डी मॉर्गन के नियम

डी मॉर्गन के नियमों को वेन आरेखों के साथ दर्शाया गया है। प्रत्येक विषय में, परिणामी सेट नीले रंग की किसी भी छाया में सभी बिंदुओं का सेट होता है।

प्रस्तावात्मक कलन एवं बूलियन बीजगणित में, डी मॉर्गन के नियम, डी मॉर्गन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, परिवर्तन नियमों की जोड़ी है जो अनुमान की वैधता (तर्क) नियम दोनों हैं। इनका नाम 19वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ ऑगस्टस डीमॉर्गन के नाम पर रखा गया है। नियम तार्किक संयोजन एवं तार्किक विच्छेदन की अभिव्यक्ति को तार्किक निषेध के माध्यम से दूसरे के संदर्भ में पूरी प्रकार से अनुमति देते हैं।

नियमों को अंग्रेजी में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

• विच्छेद का निषेध निषेध का समुच्चय है
• संचय का निषेध निषेध का विच्छेद है

या

• दो समुच्चयों के मिलन का पूरक (सेट सिद्धांत) उनके पूरकों के प्रतिच्छेदन के समान है
• दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का पूरक उनके पूरकों के मिलन के समान है

या

• नहीं (ए या बी) = (ए नहीं) एवं (बी नहीं)
• नहीं (ए एवं बी) = (ए नहीं) या (बी नहीं)

जहां ए या बी समावेशी है या इसका तात्पर्य मात्र बजाय ए या बी में से कम से कम है या इसका तात्पर्य बिल्कुल ए या बी में से है।

सेट सिद्धांत एवं बूलियन बीजगणित (तर्क) में, इन्हें औपचारिक रूप से लिखा जाता है

${\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}$

जहाँ

• $A$ एवं $B$ सेट हैं,
• ${\overline {A}}$ का पूरक है $A$,
• $\cap$ इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) है, एवं
• $\cup$ संघ (सेट सिद्धांत) है.

¬φ ∨ ¬ψ एवं ¬(φ ∧ ψ) की समतुल्यता इस सत्य तालिका में प्रदर्शित की गई है।

औपचारिक भाषा में नियम इस प्रकार लिखे जाते हैं

$\neg (P\lor Q)\iff (\neg P)\land (\neg Q),$

एवं

$\neg (P\land Q)\iff (\neg P)\lor (\neg Q)$

जहाँ

• P एवं Q प्रस्ताव हैं,
• निषेध|$\neg$निषेध तर्क ऑपरेटर है (नहीं),
• तार्किक संयोजन|$\land$संयोजन तर्क संचालिका (AND) है,
• तार्किक विच्छेदन|$\lor$डिसजंक्शन लॉजिक ऑपरेटर (OR) है,
• यदि एवं केवल यदि|$\iff$ धातु विज्ञान प्रतीक है जिसका अर्थ औपचारिक प्रमाण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसे प्रायः यदि एवं केवल यदि के रूप में पढ़ा जाता है। पी एवं क्यू के लिए सही/त्रुटिपूर्ण मानों के किसी भी संयोजन के लिए, मूल्यांकन के पश्चात तीर के बाएँ एवं दाएँ पक्ष समान सत्य मान रखेंगे।

सेट घटाव ऑपरेशन के साथ डी मॉर्गन का नियम।

डी मॉर्गन के नियम का दूसरा रूप निम्नलिखित है जैसा कि सही चित्र में देखा गया है।

$A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C),$

$A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C).$

नियमों के अनुप्रयोगों में कंप्यूटर प्रोग्राम एवं डिजिटल परिपथ डिजाइन में तार्किक अभिव्यक्ति (कंप्यूटर विज्ञान) का सरलीकरण सम्मिलित है। डी मॉर्गन के नियम द्वैत (गणित) की अधिक सामान्य अवधारणा का उदाहरण हैं।

औपचारिक संकेतन

संयोजन नियम के निषेध को अनुक्रमिक संकेतन में लिखा जा सकता है:

$\neg (P\land Q)\vdash (\neg P\lor \neg Q)$,

एवं

$(\neg P\lor \neg Q)\vdash \neg (P\land Q)$.

