केंद्रीय द्विपद गुणांक

पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7. केंद्रीय स्तंभ में संख्याएँ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं।

गणित में nवां 'केंद्रीय द्विपद गुणांक' विशेष द्विपद गुणांक है

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {n+k}{k}}{\text{ for all }}n\geq 0.$

उन्हें केंद्रीय कहा जाता है क्योंकि वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं। n = 0 से शुरू होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (sequence A000984 in the OEIS)

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण

केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$, द्विपद गुणांक ${\binom {2\cdot 2}{2}}$ 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ हैं: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA।

वही केंद्रीय द्विपद गुणांक ${\binom {2n}{n}}$ A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब $n=2$, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम में कम से कम A की B जितनी प्रतियां हैं: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।

2 इंच के गुणनखंडों की संख्या ${\binom {2n}{n}}$ n के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है। परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।

कार्य उत्पन्न करना

केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य जनक फलन है

$${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .$$

इसे द्विपद श्रृंखला और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है

$${\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}},$$

जहाँ $\textstyle {\binom {-1/2}{n}}$एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।

केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),$$

जहां I₀ पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।

केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का जनक फलन पहले प्रकार के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {4}{\pi (1+{\sqrt {1-16x}})}}K\left({\frac {1-{\sqrt {1-16x}}}{1+{\sqrt {1-16x}}}}\right).$

स्पर्शोन्मुख वृद्धि

सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं $4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}$

$${\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n}{\text{ for all }}n\geq 0$$

है।

स्पर्शोन्मुख व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$${2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.$$

इसे वालिस उत्पाद में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।

संबंधित क्रम

निकट से संबंधित कैटलन संख्या C_n द्वारा दी गई है:

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ for all }}n\geq 0.$

केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}$ के रूप में लेना है उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, जहाँ $\Gamma (x)$ गामा फलन है और $\mathrm {B} (x,y)$ बीटा फलन है.

केंद्रीय द्विपद गुणांक को विभाजित करने वाले दो की शक्ति गोल्ड के अनुक्रम द्वारा दी गई है, जिसका nवां तत्व पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में विषम पूर्णांकों की संख्या है।

उत्पन्न फलन का वर्ग करने से प्राप्त होता है

${\frac {1}{1-4x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}$

$x^{n}$ के गुणांकों की तुलना करने देता है

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}$

उदाहरण के लिए, $64=1(20)+2(6)+6(2)+20(1)$. (sequence A000302 in the OEIS)

अन्य जानकारी

केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा $\textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}$ (के लिए $n>0$) (sequence A001700 in the OEIS) वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।

एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक वर्गमुक्त नहीं है।

$\textstyle {\binom {2n}{n}}$ पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग है:

${2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}$

उदाहरण के लिए, ${\tbinom {6}{3}}=20=1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}$.

एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े स्तर पर पर उपयोग किया है।

एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति $(n+1)\dots (2n)$ बिलकुल n है।

यह भी देखें

• केंद्रीय त्रिपद गुणांक

संदर्भ

• Koshy, Thomas (2008), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.

बाहरी संबंध

• Central binomial coefficient at PlanetMath.