जैक्सन इंटीग्रल

क्यू-एनालॉग सिद्धांत में, विशेष कार्यों के सिद्धांत में जैक्सन इंटीग्रल श्रृंखला (गणित) जो क्यू-विभेदन के विपरीत ऑपरेशन को व्यक्त करती है।

जैक्सन इंटीग्रल को फ्रैंक हिल्टन जैक्सन द्वारा पेश किया गया था। संख्यात्मक मूल्यांकन के तरीकों के लिए देखें और Exton (1983).

परिभाषा

मान लीजिए f(x) एक वास्तविक चर x का एक फलन है। वास्तविक चर के लिए, f के जैक्सन इंटीग्रल को निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\int _{0}^{a}f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}a).$

इसके अनुरूप इसकी परिभाषा है $a\to \infty$

$\int _{0}^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{k}f(q^{k}).$ अधिक सामान्यतः, यदि g(x) एक अन्य फलन है और D_qg इसके q-व्युत्पन्न को दर्शाता है, हम औपचारिक रूप से लिख सकते हैं

$\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},$ या

$\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),$

रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल का एक क्यू-एनालॉग दे रहा है।

क्यू-antiderivative के रूप में जैक्सन इंटीग्रल

जिस तरह एक निरंतर फ़ंक्शन के सामान्य एंटीडेरिवेटिव को उसके रीमैन अभिन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है, यह दिखाना संभव है कि जैक्सन इंटीग्रल एक अद्वितीय क्यू-एंटीडेरिवेटिव देता है कार्यों के एक निश्चित वर्ग के भीतर (देखें ).

प्रमेय

लगता है कि $0<q<1.$ अगर $|f(x)x^{\alpha }|$ अंतराल पर बंधा हुआ है $[0,A)$ कुछ के लिए $0\leq \alpha <1,$ तब जैक्सन इंटीग्रल एक फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है $F(x)$ पर $[0,A)$ जो कि एक q-विरोधीअवकलन है $f(x).$ इसके अतिरिक्त, $F(x)$ पर निरंतर है $x=0$ साथ $F(0)=0$ और का एक अद्वितीय प्रतिव्युत्पन्न है $f(x)$ कार्यों के इस वर्ग में.

संदर्भ

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Jackson F H (1904), "A generalization of the functions Γ(n) and x_n", Proc. R. Soc. 74 64–72.
• Jackson F H (1910), "On q-definite integrals", Q. J. Pure Appl. Math. 41 193–203.
• Exton, Harold (1983). Q-hypergeometric functions and applications. Chichester [West Sussex]: E. Horwood. ISBN 978-0470274538.