टॉटोलॉजिकल बंडल

गणित में, टॉटोलॉजिकल बंडल एक ऐसा सदिश बंडल है जो प्राकृतिक टॉटोलॉजिकल विधि से ग्रासमैनियन पर होता है: $V$ के $k$-विमा (सदिश समष्टि) के रैखिक उपसमष्टि ग्रासमैनियन के लिए , $k$-विमीय सदिश उपसमष्टि $W\subseteq V$ के अनुरूप ग्रासमैनियन में एक बिंदु दिया जाता है, फाइबर पर $W$ स्वयं उप समष्टि $W$ है। प्रक्षेप्य समष्टि की समष्टि में टॉटोलॉजिकल बंडल को टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल के रूप में जाना जाता है।

किसी भी सदिश बंडल (संहत समष्टि पर) के बाद से टॉटोलॉजिकल बंडल को सार्वभौमिक बंडल भी कहा जाता है) टॉटोलॉजिकल बंडल का पुलबैक है; कहने का तात्पर्य यह है कि ग्रासमैनियन सदिश बंडलों के लिए वर्गीकृत समष्टि है। इस कारण से, विशिष्ट वर्गों के अध्ययन में टॉटोलॉजिकल बंडल महत्वपूर्ण है।

टॉटोलॉजिकल बंडलों का निर्माण बीजगणितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों में किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में, टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल (व्युत्क्रम शीफ के रूप में) अधिसमतल बंडल या सेरे के ट्विस्टिंग शीफ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)$ का

${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$

दोहरा बंडल है। अधिसमतल बंडल, $\mathbb {P} ^{n}$ में अधिसमतल (विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)) $\mathbb {P} ^{n-1}$ के अनुरूप रेखा बंडल है। टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल और अधिसमतल बंडल वास्तव में प्रक्षेप्य समष्टि के पिकार्ड समूह के दो जनक हैं।

माइकल अतियाह के K-सिद्धांत में, जटिल प्रक्षेप्य समष्टि पर टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल को मानक रेखा बंडल कहा जाता है। मानक बंडल के गोलाकार बंडल को सामान्यतः हॉपफ बंडल कहा जाता है। (सीएफ. बोट जनक।)

अधिक सामान्यतः, सदिश बंडल के प्रक्षेप्य बंडल के साथ-साथ ग्रासमैन बंडल पर भी टॉटोलॉजिकल बंडल होते हैं।

प्राचीन शब्द कैनोनिकल बंडल इस आधार पर अप्रचलित हो गया है कि विहित वर्गबहुविकल्पी) गणितीय शब्दावली में अत्यधिक अतिभारित है, और (इससे भी निकृष्ट) बीजगणितीय ज्यामिति में कैनोनिकल वर्ग के साथ भ्रम है संभवतः अवरोधित किया जा सके।

सहज परिभाषा

परिभाषा के अनुसार ग्रासमैनियन किसी दिए गए सदिश स्थल में, दिए गए विमा के रैखिक उप-समष्टिों के लिए पैरामीटर समष्टि $W$ हैं। यदि $G$ ग्रासमैनियन है, और $V_{g}$, $G$ में $g$ के अनुरूप $W$ का उप-स्थान है, तो यह पहले से ही लगभग एक वेक्टर बंडल के लिए आवश्यक डेटा है: अर्थात् प्रत्येक बिंदु $g$ के लिए एक वेक्टर स्थान, जो लगातार बदलता रहता है। वह सभी जो इस संकेत से टॉटोलॉजिकल बंडल की परिभाषा को रोक सकता है, वह कठिनाई है जिसे $V_{g}$ प्रतिच्छेद करने जा रहा है। इसे ठीक करना असंयुक्त संघ उपकरण का नियमित अनुप्रयोग है, ताकि बंडल प्रक्षेपण $V_{g}$ की समान प्रतियों से बने फाइबर बंडल से हो, जो अब एक दूसरे को नहीं काटते हैं। इसके साथ ही हमारे निकट बंडल है।

प्रक्षेप्य समष्टि स्थिति सम्मिलित है। परिपाटी के अनुसार $P(V)$ दोहरे समष्टि अर्थ में टॉटोलॉजिकल बंडल को उपयोगी रूप से ले जा सकता है। अर्थात $V^{*}$ दोहरे स्थान के साथ, $P(V)$ के बिंदु $V^{*}$ के सदिश उप-स्थानों को ले जाते हैं, जो कि उनके कर्नेल हैं, जब $V^{*}$पर (किरणों की) रैखिक कार्यात्मकता के रूप में माना जाता है। यदि $V$ की विमा $n+1$ है, तो टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल टॉटोलॉजिकल बंडल है, और दूसरा, जिसका अभी वर्णन किया गया है, पद $n$ का है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ $\mathbb {R} ^{n+k}$ में एन-विमीय सदिश उप-समष्टिों का ग्रासमैनियन का ग्रासमैनियन है; एक समुच्चय के रूप में यह $\mathbb {R} ^{n+k}$ के सभी एन-विमीय वेक्टर उप-स्थानों का सेट है। उदाहरण के लिए, यदि n = 1 है, तो यह वास्तविक प्रक्षेप्य k-समष्टि है।

