आर्किमिडीज़ का ट्रैमेल

आर्किमिडीज़ का बंधन अनुप्राणित प्रतिरूप।

आर्किमिडीज़ का बंधन एक तंत्र (इंजीनियरिंग) है जो दीर्घवृत्त का आकार उत्पन्न करता है। इसमें दो तुरी होते हैं जो लंबवत प्रणाल या छड़ तक सीमित (बंधन) रखे जाते हैं और एक छड़ी होती है जो छड़ी के साथ निश्चित स्थानों पर केंद्रबिंदु द्वारा तुरी से जुड़ी होती है।

जैसे ही तुरी अपने प्रणाल के साथ आगे-पीछे चलती हैं, छड़ी पर सभी बिंदु अण्डाकार पथ में चलते हैं। छड़ की गति को अण्डाकार गति कहा जाता है। दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष a और b की लंबाई छड़ पर बिंदु से प्रत्येक दो धुरी तक की दूरी के बराबर होती है।

धुरी द्वारा वर्णित सीधी रेखाएँ दीर्घवृत्त की विशेष स्तिथियाँ हैं, जहाँ एक अक्ष की लंबाई धुरी के बीच की दूरी से दोगुनी है और दूसरे की लंबाई शून्य है। दो धुरी द्वारा परिभाषित व्यास वाले वृत्त पर सभी बिंदु ऐसी सीधी रेखाओं में परस्पर मिलते हैं। यह वृत्त तुसी जोड़े के छोटे वृत्त से मेल खाता है।

धुरी के बीच का बिंदु उस बिंदु के चारों ओर एक वृत्त में परिक्रमा करता है जहां प्रणाल पार करते हैं। यह वृत्त भी दीर्घवृत्त की एक विशेष स्तिथि है। यहां अक्षों की लंबाई समान है। वृत्त का व्यास धुरी के बीच की दूरी के बराबर है। कक्षा के चारों ओर यात्रा की दिशा ट्रामेल के घूमने की भावना के विपरीत है। इस प्रकार, यदि प्रणाल के प्रतिच्छेद बिंदु पर केंद्रित वक्रोक्ति का उपयोग ट्रामेल को चलाने के लिए मध्य बिंदु पर संलग्न करने के लिए किया जाता है, तो क्रैंकपिन और बंधन का घूर्णन बराबर और विपरीत होता है, जिसके परिणामस्वरूप व्यावहारिक अनुप्रयोगों में अतिरिक्त घर्षण होता है और त्वरित घिसाव होता है। यह केंद्रबिंदु की केवल 1/4 यात्रा के वक्रोक्ति के कम प्रक्षेप के कारण उच्च बलों द्वारा मिश्रित होता है।

अनुचित ग्राइंडर खिलौना (सीए. 1960)

आर्किमिडीज़ के बंधन के लकड़ी के संस्करणों को दीर्घवृत्त खींचने या काटने के लिए उपकरणों के रूप में तैयार किया गया है, जिन्हें दीर्घवृत्तचित्र के रूप में जाना जाता है। संस्करण खिलौने या विलक्षणता वस्तुओं के रूप में भी बनाए जाते हैं (केंटकी डू-नथिंग्स, नथिंग ग्राइंडर, डू नथिंग मशीन, स्मोक ग्राइंडर, या बुलशिट ग्राइंडर के नाम से बेचे जाते हैं)। इन खिलौनों में आलेखन उपकरण को वक्रोक्ति (तंत्र) हस्तक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और विसर्पण तुरी की स्थिति सामान्यतः तय की जाती है.