विच्छेद नियम के निषेध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\neg (P\lor Q)\vdash (\neg P\land \neg Q)$,

एवं

$(\neg P\land \neg Q)\vdash \neg (P\lor Q)$.

अनुमान के नियम में: समुच्चयबोधक का निषेध

${\frac {\neg (P\land Q)}{\therefore \neg P\lor \neg Q}}$

${\frac {\neg P\lor \neg Q}{\therefore \neg (P\land Q)}}$

एवं विच्छेद का निषेध

${\frac {\neg (P\lor Q)}{\therefore \neg P\land \neg Q}}$

${\frac {\neg P\land \neg Q}{\therefore \neg (P\lor Q)}}$

एवं सत्य-कार्यात्मक टॉटोलॉजी (तर्क) या प्रस्तावात्मक तर्क के प्रमेय के रूप में व्यक्त किया गया:

${\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\to (\neg P\lor \neg Q),\\(\neg P\lor \neg Q)&\to \neg (P\land Q),\\\neg (P\lor Q)&\to (\neg P\land \neg Q),\\(\neg P\land \neg Q)&\to \neg (P\lor Q),\end{aligned}}$

जहाँ $P$ एवं $Q$ कुछ औपचारिक प्रणाली में व्यक्त किए गए प्रस्ताव हैं।

प्रतिस्थापन प्रपत्र

डी मॉर्गन के नियम सामान्यतः ऊपर संक्षिप्त रूप में दिखाए जाते हैं, जिसमें बाईं ओर आउटपुट का निषेध एवं दाईं ओर इनपुट का निषेध होता है। प्रतिस्थापन के लिए स्पष्ट रूप इस प्रकार बताया जा सकता है:

${\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q),\\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q).\end{aligned}}$

यह इनपुट एवं आउटपुट दोनों को विपरीत करने की आवश्यकता पर जोर देता है, साथ ही प्रतिस्थापन करते समय ऑपरेटर को भी परिवर्तित करता है।

कानूनों में महत्वपूर्ण अंतरm ($\neg (\neg p)\iff p$) दोहरा निषेध कानून है। $\mathbb {L}$, औपचारिक तर्क प्रणाली बनने के लिए: $\ p,q,r,....,\emptyset \in \mathbb {L} \$ अनुक्रम उन प्रतीकों की रिपोर्ट करता है जिन्हें पूर्व क्रम में उचित प्रकार से परिभाषित किया गया है। उसी प्रणाली में वे संयोजन हैं: $C_{|j}:x\ |\ x\in set::\{\land ,\lor ,\iff ,\vdash \}$, ज़ाहिर तौर से, $C_{|j}=set,\ x\in C_{|j}$ वैध ज्ञान है, तो $x$ संयोजन, जो -$T$ संख्या - सत्य तालिका में, मूल प्रस्ताव $x$- परमाणु अस्तित्व के संदर्भ के समान है। $x$, निश्चित रूप से $\forall x:(\mathbb {L} \vDash \forall c\subsetneq C_{|j},\ x\in c)$ ज्ञान के अनुसार । हमने तुल्यता सिद्धांत पर विचार किया, तर्क पर। इस बिंदु पर, डी मॉर्गन नियम परमाणु संदर्भ में ऊपर या नीचे की ओर प्रभाव दिखाते हैं $x$.

