बिल्डिंग (गणित)

गणित में, एक इमारत (टिट्स बिल्डिंग भी, जिसका नाम जैक्स टिट्स के नाम पर रखा गया है) एक संयुक्त और ज्यामितीय संरचना है जो एक साथ ध्वज मैनिफोल्ड्स, परिमित प्रक्षेप्य विमानों और रीमैनियन सममित स्थानों के कुछ पहलुओं को सामान्यीकृत करती है। इमारतों को शुरू में जैक्स टिट्स द्वारा लाई प्रकार के समूह की संरचना को समझने के साधन के रूप में पेश किया गया था। ब्रुहट-टिट्स इमारतों का अधिक विशिष्ट सिद्धांत (जिसका नाम फ्रांकोइस ब्रुहट के नाम पर भी रखा गया है) पी-एडिक लाई समूह के अध्ययन में एक भूमिका निभाता है|p-एडिक लाई समूह, लाई समूहों के सिद्धांत में सममित स्थानों के सिद्धांत के अनुरूप है।

अवलोकन

2-एडिक लाई समूह के लिए ब्रुहट-टिट्स पेड़ SL(2,Q₂).

एक भवन की अवधारणा का आविष्कार जैक्स टिट्स द्वारा एक मनमाने क्षेत्र (गणित) पर लाई प्रकार के समूह का वर्णन करने के साधन के रूप में किया गया था। स्तन ने ऐसे प्रत्येक समूह को प्रदर्शित किया (गणित) G कोई एक सरल परिसर को जोड़ सकता है Δ = Δ(G) की एक समूह क्रिया (गणित) के साथ G, की गोलाकार इमारत कहलाती है G. समूह G कॉम्प्लेक्स पर बहुत मजबूत संयोजन नियमितता की स्थिति लागू करता है Δ जो इस प्रकार उत्पन्न हो सकता है। सरलीकृत परिसरों के एक वर्ग के लिए इन स्थितियों को स्वयंसिद्ध मानकर, टिट्स एक इमारत की अपनी पहली परिभाषा पर पहुंचे। किसी भवन को परिभाषित करने वाले डेटा का एक भाग Δ एक कॉक्सेटर समूह है W, जो एक अत्यधिक सममितीय सरलीकृत परिसर को निर्धारित करता है Σ = Σ(W,S), कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स कहा जाता है। एक इमारत Δ की कई प्रतियों को एक साथ चिपका दिया गया है Σ, एक निश्चित नियमित फैशन में, इसके अपार्टमेंट कहलाते हैं। कब W एक परिमित कॉक्सेटर समूह है, कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र है, और संबंधित इमारतों को गोलाकार प्रकार का कहा जाता है। कब W एक एफ़िन वेइल समूह है, कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स एफ़िन विमान का एक उपखंड है और एक एफ़िन, या यूक्लिडियन, इमारतों की बात करता है। एक प्रकार की एफ़िन बिल्डिंग Ã₁ टर्मिनल शीर्षों के बिना एक अनंत वृक्ष (ग्राफ़ सिद्धांत) के समान है।

यद्यपि अर्धसरल बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत ने एक इमारत की धारणा के लिए प्रारंभिक प्रेरणा प्रदान की, लेकिन सभी इमारतें एक समूह से उत्पन्न नहीं होती हैं। विशेष रूप से, प्रक्षेप्य तल और सामान्यीकृत चतुर्भुज घटना ज्यामिति में अध्ययन किए गए ग्राफ़ के दो वर्ग बनाते हैं जो किसी इमारत के सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन किसी भी समूह से जुड़े नहीं हो सकते हैं। यह घटना संबंधित कॉक्सेटर सिस्टम (अर्थात्, दो) के निम्न रैंक से संबंधित है। टिट्स ने एक उल्लेखनीय प्रमेय साबित किया: कम से कम तीन रैंक की सभी गोलाकार इमारतें एक समूह से जुड़ी हुई हैं; इसके अलावा, यदि कम से कम दो रैंक की इमारत किसी समूह से जुड़ी हुई है तो समूह अनिवार्य रूप से इमारत द्वारा निर्धारित होता है।

