क्रैमर प्रमेय (बीजगणितीय वक्र)

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय वक्रों पर क्रैमर का प्रमेय गैर-डीजनरेसी (गणित) मामलों में वक्र को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए बीजगणितीय वक्र पर पड़ने वाले वास्तविक विमान (गणित) में आवश्यक और पर्याप्त संख्या में बिंदु देता है। यह संख्या है

${\frac {n(n+3)}{2}},$

कहाँ nवक्र के बहुपद की डिग्री है। यह प्रमेय गेब्रियल क्रैमर के कारण है, जिन्होंने इसे 1750 में प्रकाशित किया था। उदाहरण के लिए, एक रेखा (डिग्री 1 की) उस पर 2 अलग-अलग बिंदुओं द्वारा निर्धारित होती है: एक और केवल एक रेखा उन दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। इसी प्रकार, एक पतित शांकव|गैर-अपक्षयी शांकव (बहुपद समीकरण) x और y किसी भी पद में उनकी शक्तियों का योग 2 से अधिक नहीं है, इसलिए डिग्री 2 के साथ) सामान्य स्थिति में 5 बिंदुओं द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है (जिनमें से कोई भी तीन एक सीधी रेखा पर नहीं हैं)।

शंकु मामले का अंतर्ज्ञान यह है: मान लीजिए कि दिए गए बिंदु, विशेष रूप से, एक दीर्घवृत्त पर पड़ते हैं। फिर दीर्घवृत्त की पहचान करने के लिए जानकारी के पांच टुकड़े आवश्यक और पर्याप्त हैं - दीर्घवृत्त के केंद्र का क्षैतिज स्थान, केंद्र का ऊर्ध्वाधर स्थान, प्रमुख अक्ष (सबसे लंबी जीवा की लंबाई (ज्यामिति)), लघु अक्ष (लंबाई) केंद्र के माध्यम से सबसे छोटी जीवा का, प्रमुख अक्ष के लंबवत), और दीर्घवृत्त का घूर्णन (गणित) (वह सीमा जहां तक ​​प्रमुख अक्ष क्षैतिज से प्रस्थान करता है)। सामान्य स्थिति में पाँच बिंदु जानकारी के इन पाँच टुकड़ों को प्रदान करने के लिए पर्याप्त हैं, जबकि चार बिंदु नहीं हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति

दो चर वाले n-वें डिग्री समीकरण में अलग-अलग शब्दों (शून्य गुणांक वाले सहित) की संख्या (n + 1) (n + 2) / 2 है। ऐसा इसलिए है क्योंकि n-वें डिग्री के शब्द हैं $x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},$ कुल संख्या n + 1; (n − 1) डिग्री पद हैं $x^{n-1},\,x^{n-2}y^{1},\,\dots ,\,y^{n-1},$ कुल संख्या n; और इसी तरह प्रथम डिग्री शर्तों के माध्यम से $x$ और $y,$ कुल संख्या 2, और एकल शून्य डिग्री पद (स्थिरांक)। इनका योग (n + 1) + n + (n – 1) + ... + 2 + 1 = (n + 1) (n + 2) / 2 पद है, प्रत्येक का अपना गुणांक है। हालाँकि, इनमें से एक गुणांक वक्र निर्धारित करने में अनावश्यक है, क्योंकि हम हमेशा बहुपद समीकरण को किसी भी एक गुणांक से विभाजित कर सकते हैं, 1 पर निर्धारित एक गुणांक के साथ एक समतुल्य समीकरण दे सकते हैं, और इस प्रकार [(n+1)(n) + 2)/2] −1 = n(n+3)/2 शेष गुणांक।

उदाहरण के लिए, चौथी डिग्री के समीकरण का सामान्य रूप होता है

$x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2}x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2}y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,$

4(4+3)/2 = 14 गुणांक के साथ।

बिंदुओं के एक सेट के माध्यम से बीजगणितीय वक्र का निर्धारण करने में बीजगणितीय समीकरण में इन गुणांकों के लिए मान निर्धारित करना शामिल है ताकि प्रत्येक बिंदु समीकरण को संतुष्ट करे। दिए गए n(n+3)/2 अंक (x_i, और_i), इनमें से प्रत्येक बिंदु का उपयोग डिग्री n के सामान्य बहुपद समीकरण में प्रतिस्थापित करके एक अलग समीकरण बनाने के लिए किया जा सकता है, जिससे n(n + 3) / 2 समीकरण n (n + 3) / 2 अज्ञात गुणांक में रैखिक होते हैं। यदि यह प्रणाली गैर-शून्य निर्धारक (गणित) होने के अर्थ में गैर-पतित है, तो अज्ञात गुणांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं और इसलिए बहुपद समीकरण और इसका वक्र विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। इससे अधिक अंक अनावश्यक होंगे, और कम अंक गुणांकों के लिए विशिष्ट रूप से समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए अपर्याप्त होंगे।

विकृत मामले

एक पतित मामले का एक उदाहरण, जिसमें वक्र पर n(n+3)/2 बिंदु वक्र को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, क्रैमर द्वारा क्रैमर के विरोधाभास के हिस्से के रूप में प्रदान किया गया था। मान लीजिए कि डिग्री n = 3 है, और नौ बिंदु x = -1, 0, 1 और y = -1, 0, 1 के सभी संयोजन हैं। एक से अधिक घन में ये सभी बिंदु होते हैं, अर्थात् समीकरण के सभी घन $a(x^{3}-x)+b(y^{3}-y)=0.$ इस प्रकार ये बिंदु एक अद्वितीय घन का निर्धारण नहीं करते हैं, भले ही उनमें से n(n+3)/2=9 हों। अधिक आम तौर पर, अनंत रूप से कई क्यूबिक्स होते हैं जो दो क्यूबिक्स के नौ चौराहे बिंदुओं से गुजरते हैं (बेज़आउट के प्रमेय का तात्पर्य है कि दो क्यूबिक्स में, सामान्य तौर पर, नौ चौराहे बिंदु होते हैं)

इसी तरह, n = 2 के शंकु मामले के लिए, यदि दिए गए पांच में से तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर आते हैं, तो वे विशिष्ट रूप से वक्र का निर्धारण नहीं कर सकते हैं।

प्रतिबंधित मामले

यदि वक्र को n-वें डिग्री बहुपद समीकरणों की एक विशेष उप-श्रेणी में होना आवश्यक है, तो एक अद्वितीय वक्र निर्धारित करने के लिए n(n+3)/2 से कम अंक आवश्यक और पर्याप्त हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य वृत्त समीकरण द्वारा दिया गया है $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ जहां केंद्र (ए, बी) पर स्थित है और त्रिज्या आर है। समान रूप से, वर्गांकित पदों का विस्तार करने पर, सामान्य समीकरण बनता है $x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,$ कहाँ $k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.$ n = 2 के सामान्य शंकु मामले की तुलना में यहां दो प्रतिबंध लगाए गए हैं: xy में पद का गुणांक 0 के बराबर सीमित है, और y का गुणांक²x के गुणांक के बराबर तक सीमित है². इस प्रकार पाँच बिंदुओं की आवश्यकता के बजाय, केवल 5 – 2 = 3 की आवश्यकता होती है, जो 3 पैरामीटर ए, बी, के (समकक्ष ए, बी, आर) से मेल खाते हैं जिन्हें पहचानने की आवश्यकता है।

यह भी देखें

• पांच बिंदु एक शंकु निर्धारित करते हैं