सेट सिद्धांत एवं बूलियन बीजगणित

सेट सिद्धांत एवं बूलियन बीजगणित (तर्क) में, इसे प्रायः पूरकता के अंतर्गत संघ एवं प्रतिच्छेदन इंटरचेंज के रूप में कहा जाता है, जिसे औपचारिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

${\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}$

जहाँ:

• ${\overline {A}}$ का निषेध है $A$, अस्वीकृत की जाने वाली शर्तों के ऊपर ओवरलाइन लिखी जा रही है,
• $\cap$ इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) ऑपरेटर (AND) है,
• $\cup$ यूनियन (सेट थ्योरी) ऑपरेटर (OR) है।

किसी भी संख्या में सेट के संघ एवं प्रतिच्छेदन

सामान्यीकृत रूप है

${\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}$

जहाँ I कुछ, संभवतः गणनीय या बेशुमार अनंत, अनुक्रमण सेट है।

सेट नोटेशन में, डी मॉर्गन के नियमों को स्मृति चिन्ह का उपयोग करके याद किया जा सकता है लाइन तोड़ो, संकेत बदलो।

इंजीनियरिंग

विद्युत अभियन्त्रण एवं कंप्यूटर इंजीनियरिंग में, डी मॉर्गन के नियम आमतौर पर इस प्रकार लिखे जाते हैं:

${\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})$

एवं

${\overline {A+B}}\equiv {\overline {A}}\cdot {\overline {B}},$

जहाँ:

• $\cdot$ तार्किक एवं है,
• $+$ तार्किक है या,
• द overbar ओवरबार के नीचे जो है उसका तार्किक नहीं है।

पाठ शोध

डी मॉर्गन के नियम आमतौर पर बूलियन ऑपरेटरों AND, OR, एवं NOT का उपयोग करके पाठ शोध पर प्रस्तावित होते हैं। दस्तावेज़ों के सेट पर विचार करें जिसमें बिल्लियाँ एवं कुत्ते शब्द सम्मिलित हैं। डी मॉर्गन के कानून मानते हैं कि ये दोनों शोधें दस्तावेज़ों का ही सेट लौटाएंगी:

शोध ए: नहीं (बिल्लियाँ या कुत्ते)

शोधें बी: (बिल्लियाँ नहीं) एवं (कुत्ते नहीं)

बिल्लियों या कुत्तों वाले दस्तावेज़ों के संग्रह को चार दस्तावेज़ों द्वारा दर्शाया जा सकता है:

दस्तावेज़ 1: इसमें केवल बिल्लियाँ शब्द सम्मिलित है।

दस्तावेज़ 2: इसमें केवल कुत्ते सम्मिलित हैं।

दस्तावेज़ 3: इसमें बिल्लियाँ एवं कुत्ते दोनों सम्मिलित हैं।

दस्तावेज़ 4: इसमें न तो बिल्लियाँ हैं एवं न ही कुत्ते।

शोध ए का मूल्यांकन करने के लिए, स्पष्ट रूप से शोध (बिल्लियाँ या कुत्ते) दस्तावेज़ 1, 2, एवं 3 पर प्रभाव डालेगी। इसलिए उस शोध (जो कि शोध ए है) का निषेध बाकी सभी चीज़ों पर पड़ेगा, जो कि दस्तावेज़ 4 है।

शोध बी का मूल्यांकन करते हुए, शोध (बिल्लियाँ नहीं) उन दस्तावेज़ों पर असर करेगी जिनमें बिल्लियाँ नहीं हैं, जो कि दस्तावेज़ 2 एवं 4 हैं। इसी प्रकार शोध (कुत्ते नहीं) दस्तावेज़ 1 एवं 4 पर असर करेंगी। इन दो शोधों पर AND ऑपरेटर को प्रस्तावित करना (जो शोध बी है) उन दस्तावेज़ों पर प्रहार करेगा जो इन दोनों शोधों में सामान्य हैं, जो कि दस्तावेज़ 4 है।

यह दिखाने के लिए समान मूल्यांकन प्रस्तावित किया जा सकता है कि निम्नलिखित दो शोधें दस्तावेज़ 1, 2, एवं 4 दोनों लौटाएंगी:

