केंद्रीय द्विपद गुणांक

पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7. केंद्रीय स्तंभ में संख्याएँ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं।

गणित में nवां 'केंद्रीय द्विपद गुणांक' विशेष द्विपद गुणांक है

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {n+k}{k}}{\text{ for all }}n\geq 0.$

उन्हें केंद्रीय कहा जाता है क्योंकि वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं। n = 0 से शुरू होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (sequence A000984 in the OEIS)

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण

केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$, द्विपद गुणांक ${\binom {2\cdot 2}{2}}$ 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ हैं: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA।

वही केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ ए और बी से बनी लंबाई 2एन के शब्दों की संख्या भी है जहां कभी भी अधिक बी नहीं होते हैं'sए से's किसी भी बिंदु पर जब कोई बाएं से दाएं पढ़ता है। उदाहरण के लिए, जब $n=2$, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम A की उतनी ही प्रतियां हैं जितनी B की: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।

2 इंच के गुणनखंडों की संख्या ${\binom {2n}{n}}$ n के द्विआधारी संख्या प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है। परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।

कार्य उत्पन्न करना

केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य जनक फलन है

$${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .$$

इसे द्विपद श्रृंखला और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है

$${\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}},$$

कहाँ $\textstyle {\binom {-1/2}{n}}$ एक द्विपद_गुणांक#सामान्यीकरण_और_द्विपद_श्रृंखला_से_कनेक्शन_है। केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),$$

जहां मैं₀ एक बेसेल फ़ंक्शन है। केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का जनक फलन पहले प्रकार के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {4}{\pi (1+{\sqrt {1-16x}})}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-16x}}}{1+{\sqrt {1-16x}}}}\right).$

स्पर्शोन्मुख वृद्धि

सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं $4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}$ हैं

$${\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n}{\text{ for all }}n\geq 0.$$

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$${2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.$$

इसे वालिस उत्पाद में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।

संबंधित क्रम

निकट से संबंधित कैटलन संख्या सी_n द्वारा दिए गए हैं:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ for all }}n\geq 0.$

केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें इस रूप में लेना है ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}$, उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, कहाँ $\Gamma (x)$ गामा फ़ंक्शन है और $\mathrm {B} (x,y)$ बीटा फ़ंक्शन है.

केंद्रीय द्विपद गुणांक को विभाजित करने वाले दो की शक्ति गोल्ड के अनुक्रम द्वारा दी गई है, जिसका nवां तत्व पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में विषम पूर्णांकों की संख्या है।

जनरेटिंग फ़ंक्शन का वर्ग करने से प्राप्त होता है

${\frac {1}{1-4x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}$

के गुणांकों की तुलना करना $x^{n}$ देता है

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}$

उदाहरण के लिए, $64=1(20)+2(6)+6(2)+20(1)$. (sequence A000302 in the OEIS)

अन्य जानकारी

केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा $\textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}$ (के लिए $n>0$) (sequence A001700 in the OEIS) वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।

एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक वर्गमुक्त पूर्णांक नहीं है।

$\textstyle {\binom {2n}{n}}$ पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग है:

${2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}$

उदाहरण के लिए, ${\tbinom {6}{3}}=20=1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}$.

एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े पैमाने पर उपयोग किया है।

एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति $(n+1)\dots (2n)$ बिलकुल है n.

यह भी देखें

• केंद्रीय त्रिपद गुणांक

संदर्भ

• Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.

बाहरी संबंध

• Central binomial coefficient at PlanetMath.