रैखिक मल्टीस्टेप विधि

"Adams' method" redirects here. For the electoral apportionment method, see Method of smallest divisors.

संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों के लिए रैखिक मल्टीस्टेप विधियों का उपयोग किया जाता है। वैचारिक रूप से, एक संख्यात्मक विधि एक प्रारंभिक बिंदु से शुरू होती है और फिर अगले समाधान बिंदु को खोजने के लिए समय में एक छोटा कदम आगे बढ़ाती है। समाधान निकालने के लिए प्रक्रिया बाद के चरणों के साथ जारी रहती है। एकल-चरण विधियाँ (जैसे यूलर की विधि) वर्तमान मूल्य निर्धारित करने के लिए केवल एक पिछले बिंदु और उसके व्युत्पन्न को संदर्भित करती हैं। रनगे-कुट्टा विधियां|रंज-कुट्टा जैसी विधियां उच्च क्रम विधि प्राप्त करने के लिए कुछ मध्यवर्ती कदम (उदाहरण के लिए, आधा कदम) लेती हैं, लेकिन फिर दूसरा कदम उठाने से पहले सभी पिछली जानकारी को त्याग देती हैं। मल्टीस्टेप विधियाँ पिछले चरणों की जानकारी को त्यागने के बजाय उसे बनाए रखने और उसका उपयोग करके दक्षता हासिल करने का प्रयास करती हैं। नतीजतन, मल्टीस्टेप विधियां कई पिछले बिंदुओं और व्युत्पन्न मूल्यों को संदर्भित करती हैं। रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के मामले में, पिछले बिंदुओं और व्युत्पन्न मूल्यों के एक रैखिक संयोजन का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ फॉर्म की प्रारंभिक मूल्य समस्याओं का अनुमानित समाधान करती हैं

$$y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$$

परिणाम के मूल्य के लिए अनुमान है $y(t)$ अलग-अलग समय पर $t_{i}$:

$$y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{where}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,$$

कहाँ $h$ समय चरण है (कभी-कभी इसे कहा जाता है)। $\Delta t$) और $i$ एक पूर्णांक है.

मल्टीस्टेप विधियाँ पिछली जानकारी का उपयोग करती हैं $s$ अगले मान की गणना करने के चरण. विशेष रूप से, एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि एक रैखिक संयोजन का उपयोग करती है $y_{i}$ और $f(t_{i},y_{i})$ के मूल्य की गणना करने के लिए $y$ वांछित वर्तमान चरण के लिए. इस प्रकार, एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि फॉर्म की एक विधि है

$${\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}\cdot y_{n+s-1}+a_{s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&\qquad {}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}\cdot f(t_{n},y_{n})\right)\\&\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{s}b_{j}f(t_{n+j},y_{n+j}),\end{aligned}}$$

साथ $a_{s}=1$. गुणांक $a_{0},\dotsc ,a_{s-1}$ और $b_{0},\dotsc ,b_{s}$ विधि निर्धारित करें. विधि का डिजाइनर लागू करने में आसान विधि प्राप्त करने की इच्छा के विरुद्ध सही समाधान के लिए एक अच्छा अनुमान प्राप्त करने की आवश्यकता को संतुलित करते हुए, गुणांक का चयन करता है। विधि को सरल बनाने के लिए अक्सर कई गुणांक शून्य होते हैं।

कोई भी स्पष्ट और अंतर्निहित तरीकों के बीच अंतर कर सकता है। अगर $b_{s}=0$, तो विधि को स्पष्ट कहा जाता है, क्योंकि सूत्र सीधे गणना कर सकता है $y_{n+s}$. अगर $b_{s}\neq 0$ तो विधि को अंतर्निहित कहा जाता है, क्योंकि इसका मान है $y_{n+s}$ के मूल्य पर निर्भर करता है $f(t_{n+s},y_{n+s})$, और समीकरण को हल किया जाना चाहिए $y_{n+s}$. अंतर्निहित सूत्र को हल करने के लिए अक्सर न्यूटन की विधि जैसी पुनरावृत्तीय विधियों का उपयोग किया जाता है।

कभी-कभी मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए एक स्पष्ट मल्टीस्टेप विधि का उपयोग किया जाता है $y_{n+s}$. फिर उस मान को सही करने के लिए एक अंतर्निहित सूत्र में उपयोग किया जाता है। परिणाम एक भविष्यवक्ता-सुधारक विधि है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए समस्या पर विचार करें

$$y'=f(t,y)=y,\quad y(0)=1.$$

सटीक समाधान है $y(t)=e^{t}$.

वन-स्टेप यूलर

एक सरल संख्यात्मक विधि यूलर की विधि है:

$$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).$$

यूलर की विधि को एक चरण के विकृत मामले के लिए एक स्पष्ट मल्टीस्टेप विधि के रूप में देखा जा सकता है।

यह विधि, चरण आकार के साथ लागू होती है $h={\tfrac {1}{2}}$ समस्या पर $y'=y$, निम्नलिखित परिणाम देता है:

$${\begin{aligned}y_{1}&=y_{0}+hf(t_{0},y_{0})=1+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1=1.5,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1.5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=2.25,\\y_{3}&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2.25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2.25=3.375,\\y_{4}&=y_{3}+hf(t_{3},y_{3})=3.375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3.375=5.0625.\end{aligned}}$$

दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ

यूलर की विधि एक चरणीय विधि है। एक सरल बहुचरणीय विधि दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि है

$$y_{n+2}=y_{n+1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{n+1},y_{n+1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{n},y_{n}).$$

इस विधि के लिए दो मानों की आवश्यकता है, $y_{n+1}$ और $y_{n}$, अगले मान की गणना करने के लिए, $y_{n+2}$. हालाँकि, प्रारंभिक मूल्य समस्या केवल एक मान प्रदान करती है, $y_{0}=1$. इस समस्या को हल करने की एक संभावना का उपयोग करना है $y_{1}$ यूलर की विधि द्वारा दूसरे मान के रूप में गणना की गई। इस विकल्प के साथ, एडम्स-बैशफोर्थ विधि उत्पन्न होती है (चार अंकों तक पूर्णांकित):

$${\begin{aligned}y_{2}&=y_{1}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{1},y_{1})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{0},y_{0})=1.5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2.375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2},y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2.375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3.7812+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375=6.0234.\end{aligned}}$$

पर सटीक समाधान $t=t_{4}=2$ है $e^{2}=7.3891\ldots$, इसलिए दो-चरणीय एडम्स-बैशफोर्थ विधि यूलर की विधि से अधिक सटीक है। यदि चरण का आकार काफी छोटा है तो यह हमेशा मामला होता है।

मल्टीस्टेप विधियों के परिवार

रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के तीन परिवार आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं: एडम्स-बैशफोर्थ विधियां, एडम्स-मौल्टन विधियां, और पिछड़े भेदभाव सूत्र (बीडीएफ)।

एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ

एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ स्पष्ट विधियाँ हैं। गुणांक हैं $a_{s-1}=-1$ और $a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0$, जब $b_{j}$ ऐसे चुना जाता है कि विधियों का क्रम s हो (यह विधियों को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है)।

एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ s = 1, 2, 3, 4, 5 के साथ हैं (Hairer, Nørsett & Wanner 1993, §III.1; Butcher 2003, p. 103):

$$b_{j}$$