शोध सी: नहीं (बिल्लियाँ एवं कुत्ते),

शोधें डी: (बिल्लियाँ नहीं) या (कुत्ते नहीं)।

इतिहास

कानूनों का नाम ऑगस्टस डी मॉर्गन (1806-1871) के नाम पर रखा गया है। जिन्होंने शास्त्रीय प्रस्तावात्मक तर्क के लिए कानूनों का औपचारिक संस्करण प्रस्तुत किया। डी मॉर्गन का सूत्रीकरण जॉर्ज बूले द्वारा किए गए तर्क के बीजगणित से प्रभावित था, जिसने पश्चात में शोध के लिए डी मॉर्गन के कथन को सशक्त किया। फिर भी, समान अवलोकन अरस्तू द्वारा किया गया था, एवं ग्रीक एवं मध्यकालीन तर्कशास्त्रियों को इसकी जानकारी थी। उदाहरण के लिए, 14वीं शताब्दी में, ओखम के विलियम ने उन शब्दों को लिखा जो कानूनों को पढ़ने से उत्पन्न होंगे। जीन बुरिडन ने अपने सममुले डी डायलेक्टिका में रूपांतरण के नियमों का भी वर्णन किया है जो डी मॉर्गन के कानूनों का पालन करते हैं। फिर भी, डी मॉर्गन को कानूनों को आधुनिक औपचारिक तर्क के संदर्भ में बताने एवं उन्हें तर्क की भाषा में सम्मिलित करने का श्रेय दिया जाता है। डी मॉर्गन के नियम सरलता से सिद्ध किये जा सकते हैं, एवं ये तुच्छ भी लग सकते हैं। किसी न किसी प्रकार से, ये कानून प्रमाणों एवं निगमनात्मक तर्कों में वैध निष्कर्ष निकालने में सहायक हैं।

अनौपचारिक प्रमाण

डी मॉर्गन के प्रमेय को किसी सूत्र के सभी या कुछ हिस्सों में विच्छेदन के निषेध या संयोजन के निषेध पर प्रस्तावित किया जा सकता है।

विच्छेद का निषेध

विच्छेद के लिए इसके आवेदन के विषय में, निम्नलिखित कथन पर विचार करें: यह त्रुटिपूर्ण है कि A या B में से कोई भी सत्य है, जिसे इस प्रकार लिखा गया है:

$\neg (A\lor B).$

इसमें यह स्थापित किया गया है कि न तो A एवं न ही B सत्य है, तो इसका पालन करना चाहिए कि A दोनों तार्किक रूप से सत्य नहीं हैं एवं B सत्य नहीं है, जिसे सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$(\neg A)\wedge (\neg B).$

यदि A या B में से कोई भी सत्य होता, तो A एवं B का विच्छेदन सत्य होता, जिससे इसका निषेधन त्रुटिपूर्ण हो जाता। अंग्रेजी में प्रस्तुत, यह इस तर्क का पालन करता है कि चूंकि दो चीजें असत्य हैं, इसलिए यह भी त्रुटिपूर्ण है कि उनमें से कोई भी सत्य है।

विपरीत दिशा में कार्य करते हुए, दूसरी अभिव्यक्ति यह कथित करती है कि A त्रुटिपूर्ण है एवं B त्रुटिपूर्ण है (या समकक्ष रूप से A एवं B सत्य नहीं हैं)। यह जानते हुए भी A एवं B का विच्छेद भी मिथ्या ही होगा। इस प्रकार उक्त विच्छेदन का निषेध सत्य होना चाहिए, एवं परिणाम पूर्व कथन के समान है।

संयोजन का निषेधन

संयोजन के लिए डी मॉर्गन के प्रमेय का अनुप्रयोग रूप एवं तर्क दोनों में विच्छेदन के लिए इसके अनुप्रयोग के समान है। निम्नलिखित कथन पर विचार करें: यह त्रुटिपूर्ण है कि A एवं B दोनों सत्य हैं, जिसे इस प्रकार लिखा गया है:

