सरल क्षेत्र
ज्यामिति और साहचर्य में, एक सरल (या कॉम्बिनेटरियल) डी-स्फीयर एन-स्फीयर|डी-आयामी क्षेत्र के लिए एक सरल जटिल होम्योमॉर्फिक है। कुछ सरल गोले उत्तल पॉलीटोप्स की सीमाओं के रूप में उत्पन्न होते हैं, हालाँकि, उच्च आयामों में अधिकांश सरल गोले इस तरह से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।
क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण खुली समस्या पीटर मैकमुलेन द्वारा तैयार किया गया जी-अनुमान था, जो एक सरल क्षेत्र के विभिन्न आयामों के चेहरों की संभावित संख्या के बारे में पूछता है। दिसंबर 2018 में, तर्कसंगत होमोलॉजी क्षेत्रों के अधिक सामान्य संदर्भ में जी-अनुमान को करीम आदिप्रासिटो द्वारा सिद्ध किया गया था।[1][2]
उदाहरण
- किसी भी n ≥ 3 के लिए, चक्र ग्राफ़|सरल n-चक्र Cn एक सरल वृत्त है, अर्थात आयाम 1 का एक सरल क्षेत्र। यह निर्माण सभी सरल वृत्तों का निर्माण करता है।
- R में उत्तल बहुफलक की सीमा3त्रिकोणीय फलकों के साथ, जैसे अष्टफलक या विंशतिफलक, एक सरल 2-गोला है।
- अधिक आम तौर पर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी (डी+1)-आयामी सघन स्थान (या घिरा हुआ सेट) सरल उत्तल पॉलीटोप की सीमा एक सरल डी-क्षेत्र है।
गुण
यह यूलर विशेषता | यूलर के सूत्र से इस प्रकार है कि n शीर्षों वाले किसी भी सरल 2-गोले में 3n - 6 किनारे और 2n - 4 फलक होते हैं। n = 4 का मामला चतुष्फलक द्वारा साकार होता है। बैरीसेंट्रिक उपखंड को बार-बार निष्पादित करके, किसी भी n ≥ 4 के लिए एक सरल क्षेत्र का निर्माण करना आसान है। इसके अलावा, अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ ने 'आर' में उत्तल पॉलीटोप्स के 1-स्केलेटा (या किनारे ग्राफ) की एक स्टीनित्ज़ प्रमेय | विशेषता दी है।3 इसका अर्थ यह है कि कोई भी सरल 2-गोला एक उत्तल पॉलीटोप की सीमा है।
ब्रैंको ग्रुनबाम ने एक गैर-पॉलीटोपल सरल क्षेत्र का एक उदाहरण बनाया (अर्थात, एक सरल क्षेत्र जो एक पॉलीटोप की सीमा नहीं है)। गिल कलाई ने साबित किया कि, वास्तव में, अधिकांश सरल क्षेत्र गैर-बहुपद हैं। सबसे छोटा उदाहरण आयाम d = 4 का है और इसमें f है0 = 8 शीर्ष.
ऊपरी सीमा प्रमेय संख्याओं f के लिए ऊपरी सीमा देता हैi एफ के साथ किसी भी सरल डी-क्षेत्र के आई-फेस का0 = n शीर्ष. यह अनुमान 1970 में पीटर मैकमुलेन द्वारा सरल उत्तल पॉलीटोप्स के लिए सिद्ध किया गया था[3] और 1975 में सामान्य सरल क्षेत्रों के लिए रिचर्ड पी. स्टेनली द्वारा।
1970 में मैकमुलेन द्वारा तैयार किया गया जी-अनुमान, सरल डी-क्षेत्रों के एफ-वेक्टरों के संपूर्ण लक्षण वर्णन के लिए कहता है। दूसरे शब्दों में, एक सरल डी-गोले के लिए प्रत्येक आयाम के चेहरों की संख्या का संभावित क्रम क्या है? बहुपदीय क्षेत्रों के मामले में, उत्तर जी-प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसे 1979 में बिलेरा और ली (अस्तित्व) और स्टेनली (आवश्यकता) द्वारा सिद्ध किया गया था। यह अनुमान लगाया गया है कि सामान्य सरल क्षेत्रों के लिए समान स्थितियाँ आवश्यक हैं। यह अनुमान दिसंबर 2018 में करीम एडिप्रासिटो द्वारा सिद्ध किया गया था।[1][2]
यह भी देखें
- डेन-सोमरविले समीकरण
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Adiprasito, Karim (2019). "सकारात्मकता से परे कॉम्बिनेटोरियल लेफ्शेट्ज़ प्रमेय". arXiv:1812.10454.
- ↑ 2.0 2.1 Kalai, Gil (2018-12-25). "Amazing: Karim Adiprasito proved the g-conjecture for spheres!". Combinatorics and more (in English). Retrieved 2018-12-25.
- ↑ McMullen, P. (1971). "उत्तल पॉलीटोप्स के लिए ऊपरी सीमा वाले अनुमान पर". Journal of Combinatorial Theory, Series B. 10: 187–200. doi:10.1016/0095-8956(71)90042-6.
- Stanley, Richard (1996). Combinatorics and commutative algebra. Progress in Mathematics. Vol. 41 (Second ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3836-9.