हम टॉटोलॉजिकल बंडल γ_{n, k} पर $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ पर निम्नानुसार परिभाषित करते हैं। बंडल का कुल समष्टि सभी युग्मों (V, v) का सेट है जिसमें ग्रासमैनियन का एक बिंदु V औरV में एक वेक्टर v शामिल है; इसे कार्तीय गुणनफल $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}$ की उप-समष्टि टोपोलॉजी दी गई है। प्रक्षेपण मानचित्र π, π(V, v) = V द्वारा दिया गया है। यदि F, π के अंतर्गत V का पूर्व प्रतिबिम्ब है, तो इसे a(V, v) + b(V, w) = (V, av + bw) द्वारा एक सदिश स्थान की संरचना दी जाती है। त में, स्थानीय तुच्छता को देखने के लिए, ग्रासमैनियन में एक बिंदु X दिया गया है, यू को सभी V का सेट होने दें, जैसे कि X पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण p, V को X पर समरूपी रूप से प्रतिचित्रित करता है, और फिर

${\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times X\subseteq G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}$

को परिभाषित करता है जो स्पष्ट रूप से एक होमोमोर्फिज्म है। इसलिए, परिणाम पद n का सदिश बंडल है।

यदि हम प्रतिस्थापित करें तो उपरोक्त परिभाषा का अर्थ बना रहता है $\mathbb {R}$ जटिल क्षेत्र के साथ $\mathbb {C} .$ परिभाषा के अनुसार, अनंत ग्रासमैनियन $G_{n}$ की सीधी सीमा है $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})$ जैसा $k\to \infty .$ बंडलों की सीधी सीमा लेना γ_{n, k} टॉटोलॉजिकल बंडल γ देता है_n का $G_{n}.$ यह इस अर्थ में सार्वभौमिक बंडल है: प्रत्येक संहत समष्टि X के लिए, प्राकृतिक आक्षेप है

${\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}$

जहां बाईं ओर कोष्ठक का अर्थ समरूपता वर्ग है और दाईं ओर पदएन के वास्तविक सदिश बंडलों के समरूपता वर्गों का सेट है। उलटा नक्शा इस प्रकार दिया गया है: चूंकि X संहत है, कोई भी सदिश बंडल ई तुच्छ बंडल का सबबंडल है: $E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}$ कुछ k के लिए और इसलिए E मानचित्र निर्धारित करता है

${\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}$

समरूपता तक अद्वितीय।

टिप्पणी: बदले में, कोई टॉटोलॉजिकल बंडल को सार्वभौमिक बंडल के रूप में परिभाषित कर सकता है; मान लीजिए कि कोई स्वाभाविक आपत्ति है

$[X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)$

किसी भी पैरासंहत समष्टि X के लिए $G_{n}$ संहत समष्टि की प्रत्यक्ष सीमा है, यह पैरासंहत है और इसलिए इसके ऊपर अद्वितीय सदिश बंडल है $G_{n}$ जो कि पहचान मानचित्र से मेल खाता है $G_{n}.$ यह वास्तव में टॉटोलॉजिकल बंडल है और, प्रतिबंध के द्वारा, किसी को सभी पर टॉटोलॉजिकल बंडल मिलते हैं $G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).$

अधिसमतल बंडल

वास्तविक प्रक्षेप्य k-समष्टि पर अधिसमतल बंडल H को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। H का कुल समष्टि सभी युग्मों (L, f) का समुच्चय है, जिसमें मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा L सम्मिलित है। $\mathbb {R} ^{k+1}$ और एफ एल पर रैखिक कार्यात्मक है। प्रक्षेपण मानचित्र π π (एल, एफ) = एल द्वारा दिया गया है (ताकि एल पर फाइबर एल का दोहरी सदिश समष्टि हो।) बाकी बिल्कुल टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल की तरह है।

दूसरे शब्दों में, एच टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल का दोहरा बंडल है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, अधिसमतल बंडल 'अधिसमतल विभाजक' के अनुरूप रेखा बंडल (उलटा शीफ ​​के रूप में) है

$H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}$

मान लीजिए, x के रूप में दिया गया है₀ = 0, जब x_iसजातीय निर्देशांक हैं। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है। यदि D वेइल विभाजक है|(वेइल) विभाजक है $X=\mathbb {P} ^{n},$ one, X पर संबंधित रेखा बंडल O(D) को परिभाषित करता है

$\Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}$

जहां K, X पर परिमेय फलनों का क्षेत्र है। D को H मानते हुए, हमारे निकट है:

${\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}$

कहां X₀ हमेशा की तरह, ट्विस्टिंग शीफ़ O(1) के वैश्विक खंड के रूप में देखा जाता है। (वास्तव में, उपरोक्त समरूपता वेइल डिवाइडर और कार्टियर डिवाइडर के बीच सामान्य पत्राचार का हिस्सा है।) अंत में, ट्विस्टिंग शीफ का दोहरा टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल (नीचे देखें) से मेल खाता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल

बीजगणितीय ज्यामिति में, यह धारणा किसी भी क्षेत्र k पर मौजूद होती है। ठोस परिभाषा इस प्रकार है। मान लीजिए $A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]$ और $\mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A$। ध्यान दें कि हमारे निकट है:

$\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}$

जहां स्पेक सापेक्ष स्पेक है। अब, डालें:

$L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)$

जहां I वैश्विक वर्गों द्वारा उत्पन्न आदर्श शीफ है $x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}$। तब L बंद उपयोजना है $\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}$ ही आधार योजना पर $\mathbb {P} ^{n}$; इसके अलावा, L के बंद बिंदु बिल्कुल (x, y) के ही हैं $\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}$ जैसे कि या तो x शून्य है या x की प्रतिबिम्ब है $\mathbb {P} ^{n}$ य है। इस प्रकार, L टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल है जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है यदि k वास्तविक या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।

अधिक संक्षिप्त शब्दों में, एल एफ़िन समष्टि की उत्पत्ति का ब्लो-अप | ब्लो-अप है $\mathbb {A} ^{n+1}$, जहां एल में लोकस x = 0 असाधारण भाजक है। (सीएफ। हार्टशोर्न, अध्याय I, § 4 का अंत)

सामान्य रूप में, $\mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})$ परिमित पदके समष्टिीय रूप से मुक्त शीफ ई के अनुरूप बीजगणितीय सदिश बंडल है। चूँकि हमारे निकट सटीक क्रम है:

$0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,$

जैसा कि ऊपर परिभाषित है, टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल एल, दोहरे से मेल खाता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)$ सेरे के घुमाव वाले पूले का। व्यवहार में दोनों धारणाओं (टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल और ट्विस्टिंग शीफ के दोहरे) का परस्पर उपयोग किया जाता है।

एक क्षेत्र के ऊपर, इसकी दोहरी रेखा बंडल अधिसमतल विभाजक एच से जुड़ी रेखा बंडल है, जिसके वैश्विक खंड रैखिक रूप हैं। इसका चेर्न वर्ग −H है। यह एंटी- पर्याप्त रेखा बंडल का उदाहरण है। ऊपर $\mathbb {C} ,$ यह कहने के बराबर है कि यह नकारात्मक रेखा बंडल है, जिसका अर्थ है कि इसके चेर्न वर्ग को घटाकर मानक काहलर फॉर्म का डी राम वर्ग है।

तथ्य

• टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल γ_{1, k} फाइबर बंडल है लेकिन फाइबर बंडल नहीं#उदाहरण, k ≥ 1 के लिए। यह अन्य क्षेत्रों पर भी सत्य है।

वास्तव में, यह दिखाना सीधा है कि, k = 1 के लिए, वास्तविक टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल कोई और नहीं बल्कि प्रसिद्ध बंडल है जिसका फाइबर बंडल मोबियस स्ट्रिप है। उपरोक्त तथ्य के पूर्ण प्रमाण के लिए देखें।

• रेखा बंडलों का पिकार्ड समूह $\mathbb {P} (V)$ अनंत चक्रीय है, और टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल जनक है।

• प्रक्षेप्य समष्टि की समष्टि में, जहां टॉटोलॉजिकल बंडल रेखा बंडल है, अनुभागों का संबंधित उलटा शीफ ​​है ${\mathcal {O}}(-1)$, अधिसमतल बंडल या प्रोज#द ट्विस्टिंग शीफ का टेंसर व्युत्क्रम (अर्थात दोहरी सदिश बंडल) ${\mathcal {O}}(1)$; दूसरे शब्दों में अधिसमतल बंडल पिकार्ड समूह का सकारात्मक डिग्री वाला जनक है (एक विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के रूप में) और टॉटोलॉजिकल बंडल इसके विपरीत है: नकारात्मक डिग्री का जनक।

यह भी देखें

• हॉपफ बंडल
• स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग
• यूलर अनुक्रम
• चेर्न वर्ग (टॉटोलॉजिकल बंडलों का चेर्न वर्ग अनंत ग्रासमैनियन के कोहोमोलॉजी रिंग का बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र जनक है।)
• बोरेल का प्रमेय
• थॉम समष्टि (टॉटोलॉजिकल बंडलों के थॉम समष्टि γ_n चूँकि n →∞ को थॉम स्पेक्ट्रम कहा जाता है।)
• ग्रासमैन बंडल

स्रोत

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• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523।
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• Rubei, Elena (2014), Algebraic Geometry: A Concise Dictionary, Berlin/Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3

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