$\neg (A\land B).$

इस कथन के सत्य होने के लिए, A या B में से कोई या दोनों त्रुटिपूर्ण होने चाहिए, क्योंकि यदि वे दोनों सत्य थे, तो A एवं B का संयोजन सत्य होगा, जिससे इसका निषेध त्रुटिपूर्ण हो जाएगा। इस प्रकार, A एवं B में से कोई या (कम से कम) या अधिक त्रुटिपूर्ण होना चाहिए (या समकक्ष, A एवं B नहीं में से एक या अधिक सत्य होना चाहिए)। इसे सीधे रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है,

$(\neg A)\lor (\neg B).$

अंग्रेजी में प्रस्तुत, यह इस तर्क का पालन करता है कि चूंकि यह त्रुटिपूर्ण है कि दो चीजें दोनों सत्य हैं, उनमें से कम से कम त्रुटिपूर्ण होना चाहिए।

विपरीत दिशा में फिर से काम करते हुए, दूसरी अभिव्यक्ति यह कथित करती है कि ए एवं बी नहीं में से कम से कम कोई सत्य होना चाहिए, या समकक्ष रूप से A एवं B में से कम से कम कोई त्रुटिपूर्ण होना चाहिए। चूँकि उनमें से कम से कम कोई असत्य होना चाहिए, तो उनका संयोजन भी असत्य होगा। इस प्रकार उक्त संयोजन को अस्वीकार करने से यथार्थ अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, एवं यह अभिव्यक्ति पूर्व कथन के समान है।

औपचारिक प्रमाण

यहाँ हम $A^{\complement }$का उपयोग A के पूरक को निरूपित करने के लिए करते हैं। प्रमाण $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$ को 2 चरणों में दोनों को $(A\cap B)^{\complement }\subseteq A^{\complement }\cup B^{\complement }$ एवं $A^{\complement }\cup B^{\complement }\subseteq (A\cap B)^{\complement }$ सिद्ध करके पूरा किया जाता है।

भाग 1

$x\in (A\cap B)^{\complement }$, तब, $x\not \in A\cap B$ है,

क्योंकि $A\cap B=\{\,y\ |\ y\in A\wedge y\in B\,\}$, तो $x\not \in A$ या $x\not \in B$ होना चाहिए।

यदि $x\not \in A$, तब $x\in A^{\complement }$, इसलिए $x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }$ होता है।

इसी प्रकार, यदि $x\not \in B$, तब $x\in B^{\complement }$, इसलिए $x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }$ होता है,

इस प्रकार, $\forall x{\Big (}x\in (A\cap B)^{\complement }\implies x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }{\Big )}$;

वह $(A\cap B)^{\complement }\subseteq A^{\complement }\cup B^{\complement }$ है।

भाग 2

विपरीत दिशा सिद्ध करने के लिए, आइए $x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }$, एवं विरोधाभास के लिए $x\not \in (A\cap B)^{\complement }$मान लें।

उस धारणा के अंतर्गत, $x\in A\cap B$ होना चाहिए ,

तो यह $x\in A$ एवं $x\in B$, का अनुसरण करता है, एवं इस प्रकार $x\not \in A^{\complement }$ एवं $x\not \in B^{\complement }$,

चूँकि, इसका तात्पर्य $x\not \in A^{\complement }\cup B^{\complement }$ है, उस परिकल्पना के विपरीत $x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }$,

इसलिए, धारणा $x\not \in (A\cap B)^{\complement }$ नहीं होना चाहिए, अर्थात $x\in (A\cap B)^{\complement }$ होता है।

इस प्रकार, $\forall x{\Big (}x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }\implies x\in (A\cap B)^{\complement }{\Big )}$,

