गाऊसी क्यू-वितरण

This article is about the distribution introduced by Diaz and Teruel. For the Tsallis q-Gaussian, see q-Gaussian.

गणितीय भौतिकी और संभाव्यता और सांख्यिकी में, गाऊसी क्यू-वितरण संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जिसमें सीमित मामले (गणित) के रूप में, समान वितरण (निरंतर) और सामान्य वितरण | सामान्य (गाऊसी) वितरण शामिल है। . इसे डियाज़ और टेरुएल द्वारा पेश किया गया था। यह गॉसियन या सामान्य वितरण का q-एनालॉग है।

सामान्य वितरण के सीमित मामले को छोड़कर, वितरण शून्य के बारे में सममित है और परिबद्ध है। सीमित समान वितरण -1 से +1 की सीमा पर है।

परिभाषा

गाऊसी क्यू-घनत्व।

मान लीजिए कि अंतराल [0, 1) में q एक वास्तविक संख्या है। गाऊसी क्यू-वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दी गई है

$s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}$

कहाँ

$\nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},$

$c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.$

क्यू-एनालॉग [टी]_q वास्तविक संख्या का $t$ द्वारा दिया गया है

$[t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.$

घातीय फलन का q-एनालॉग q-घातीय, E है^x
_q, जो द्वारा दिया गया है

$E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}$

जहां कारख़ाने का का q-एनालॉग क्यू-फैक्टोरियल है, [n]_q!, जो बदले में दिया गया है

$[n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,$

पूर्णांक n > 2 और [1] के लिए_q! = [0]_q! = 1.

संचयी गाऊसी क्यू-वितरण।

गाऊसी क्यू-वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है

$G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}$

जहां अभिन्न प्रतीक जैक्सन अभिन्न को दर्शाता है।

समारोह जी_q द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है

$G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}$

कहाँ

$(a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).$

क्षण

गाऊसी क्यू-वितरण के क्षण (गणित) द्वारा दिए गए हैं

${\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,$

${\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,$

जहां प्रतीक [2n −1]!! द्वारा दिए गए दोहरा भाज्य का q-एनालॉग है

$[2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,$

यह भी देखें

• प्र-गाऊसी प्रक्रिया

संदर्भ

• Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "On the Gaussian q-distribution". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 358: 1–9. arXiv:0807.1918. doi:10.1016/j.jmaa.2009.04.046. S2CID 115175228.
• Diaz, R.; Teruel, C. (2005). "q,k-Generalized Gamma and Beta Functions" (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 12 (1): 118–134. arXiv:math/0405402. Bibcode:2005JNMP...12..118D. doi:10.2991/jnmp.2005.12.1.10. S2CID 73643153.
• van Leeuwen, H.; Maassen, H. (1995). "A q deformation of the Gauss distribution" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 36 (9): 4743. Bibcode:1995JMP....36.4743V. CiteSeerX 10.1.1.24.6957. doi:10.1063/1.530917. hdl:2066/141604. S2CID 13934946.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538