इवाहोरी-मात्सुमोतो, बोरेल-टिट्स और ब्रुहट-टिट्स ने प्रदर्शित किया कि टिट्स के गोलाकार भवनों के निर्माण के अनुरूप, स्थानीय गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर कुछ समूहों, अर्थात् रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों से भी एफ़िन इमारतों का निर्माण किया जा सकता है। इसके अलावा, यदि समूह की विभाजित रैंक कम से कम तीन है, तो यह अनिवार्य रूप से इसकी इमारत द्वारा निर्धारित की जाती है। टिट्स ने बाद में चैम्बर प्रणाली की धारणा का उपयोग करके इमारतों के सिद्धांत के मूलभूत पहलुओं पर फिर से काम किया, इमारत को केवल अधिकतम आयाम की सरलता के आसन्न गुणों के संदर्भ में एन्कोड किया गया; इससे गोलाकार और एफ़िन दोनों मामलों में सरलीकरण होता है। उन्होंने साबित किया कि, गोलाकार मामले के अनुरूप, एफ़िन प्रकार और कम से कम चार रैंक की प्रत्येक इमारत एक समूह से उत्पन्न होती है।

परिभाषा

एक n-आयामी भवन X एक अमूर्त सरल संकुल है जो उप संकुलों का एक संघ है Aअपार्टमेंट को ऐसे कहा जाता है

• प्रत्येक k-का सरलीकरण X कम से कम तीन के भीतर है n-सरल अगर k < n;
• कोई (n – 1)-एक अपार्टमेंट में सिंप्लेक्स A बिल्कुल दो आसन्न में स्थित है n-का सरलीकरण A और आसन्न का ग्राफ सिद्धांत n-सरल जुड़ा हुआ है;
• कोई दो सरल में X किसी आम अपार्टमेंट में लेट जाओ A;
• यदि दो सिंपलिस दोनों अपार्टमेंट में झूठ बोलते हैं A और A′, तो एक सरल समरूपता है Aपर A′ दो सरलताओं के शीर्षों को ठीक करना।

एक n-सिम्पलेक्स इन A को एक कक्ष कहा जाता है (मूल रूप से चैम्ब्रे, यानी फ्रेंच भाषा में कमरा)।

भवन की श्रेणी को परिभाषित किया गया है n + 1.

प्राथमिक गुण

हर अपार्टमेंट A एक इमारत में कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स है। वास्तव में, प्रत्येक दो के लिए n-एक में सरल प्रतिच्छेद (n – 1)-सिम्प्लेक्स या पैनल, दो सरल ऑटोमोर्फिज्म की एक अनूठी अवधि है A, एक प्रतिबिंब कहा जाता है, एक ले जाने वाला n-दूसरे पर सरलीकरण करना और उनके सामान्य बिंदुओं को ठीक करना। ये प्रतिबिंब एक कॉक्सेटर समूह उत्पन्न करते हैं W, का वेइल समूह कहा जाता है A, और सरल जटिल A के मानक ज्यामितीय बोध से मेल खाता है W. कॉक्सेटर समूह के मानक जनरेटर एक निश्चित कक्ष की दीवारों में प्रतिबिंब द्वारा दिए जाते हैं A. अपार्टमेंट के बाद से A इमारत द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, यही बात किन्हीं दो सरलताओं के लिए भी सच है X किसी सामान्य अपार्टमेंट में पड़ा हुआ A. कब Wपरिमित है, भवन गोलाकार कहा गया है। जब यह एक एफ़िन वेइल समूह होता है, तो इमारत को एफ़िन या यूक्लिडियन कहा जाता है।

कक्ष प्रणाली कक्षों द्वारा गठित आसन्नता ग्राफ है; आसन्न कक्षों के प्रत्येक जोड़े को किसी एक मानक द्वारा लेबल किया जा सकता है कॉक्सेटर समूह के जनरेटर (देखें Tits 1981).

हर इमारत में एक विहित आंतरिक मीट्रिक होती है जो हिल्बर्ट स्थान के ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ शीर्षों की पहचान करके प्राप्त ज्यामितीय अहसास से विरासत में मिली है। संबद्ध भवनों के लिए, यह मीट्रिक CAT(k) स्थान को संतुष्ट करता है|CAT(0) अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव की तुलनात्मक असमानता, जिसे इस सेटिंग में जियोडेसिक त्रिकोण के लिए ब्रुहट-टिट्स गैर-सकारात्मक वक्रता स्थिति के रूप में जाना जाता है: एक शीर्ष से विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक की दूरी समान भुजाओं की लंबाई वाले संबंधित यूक्लिडियन त्रिकोण में दूरी से अधिक नहीं है (देखें) Bruhat & Tits 1972).

