अनुकूलित प्रक्रिया

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में, एक अनुकूलित प्रक्रिया (जिसे गैर-प्रत्याशित या गैर-प्रत्याशित प्रक्रिया भी कहा जाता है) वह है जो भविष्य में नहीं देख सकती है। एक अनौपचारिक व्याख्या क्या वह X अनुकूलित है यदि और केवल यदि, प्रत्येक प्राप्ति और प्रत्येक n, X के लिए_nसमय n पर ज्ञात होता है। उदाहरण के लिए, इटो इंटीग्रल की परिभाषा में एक अनुकूलित प्रक्रिया की अवधारणा आवश्यक है, जो केवल तभी समझ में आती है जब एकीकृत एक अनुकूलित प्रक्रिया है।

परिभाषा

होने देना

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ एक संभाव्यता स्थान बनें;
• $I$ कुल ऑर्डर के साथ एक इंडेक्स सेट बनें $\leq$ (अक्सर, $I$ है $\mathbb {N}$, $\mathbb {N} _{0}$, $[0,T]$ या $[0,+\infty )$);
• $\mathbb {F} =\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ सिग्मा बीजगणित का एक निस्पंदन (संभावना सिद्धांत) बनें ${\mathcal {F}}$;
• $(S,\Sigma )$ एक मापने योग्य स्थान हो, राज्य स्थान;
• $X:I\times \Omega \to S$ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया बनें।

प्रक्रिया $X$ कहा जाता है कि इसे निस्पंदन के लिए अनुकूलित किया गया है $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ यदि यादृच्छिक चर $X_{i}:\Omega \to S$ एक है $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$-प्रत्येक के लिए मापने योग्य कार्य $i\in I$.

उदाहरण

एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया

• यदि हम प्राकृतिक निस्पंदन एफ लेते हैं_•^एक्स, जहां एफ_t^X पूर्व-छवियों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है X_s⁻¹(B) 'आर' के बोरेल उपसमुच्चय बी और समय 0 ≤ एस ≤ टी के लिए, तो एक्स स्वचालित रूप से एफ है_•^एक्स-अनुकूलित. सहज रूप से, प्राकृतिक निस्पंदन एफ_•^X में समय-समय पर X के व्यवहार के बारे में कुल जानकारी होती है।
• यह एक गैर-अनुकूलित प्रक्रिया का एक सरल उदाहरण प्रस्तुत करता है X : [0, 2] × Ω → R: एफ सेट करें_t 0 ≤ t < 1 और F के समय के लिए तुच्छ σ-बीजगणित {∅, Ω} होना_t = एफ_t^Xसमय के लिए 1 ≤ t ≤ 2. चूँकि किसी फ़ंक्शन को तुच्छ σ-बीजगणित के संबंध में मापने का एकमात्र तरीका स्थिर होना है, कोई भी प्रक्रिया X जो [0, 1] पर गैर-स्थिर है, F होने में विफल होगी_•-अनुकूलित. ऐसी प्रक्रिया की गैर-स्थिर प्रकृति अधिक परिष्कृत भविष्य के σ-बीजगणित एफ से जानकारी का उपयोग करती है_t, 1 ≤ t ≤ 2.

यह भी देखें

• पूर्वानुमेय प्रक्रिया
• उत्तरोत्तर मापने योग्य प्रक्रिया