वह $A^{\complement }\cup B^{\complement }\subseteq (A\cap B)^{\complement }$ है।

निष्कर्ष

यदि $A^{\complement }\cup B^{\complement }\subseteq (A\cap B)^{\complement }$ एवं $(A\cap B)^{\complement }\subseteq A^{\complement }\cup B^{\complement }$, तब $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$; इससे डी मॉर्गन के नियम का प्रमाण समाप्त हो जाता है।

अन्य डी मॉर्गन का नियम, $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$, इसी प्रकार सिद्ध होता है।

डी मॉर्गन द्वंद्व को सामान्य बनाना

डी मॉर्गन के नियमों को लॉजिक गेट्स (इंटरनेशनल इलेक्ट्रोटेक्नीकल कमीशन आरेख) के साथ परिपथ के रूप में दर्शाया गया है।

शास्त्रीय प्रस्तावात्मक तर्क के विस्तार में, द्वंद्व अभी भी कायम है (अर्थात, किसी भी तार्किक ऑपरेटर के लिए कोई हमेशा इसका दोहरा पा सकता है), क्योंकि निषेध को नियंत्रित करने वाली पहचानों की उपस्थिति में, कोई हमेशा ऑपरेटर का परिचय दे सकता है जो डी मॉर्गन का दोहरा है। यह शास्त्रीय तर्क पर आधारित तर्कशास्त्र की महत्वपूर्ण संपत्ति की ओर ले जाता है, अर्थात् निषेध सामान्य रूपों का अस्तित्व: कोई भी सूत्र दूसरे सूत्र के समान होता है जहां निषेध केवल सूत्र के अन्य-तार्किक परमाणुओं पर प्रस्तावित होता है। नकार सामान्य रूपों का अस्तित्व कई अनुप्रयोगों को संचालित करता है, उदाहरण के लिए डिजिटल परिपथ डिजाइन में, जहां इसका उपयोग लॉजिक गेट्सर के प्रकारों में परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, एवं औपचारिक तर्क में, जहां संयोजन सामान्य रूप एवं विच्छेदन सामान्य रूप की शोध के लिए इसकी आवश्यकता होती है। सूत्र. कंप्यूटर प्रोग्रामर समष्टि तार्किक स्थितियों को सरल बनाने या अस्वीकार करने के लिए उनका उपयोग करते हैं। वे प्राथमिक संभाव्यता सिद्धांत में गणना में भी प्रायः उपयोगी होते हैं।

आइए प्रारंभिक प्रस्ताव P (p, q, ...), p, q, ...के आधार पर ऑपरेटर होने के लिए किसी भी प्रस्ताव ऑपरेटर ${\mbox{P}}^{d}$ के दोहरे को परिभाषित करता है,

${\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).$

विधेय एवं मोडल तर्क का विस्तार

इस द्वंद्व को परिमाणकों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए सार्वभौमिक परिमाणक एवं अस्तित्वगत परिमाणक दोहरे हैं:

$\forall x\,P(x)\equiv \neg [\exists x\,\neg P(x)]$

$\exists x\,P(x)\equiv \neg [\forall x\,\neg P(x)]$

इन क्वांटिफायर द्वंद्वों को डी मॉर्गन कानूनों से जोड़ने के लिए, इसके डोमेन D में कुछ छोटी संख्या में तत्वों के साथ मॉडल सिद्धांत स्थापित करें, जैसे कि

D = {a, b, c}

तब

$\forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)$

एवं

$\exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c)$ है।

किन्तु, डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए,

$P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))$

एवं

$P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),$

मॉडल में क्वांटिफायर द्वैत की पुष्टि करना।

इस द्वंद्व को परिमाण कों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए सार्वभौमिक परिमाणक और अस्तित्वगत परिमाणक दोहरे हैं,

