एक मॉड्यूल का समर्थन

क्रमविनिमेय बीजगणित में, क्रमविनिमेय वलय ए पर मॉड्यूल (गणित) एम का समर्थन सभी अभाज्य आदर्शों का समुच्चय है ${\mathfrak {p}}$ ए का ऐसा कि $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ (अर्थात, एम का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) ${\mathfrak {p}}$ शून्य के बराबर नहीं है)। द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {Supp} M$. समर्थन, परिभाषा के अनुसार, ए की अंगूठी के स्पेक्ट्रम का उपसमूह है।

गुण

• $M=0$ यदि और केवल यदि इसका समर्थन खाली सेट है।
• होने देना $0\to M'\to M\to M''\to 0$ ए-मॉड्यूल का संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनें। तब

  $\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.$

ध्यान दें कि यह संघ असंयुक्त संघ नहीं हो सकता है।

• अगर $M$ सबमॉड्यूल का योग है $M_{\lambda }$, तब $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.$
• अगर $M$ तो, अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल ए-मॉड्यूल है $\operatorname {Supp} M$ एम के एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) वाले सभी प्रमुख आदर्शों का समूह है। विशेष रूप से, यह स्पेक ए पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी में बंद है।
• अगर $M,N$ फिर, अंतिम रूप से ए-मॉड्यूल उत्पन्न होते हैं

  $\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.$

• अगर $M$ अंतिम रूप से उत्पन्न ए-मॉड्यूल है और मैं, ए का आदर्श (रिंग सिद्धांत) हूं $\operatorname {Supp} (M/IM)$ सभी प्रमुख आदर्शों का समुच्चय है $I+\operatorname {Ann} M.$ यह है $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$.

एक अर्ध सुसंगत शीफ़ का समर्थन

यदि एफ योजना (गणित) एक्स पर अर्ध सुसंगत शीफ है, तो एफ का समर्थन एक्स में सभी बिंदुओं x का सेट है जैसे कि डंठल (शीफ) एफ_x शून्येतर है. यह परिभाषा स्पेस एक्स पर समर्थन (गणित) की परिभाषा के समान है, और यह समर्थन शब्द का उपयोग करने के लिए प्रेरणा है। समर्थन के अधिकांश गुण मॉड्यूल से शब्द दर शब्द क्वासिकोहेरेंट शीव्स तक सामान्यीकृत होते हैं। उदाहरण के लिए, सुसंगत शीफ (या अधिक सामान्यतः, परिमित प्रकार का शीफ) का समर्थन एक्स का बंद उपस्थान है। यदि एम रिंग ए के ऊपर मॉड्यूल है, तो मॉड्यूल के रूप में एम का समर्थन मॉड्यूल क्वासिकोहेरेंट शीफ से जुड़े शीफ के समर्थन से मेल खाता है ${\tilde {M}}$ एफ़िन स्कीम Spec A पर। इसके अलावा, यदि $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ योजना_α प्रत्येक ए के ऊपर_α.

उदाहरण

जैसा कि ऊपर बताया गया है, प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ समर्थन में है यदि और केवल तभी जब इसमें विनाशक शामिल हो $M$. उदाहरण के लिए, ऊपर $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$, मॉड्यूल का विनाशक

$M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}$

आदर्श है $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$. इसका अर्थ यह है कि $\operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)$, बहुपद f का लुप्त हो रहा स्थान। संक्षिप्त सटीक अनुक्रम को देखते हुए

$0\to I\to R\to R/I\to 0$

हम गलती से यह अनुमान लगा सकते हैं कि I = (f) का समर्थन Spec(R) है_(f)), जो बहुपद f के लुप्त बिंदु का पूरक है। वास्तव में, चूँकि R अभिन्न डोमेन है, आदर्श I = (f) = Rf मॉड्यूल के रूप में R के समरूपी है, इसलिए इसका समर्थन संपूर्ण स्थान है: Supp(I) = Spec(R)।

नोथेरियन अंगूठी पर परिमित मॉड्यूल का समर्थन हमेशा विशेषज्ञता के तहत बंद रहता है।

अब, यदि हम दो बहुपद लें $f_{1},f_{2}\in R$ अभिन्न डोमेन में जो पूर्ण प्रतिच्छेदन आदर्श बनाता है $(f_{1},f_{2})$, टेंसर संपत्ति हमें वह दिखाती है

$\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).$

यह भी देखें

• विनाशकारी (रिंग सिद्धांत)
• संबद्ध प्रधान
• समर्थन (गणित)

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• Atiyah, M. F., and I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR242802