सहसंयोजन विधि

गणित में, सहसंयोजन विधि साधारण अंतर समीकरणों, आंशिक अंतर समीकरणों और अभिन्न समीकरणों के संख्यात्मक विश्लेषण समाधान के लिए एक विधि है। विचार यह है कि उम्मीदवार समाधानों का एक परिमित-आयामी स्थान (आमतौर पर एक निश्चित डिग्री तक बहुपद) और डोमेन में कई बिंदु (जिन्हें कोलोकेशन पॉइंट कहा जाता है) चुनना है, और उस समाधान का चयन करना है जो कोलोकेशन बिंदुओं पर दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

साधारण अवकल समीकरण

मान लीजिए कि साधारण अंतर समीकरण

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},$

अंतराल पर हल किया जाना है $[t_{0},t_{0}+c_{k}h]$. चुनना $c_{k}$ 0 ≤ सी से₁< सी₂< … < सी_n ≤ 1.

संगत (बहुपद) संयोजन विधि डिग्री n के बहुपद p द्वारा समाधान y का अनुमान लगाती है जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है $p(t_{0})=y_{0}$, और विभेदक समीकरण $p'(t_{k})=f(t_{k},p(t_{k}))$ सभी सहसंयोजन बिंदुओं पर $t_{k}=t_{0}+c_{k}h$ के लिए $k=1,\ldots ,n$. यह n + 1 स्थितियाँ देता है, जो डिग्री n के बहुपद को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक n + 1 मापदंडों से मेल खाता है।

ये सभी संयोजन विधियाँ वास्तव में अंतर्निहित रंज-कुट्टा विधियाँ हैं। गुणांक सी_k रनगे-कुट्टा पद्धति की कसाई झांकी में सहसंयोजन बिंदु हैं। हालाँकि, सभी अंतर्निहित रंज-कुट्टा विधियाँ सह-संयोजन विधियाँ नहीं हैं।

उदाहरण: समलम्बाकार नियम

उदाहरण के तौर पर, दो सहसंयोजन बिंदु c चुनें₁ = 0 और सी₂ = 1 (इसलिए एन = 2)। सहसंयोजन स्थितियाँ हैं

$p(t_{0})=y_{0},\,$

$p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,$

$p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h)).\,$

तीन शर्तें हैं, इसलिए p को घात 2 का बहुपद होना चाहिए। फॉर्म में p लिखें

$p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,$

गणनाओं को सरल बनाने के लिए. फिर गुणांक देने के लिए संयोजन स्थितियों को हल किया जा सकता है

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}$

संयोजन विधि अब (स्पष्ट रूप से) द्वारा दी गई है

$y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,$

कहां क्यों₁ = पी(टी₀+ h) t = t पर अनुमानित समाधान है₁ = टी₀+ एच.

इस विधि को अंतर समीकरणों के लिए ट्रैपेज़ॉइडल नियम (अंतर समीकरण) के रूप में जाना जाता है। दरअसल, इस विधि को अंतर समीकरण को दोबारा लिखकर भी प्राप्त किया जा सकता है

$y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,$

और अभिन्नों के लिए समलम्बाकार नियम द्वारा दाहिनी ओर अभिन्न का अनुमान लगाना।

अन्य उदाहरण

गॉस-लीजेंडर विधियां गॉस-लीजेंडर चतुर्भुज के बिंदुओं को सहसंयोजन बिंदु के रूप में उपयोग करती हैं। s बिंदुओं पर आधारित गॉस-लीजेंडर विधि का क्रम 2s है। सभी गॉस-लीजेंडर विधियाँ ए-स्थिरता|ए-स्थिर हैं। वास्तव में, कोई यह दिखा सकता है कि सहसंयोजन विधि का क्रम चतुर्भुज नियम के क्रम से मेल खाता है जो कि सहसंयोजन बिंदुओं को भार के रूप में उपयोग करने से प्राप्त होगा।

ऑर्थोगोनल संयोजन विधि

प्रत्यक्ष संयोजन विधि में, हम अनिवार्य रूप से टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों (जैसे कि ट्रैपेज़ॉइडल नियम में), या घन कार्यों, या अन्य टुकड़े-टुकड़े बहुपद कार्यों के परिमित-आयामी उप-स्थान के साथ परिवर्तनीय कैलकुलस का प्रदर्शन कर रहे हैं। ऑर्थोगोनल कोलोकेशन विधि में, हम इसके बजाय कुछ ऑर्थोगोनल बहुपदों के आधार पर पहले एन वैक्टर द्वारा फैलाए गए परिमित-आयामी उप-स्थान का उपयोग करते हैं, जैसे कि लीजेंड्रे बहुपद।

संदर्भ

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-412-8.
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.
• Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
• Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua (2009), "A rational spectral collocation method for solving a class of parameterized singular perturbation problems", Journal of Computational and Applied Mathematics, 233 (10): 2652–2660, doi:10.1016/j.cam.2009.11.011.