टॉटोलॉजिकल बंडल

गणित में, टॉटोलॉजिकल बंडल एक वेक्टर बंडल है जो प्राकृतिक टॉटोलॉजिकल तरीके से ग्रासमैनियन के ऊपर होता है: एक ग्रासमैनियन के लिए $k$-आयाम (वेक्टर स्थान) का रैखिक उपस्थान $V$, ग्रासमैनियन में a के अनुरूप एक बिंदु दिया गया है $k$-आयामी वेक्टर उपस्थान $W\subseteq V$, फाइबर खत्म $W$ उपस्थान है $W$ अपने आप। प्रक्षेप्य स्थान के मामले में टॉटोलॉजिकल बंडल को टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल के रूप में जाना जाता है।

किसी भी वेक्टर बंडल (कॉम्पैक्ट स्पेस पर) के बाद से टॉटोलॉजिकल बंडल को सार्वभौमिक बंडल भी कहा जाता है) टॉटोलॉजिकल बंडल का एक पुलबैक है; कहने का तात्पर्य यह है कि ग्रासमैनियन वेक्टर बंडलों के लिए एक वर्गीकृत स्थान है। इस वजह से, विशिष्ट वर्गों के अध्ययन में टॉटोलॉजिकल बंडल महत्वपूर्ण है।

टॉटोलॉजिकल बंडलों का निर्माण बीजगणितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों में किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में, टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल (उल्टे शीफ के रूप में) है

${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),$

हाइपरप्लेन बंडल या सेरे के ट्विस्टिंग शीफ का दोहरा बंडल ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)$. हाइपरप्लेन बंडल हाइपरप्लेन (विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)) के अनुरूप लाइन बंडल है $\mathbb {P} ^{n-1}$ में $\mathbb {P} ^{n}$. टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल और हाइपरप्लेन बंडल वास्तव में प्रक्षेप्य स्थान के पिकार्ड समूह के दो जनरेटर हैं। माइकल अतियाह के के-सिद्धांत में, एक जटिल प्रक्षेप्य स्थान पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल को मानक लाइन बंडल कहा जाता है। मानक बंडल के गोलाकार बंडल को आमतौर पर हॉपफ बंडल कहा जाता है। (सीएफ. बोतल जनरेटर।)

अधिक आम तौर पर, वेक्टर बंडल के प्रक्षेप्य बंडल के साथ-साथ ग्रासमैन बंडल पर भी टॉटोलॉजिकल बंडल होते हैं।

पुराना शब्द कैनोनिकल बंडल इस आधार पर अप्रचलित हो गया है कि विहित वर्गबहुविकल्पी) गणितीय शब्दावली में अत्यधिक अतिभारित है, और (इससे भी बदतर) बीजगणितीय ज्यामिति में कैनोनिकल वर्ग के साथ भ्रम है शायद ही टाला जा सके।

सहज परिभाषा

परिभाषा के अनुसार ग्रासमैनियन किसी दिए गए सदिश स्थल में, दिए गए आयाम के रैखिक उप-स्थानों के लिए पैरामीटर स्थान हैं $W$. अगर $G$ एक ग्रासमैनियन है, और $V_{g}$ का उपस्थान है $W$ तदनुसार $g$ में $G$, यह पहले से ही लगभग एक वेक्टर बंडल के लिए आवश्यक डेटा है: अर्थात् प्रत्येक बिंदु के लिए एक वेक्टर स्थान $g$, लगातार बदलता रहता है। वह सब जो इस संकेत से टॉटोलॉजिकल बंडल की परिभाषा को रोक सकता है, वह कठिनाई है $V_{g}$ प्रतिच्छेद करने जा रहे हैं. इसे ठीक करना असंयुक्त संघ डिवाइस का एक नियमित अनुप्रयोग है, ताकि बंडल प्रक्षेपण फाइबर बंडल से हो जो कि समान प्रतियों से बना हो। $V_{g}$, जो अब प्रतिच्छेद नहीं करते। इसके साथ ही हमारे पास बंडल है.

प्रक्षेप्य अंतरिक्ष मामला शामिल है। रिवाज के सन्दर्भ मे $P(V)$ दोहरे अंतरिक्ष अर्थ में टॉटोलॉजिकल बंडल को उपयोगी रूप से ले जा सकता है। यानी साथ में $V^{*}$ दोहरी जगह, के बिंदु $P(V)$ के सदिश उप-स्थान ले जाएं $V^{*}$ यह उनकी गुठली है, जब इसे रैखिक कार्यात्मकताओं की (किरणों) के रूप में माना जाता है $V^{*}$. अगर $V$ आयाम है $n+1$, टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल एक टॉटोलॉजिकल बंडल है, और दूसरा, जिसका अभी वर्णन किया गया है, रैंक का है $n$.

