BF02252917, S2CID 25549771.

बाहरी संबंध

• General Linear Methods