$\Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,$

$\Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.$

संभावना एवं आवश्यकता के एलेथिक उपायों के अनुप्रयोग में, अरस्तू ने इस विषय का अवलोकन किया, एवं सामान्य मोडल लॉजिक के विषय में, इन मोडल ऑपरेटरों के परिमाणीकरण के संबंध को क्रिपके शब्दार्थ का उपयोग करके मॉडल स्थापित करके समझा जा सकता है।

अंतर्ज्ञानवादी तर्क में

डी मॉर्गन के नियमों के चार में से तीन निहितार्थ अंतर्ज्ञानवादी तर्क में निहित हैं। विशेष रूप से, हमारे पास

$\neg (P\lor Q)\,\leftrightarrow \,{\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},$

एवं

${\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )}\,\to \,\neg (P\land Q)$ है।

अंतिम निहितार्थ का व्युत्क्रम शुद्ध अंतर्ज्ञानवादी तर्क में निहित नहीं है। अर्थात संयुक्त प्रस्ताव की विफलता $P\land Q$ आवश्यक रूप से दोनों तार्किक संयोजनों में से किसी की विफलता का समाधान नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह जानने से कि ऐसा नहीं है कि ऐलिस एवं बॉब दोनों अपनी डेट पर आए थे, इसका तात्पर्य यह नहीं है कि कौन नहीं आया। पश्चात वाला सिद्धांत कमजोर बहिष्कृत मध्य ${\mathrm {WPEM} }$ के सिद्धांत के समान है।

$(\neg P)\lor \neg (\neg P),$

इस कमजोर रूप का उपयोग मध्यवर्ती तर्क की नींव के रूप में किया जा सकता है। अस्तित्व संबंधी कथनों से संबंधित असफल कानून के परिष्कृत संस्करण के लिए, सर्वज्ञता ${\mathrm {LLPO} }$ का सीमित सिद्धांत देखें, चूँकि जो ${\mathrm {WLPO} }$ से भिन्न है।

अन्य तीन डी मॉर्गन के कानूनों की वैधता अस्वीकार करने पर सत्य बनी रहती है। $\neg P$ को निहितार्थ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, कुछ स्थिरांक विधेय C के लिए $P\to C$, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त कानून न्यूनतम तर्क में अभी भी सत्य हैं।

उपरोक्त के समान, परिमाणक नियम:

$\forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow \,\neg \exists x\,P(x)$

एवं

$\exists x\,\neg P(x)\,\to \,\neg \forall x\,P(x)$ है।

यहां तक ​​कि न्यूनतम तर्क में भी निषेध के स्थान पर निश्चित $Q$ का अर्थ लगाया जाता है, जबकि अंतिम नियम का व्युत्क्रम सामान्यतः सत्य होना आवश्यक नहीं है।

इसके अतिरिक्त, एक अभी भी है,

$(P\lor Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},$

$(P\land Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )},$

$\forall x\,P(x)\,\to \,\neg \exists x\,\neg P(x),$

$\exists x\,P(x)\,\to \,\neg \forall x\,\neg P(x),$

किन्तु उनके व्युत्क्रम का तात्पर्य बहिष्कृत मध्य ${\mathrm {PEM} }$ से है।

कंप्यूटर इंजीनियरिंग में

परिपथ डिज़ाइन को सरल बनाने के उद्देश्य से कंप्यूटर इंजीनियरिंग एवं डिजिटल लॉजिक में डी मॉर्गन के नियमों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

• समरूपता - सकारात्मक तर्क एवं नकारात्मक तर्क के मध्य समरूपता के रूप में संचालिका नहीं
• बूलियन बीजगणित विषयों की सूची
• निर्धारित पहचान एवं संबंधों की सूची
• सकारात्मक तर्क

बाहरी संबंध

• "Duality principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "de Morgan's Laws". MathWorld.
• de Morgan's laws at PlanetMath.
• Duality in Logic and Language, Internet Encyclopedia of Philosophy.