गणित

Concept

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  दीर्घवृत्तचित्र के रूप में आर्किमिडीज़ का ट्रैमेल

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  आरेख

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  आर्किमिडीज़ के ट्रामेल के साथ और उससे आगे कुछ बिंदुओं का बिंदुपथ, हरा वृत्त इसके मध्यबिंदु का बिंदुपथ है - SVG फ़ाइल में, ट्रैमेल को स्थानांतरित करने के लिए संकेतक को आरेख पर ले जाएं

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  तीन सर्पक के साथ आर्किमिडीज़ का ट्रैमेल

होने देना C छड़ का बाहरी सिरा हो, और A, B सर्पक की धुरी बनें। होने देना AB और BC से दूरियां हो A को B और B को C, क्रमश। आइए मान लें कि स्लाइडर A और B के साथ आगे बढ़ें y और x कार्टेशियन क्रमशः अक्षों का समन्वय करता है। जब छड़ एक कोण बनाती है θ x-अक्ष के साथ, बिंदु के निर्देशांक C द्वारा दिए गए हैं

$x=(AB+BC)\cos \theta \,$

$y=BC\sin \theta \,$

ये विहित स्थिति में दीर्घवृत्त के लिए मानक पैरामीट्रिक समीकरण के रूप में हैं। आगे का समीकरण

${\frac {x^{2}}{(AB+BC)^{2}}}+{\frac {y^{2}}{(BC)^{2}}}=1$

सन्निहित भी है।

आर्किमिडीज़ का ट्रैमेल दो सर्पक और दो केंद्रबिंदु के साथ चार-बार लिंकेज का एक उदाहरण है, और अधिक सामान्य तिरछे ट्रैमेल की विशेष स्तिथि है। धुरी को बाधित करने वाली अक्षों को लंबवत नहीं होना चाहिए और बिंदु ए, बी और सी एक त्रिकोण बना सकते हैं। C का परिणामी स्थान अभी भी एक दीर्घवृत्त है।

दीर्घवृत्तचित्र

लकड़ी का दीर्घवृत्तचित्र (सीए. 1900) अब स्मिथसोनियन इंस्टीट्यूशन एलिप्सोग्राफ में है

जिनेवा शहर के विज्ञान के इतिहास के संग्रहालय में प्रदर्शन पर एलिप्सोग्राफ

एक दीर्घवृत्तचित्र आर्किमिडीज का एक बंधन है जिसका उद्देश्य दीर्घवृत्त को खींचना, काटना या दीर्घवृत्त करना है, उदाहरण के लिए लकड़ी या अन्य शीट सामग्री। दीर्घवृत्ताकार में छड़ से जुड़ा उपयुक्त उपकरण (पेंसिल, चाकू, लकड़ी का अनुर्मागक, आदि) होता है। सामान्यतः दूरियाँ a और b समायोज्य होती हैं, ताकि दीर्घवृत्त का आकार और आकार भिन्न हो सके।

ऐसे दीर्घवृत्तचित्रों का इतिहास निश्चित नहीं है, लेकिन माना जाता है कि वे प्रोक्लस और संभवतः आर्किमिडीज़ के समय के भी हैं।

यह भी देखें

• किरण कम्पास
• बॉर्के इंजन
• जॉन फ़ेरी जूनियर.
• हाइपोसाइक्लोइड
• हाइपोट्रोकॉइड
• तुसी युग्म
• निर्थक मशीन
• स्कॉट रसेल लिंकेज

संदर्भ

• J. W. Downs: Practical Conic Sections: The Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. Courier Dover 2003, ISBN 978-0-486-42876-5, pp. 4–5 (restricted online copy, p. 4, at Google Books)
• I. I. Artobolevskii Mechanisms for the Generation of Plane Curves. Pergamon Press 1964, ISBN 978-1483120003.

बाहरी संबंध

• Video of various trammel designs in action
• Cutting ellipses in wood
• Photo of a Kentucky Do-Nothing
• Instructions on how to build a Kentucky Do-Nothing
• Video of a Do-Nothing made from Lego bricks
• "Wonky Trammel of Archimedes" An exploration of a generalized trammel.
• US-Patent 4306598 for ellipse cutting guide allowing small ellipses
• Secrets of the Nothing Grinder YouTube video by Mathologer