औपचारिक परिभाषा

होने देना $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ में एन-आयामी वेक्टर उप-स्थानों का ग्रासमैनियन बनें $\mathbb {R} ^{n+k};$ एक समुच्चय के रूप में यह सभी n-आयामी वेक्टर उप-स्थानों का समुच्चय है $\mathbb {R} ^{n+k}.$ उदाहरण के लिए, यदि n = 1 है, तो यह वास्तविक प्रक्षेप्य k-स्पेस है।

हम टॉटोलॉजिकल बंडल γ को परिभाषित करते हैं_{n, k} ऊपर $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ निम्नलिखित नुसार। बंडल का कुल स्थान सभी जोड़ों (वी, वी) का सेट है जिसमें ग्रासमैनियन का एक बिंदु वी और वी में एक वेक्टर वी शामिल है; इसे कार्टेशियन उत्पाद की उप-स्थान टोपोलॉजी दी गई है $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.$ प्रक्षेपण मानचित्र π, π(V, v) = V द्वारा दिया जाता है। यदि F, π के अंतर्गत V की पूर्व छवि है, तो इसे a(V, v) + b(V, w) द्वारा एक सदिश स्थान की संरचना दी जाती है। ) = (वी, एवी + बीडब्ल्यू)। अंत में, स्थानीय तुच्छता को देखने के लिए, ग्रासमैनियन में एक बिंदु और फिर परिभाषित करें

${\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}$

जो स्पष्ट रूप से एक होम्योमोर्फिज्म है। इसलिए, परिणाम रैंक n का एक वेक्टर बंडल है।

यदि हम प्रतिस्थापित करें तो उपरोक्त परिभाषा का अर्थ बना रहता है $\mathbb {R}$ जटिल क्षेत्र के साथ $\mathbb {C} .$ परिभाषा के अनुसार, अनंत ग्रासमैनियन $G_{n}$ की सीधी सीमा है $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ जैसा $k\to \infty .$ बंडलों की सीधी सीमा लेना γ_{n, k} टॉटोलॉजिकल बंडल γ देता है_n का $G_{n}.$ यह इस अर्थ में एक सार्वभौमिक बंडल है: प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्पेस एक्स के लिए, एक प्राकृतिक आक्षेप है

${\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}$

जहां बाईं ओर कोष्ठक का अर्थ समरूपता वर्ग है और दाईं ओर रैंक एन के वास्तविक वेक्टर बंडलों के समरूपता वर्गों का सेट है। उलटा नक्शा इस प्रकार दिया गया है: चूंकि एक्स कॉम्पैक्ट है, कोई भी वेक्टर बंडल ई एक तुच्छ बंडल का एक सबबंडल है: $E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}$ कुछ k के लिए और इसलिए E एक मानचित्र निर्धारित करता है

${\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}$

समरूपता तक अद्वितीय।

टिप्पणी: बदले में, कोई एक टॉटोलॉजिकल बंडल को एक सार्वभौमिक बंडल के रूप में परिभाषित कर सकता है; मान लीजिए कि कोई स्वाभाविक आपत्ति है

$[X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)$

किसी भी पैराकॉम्पैक्ट स्पेस X के लिए $G_{n}$ कॉम्पैक्ट स्पेस की प्रत्यक्ष सीमा है, यह पैराकॉम्पैक्ट है और इसलिए इसके ऊपर एक अद्वितीय वेक्टर बंडल है $G_{n}$ जो कि पहचान मानचित्र से मेल खाता है $G_{n}.$ यह वास्तव में टॉटोलॉजिकल बंडल है और, प्रतिबंध के द्वारा, किसी को सभी पर टॉटोलॉजिकल बंडल मिलते हैं $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).$

हाइपरप्लेन बंडल

वास्तविक प्रक्षेप्य k-स्पेस पर हाइपरप्लेन बंडल H को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। H का कुल स्थान सभी युग्मों (L, f) का समुच्चय है, जिसमें मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा L शामिल है। $\mathbb {R} ^{k+1}$ और एफ एल पर एक रैखिक कार्यात्मक है। प्रक्षेपण मानचित्र π π (एल, एफ) = एल द्वारा दिया गया है (ताकि एल पर फाइबर एल का दोहरी वेक्टर स्थान हो।) बाकी बिल्कुल टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल की तरह है।

दूसरे शब्दों में, एच टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल का दोहरा बंडल है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, हाइपरप्लेन बंडल 'हाइपरप्लेन विभाजक' के अनुरूप लाइन बंडल (उलटा शीफ ​​के रूप में) है

$H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}$

मान लीजिए, x के रूप में दिया गया है₀ = 0, जब x_iसजातीय निर्देशांक हैं. इस प्रकार इसे देखा जा सकता है। यदि D एक वेइल विभाजक है|(वेइल) विभाजक है $X=\mathbb {P} ^{n},$ one, X पर संबंधित लाइन बंडल O(D) को परिभाषित करता है

$\Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}$

जहां K, X पर परिमेय फलनों का क्षेत्र है। D को H मानते हुए, हमारे पास है:

${\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}$

कहां एक्स₀ हमेशा की तरह, ट्विस्टिंग शीफ़ O(1) के एक वैश्विक खंड के रूप में देखा जाता है। (वास्तव में, उपरोक्त समरूपता वेइल डिवाइडर और कार्टियर डिवाइडर के बीच सामान्य पत्राचार का हिस्सा है।) अंत में, ट्विस्टिंग शीफ का दोहरा टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल (नीचे देखें) से मेल खाता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल

बीजगणितीय ज्यामिति में, यह धारणा किसी भी क्षेत्र k पर मौजूद होती है। ठोस परिभाषा इस प्रकार है. होने देना $A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]$ और $\mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A$. ध्यान दें कि हमारे पास है:

$\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}$

जहां स्पेक सापेक्ष स्पेक है। अब, डालें:

$L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)$

जहां I वैश्विक वर्गों द्वारा उत्पन्न आदर्श शीफ है $x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$. तब L एक बंद उपयोजना है $\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}$ एक ही आधार योजना पर $\mathbb {P} ^{n}$; इसके अलावा, L के बंद बिंदु बिल्कुल (x, y) के ही हैं $\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}$ जैसे कि या तो x शून्य है या x की छवि है $\mathbb {P} ^{n}$ य है. इस प्रकार, L टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल है जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है यदि k वास्तविक या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।

अधिक संक्षिप्त शब्दों में, एल एफ़िन स्पेस की उत्पत्ति का ब्लो-अप | ब्लो-अप है $\mathbb {A} ^{n+1}$, जहां एल में लोकस x = 0 असाधारण भाजक है। (सीएफ. हार्टशोर्न, अध्याय I, § 4 का अंत)

सामान्य रूप में, $\mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})$ परिमित रैंक के स्थानीय रूप से मुक्त शीफ ई के अनुरूप बीजगणितीय वेक्टर बंडल है। चूँकि हमारे पास सटीक क्रम है:

$0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,$

जैसा कि ऊपर परिभाषित है, टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल एल, दोहरे से मेल खाता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ सेरे के घुमाव वाले पूले का। व्यवहार में दोनों धारणाओं (टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल और ट्विस्टिंग शीफ के दोहरे) का परस्पर उपयोग किया जाता है।

एक क्षेत्र के ऊपर, इसकी दोहरी रेखा बंडल हाइपरप्लेन विभाजक एच से जुड़ी रेखा बंडल है, जिसके वैश्विक खंड रैखिक रूप हैं। इसका चेर्न वर्ग −H है। यह एंटी-पर्याप्त लाइन बंडल का एक उदाहरण है। ऊपर $\mathbb {C} ,$ यह कहने के बराबर है कि यह एक नकारात्मक रेखा बंडल है, जिसका अर्थ है कि इसके चेर्न वर्ग को घटाकर मानक काहलर फॉर्म का डी राम वर्ग है।

तथ्य

• टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल γ_{1, k} फाइबर बंडल है लेकिन फाइबर बंडल नहीं#उदाहरण, k ≥ 1 के लिए। यह अन्य क्षेत्रों पर भी सत्य है।

वास्तव में, यह दिखाना सीधा है कि, k = 1 के लिए, वास्तविक टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल कोई और नहीं बल्कि प्रसिद्ध बंडल है जिसका फाइबर बंडल मोबियस स्ट्रिप है। उपरोक्त तथ्य के पूर्ण प्रमाण के लिए देखें।

• लाइन बंडलों का पिकार्ड समूह $\mathbb {P} (V)$ अनंत चक्रीय है, और टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल एक जनरेटर है।

• प्रक्षेप्य स्थान के मामले में, जहां टॉटोलॉजिकल बंडल एक लाइन बंडल है, अनुभागों का संबंधित उलटा शीफ ​​है ${\mathcal {O}}(-1)$, हाइपरप्लेन बंडल या प्रोज#द ट्विस्टिंग शीफ का टेंसर व्युत्क्रम (यानी दोहरी वेक्टर बंडल) ${\mathcal {O}}(1)$; दूसरे शब्दों में हाइपरप्लेन बंडल पिकार्ड समूह का सकारात्मक डिग्री वाला जनरेटर है (एक विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के रूप में) और टॉटोलॉजिकल बंडल इसके विपरीत है: नकारात्मक डिग्री का जनरेटर।

यह भी देखें

• हॉपफ बंडल
• स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग
• यूलर अनुक्रम
• चेर्न वर्ग (टॉटोलॉजिकल बंडलों का चेर्न वर्ग अनंत ग्रासमैनियन के कोहोमोलॉजी रिंग का बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र जनरेटर है।)
• बोरेल का प्रमेय
• थॉम स्पेस (टॉटोलॉजिकल बंडलों के थॉम स्पेस γ_n चूँकि n →∞ को थॉम स्पेक्ट्रम कहा जाता है।)
• ग्रासमैन बंडल

स्रोत

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• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry: A Concise Dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

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