के साथ संबंध (B, N)जोड़े

यदि कोई समूह G किसी इमारत पर सरलता से कार्य करता है X, जोड़ों पर सकर्मक रूप से (C,A) कक्षों का C और अपार्टमेंट Aउनसे युक्त, तो ऐसी जोड़ी के स्टेबलाइजर्स एक बीएन जोड़ी को परिभाषित करते हैं|(B, N) जोड़ी या स्तन प्रणाली. वास्तव में उपसमूहों की जोड़ी

B = G_C और N = G_A

ए के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है (B, N) जोड़ी और वेइल समूह की पहचान की जा सकती है N / N ∩ B.

इसके विपरीत भवन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है (B, N) जोड़ी, ताकि प्रत्येक (B, N) जोड़ी प्रामाणिक रूप से एक इमारत को परिभाषित करती है। वास्तव में, की शब्दावली का उपयोग करना (B, N) जोड़े और किसी भी संयुग्म को बुलाना B एक बोरेल उपसमूह और बोरेल उपसमूह वाला कोई भी समूह, एक परवलयिक उपसमूह,

• इमारत के शिखर Xअधिकतम परवलयिक उपसमूहों के अनुरूप;
• k + 1 शीर्ष एक रूप बनाते हैं k-सिंप्लेक्स जब भी संबंधित अधिकतम परवलयिक उपसमूहों का प्रतिच्छेदन भी परवलयिक होता है;
• अपार्टमेंट नीचे संयुग्मित हैं G नीचे संयुग्मों द्वारा दिए गए शीर्षों के साथ सरल उपसंकुल का N अधिकतम परवलयिक युक्त B.

एक ही इमारत का अक्सर अलग-अलग वर्णन किया जा सकता है (B, N) जोड़े। इसके अलावा, हर इमारत एक से नहीं आती (B, N) जोड़ी: यह निम्न रैंक और आयाम में वर्गीकरण परिणामों की विफलता से मेल खाती है (नीचे देखें)।

गोलाकार और गोलाकार इमारतों के लिए SL_n

संबद्ध और गोलाकार इमारतों की सरल संरचना SL_n(Q_p), साथ ही उनके अंतर्संबंधों को केवल प्राथमिक बीजगणित और ज्यामिति की अवधारणाओं का उपयोग करके सीधे समझाना आसान है (देखें) Garrett 1997). इस मामले में तीन अलग-अलग इमारतें हैं, दो गोलाकार और एक गोलाकार। प्रत्येक अपार्टमेंट का एक संघ है, जो स्वयं सरल परिसर हैं। एफ़िन बिल्डिंग के लिए, एक अपार्टमेंट एक सरल जटिल चौकोर यूक्लिडियन स्थान है Eⁿ⁻¹ द्वारा (n − 1)-आयामी सरलताएं; जबकि एक गोलाकार इमारत के लिए यह सभी द्वारा निर्मित एक सीमित सरल परिसर है (n − 1)! अनुरूप टेस्सेलेशन में किसी दिए गए सामान्य शीर्ष के साथ सरलता Eⁿ⁻².

प्रत्येक इमारत एक साधारण परिसर है X जिसे निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करना होगा:

• Xअपार्टमेंट का एक संघ है.
• कोई भी दो सरलताएँ X एक सामान्य अपार्टमेंट में समाहित हैं।
• यदि एक सिम्प्लेक्स दो अपार्टमेंटों में समाहित है, तो सभी सामान्य बिंदुओं को ठीक करते हुए एक से दूसरे की सरल समरूपता होती है।

गोलाकार भवन

होने देना F एक क्षेत्र (गणित) बनें और रहने दें X गैर-तुच्छ वेक्टर उप-स्थानों के शीर्षों के साथ सरल जटिल बनें V = Fⁿ. दो उपस्थान U₁ और U₂ जुड़े हुए हैं यदि उनमें से एक दूसरे का उपसमुच्चय है। वह k-का सरलीकरण X के सेट से बनते हैं k + 1 परस्पर जुड़े हुए उपस्थान। लेने से अधिकतम कनेक्टिविटी प्राप्त होती है n − 1 उचित गैर-तुच्छ उप-स्थान और संगत (n − 1)-सिंप्लेक्स एक ध्वज से मेल खाता है (रैखिक बीजगणित)

(0) ⊂ U₁ ⊂ ··· ⊂ U_{n – 1} ⊂ V

कम आयामी सरलताएं कम मध्यस्थ उपस्थानों वाले आंशिक झंडों के अनुरूप होती हैं U_i.

अपार्टमेंट को परिभाषित करने के लिए X, इसमें फ़्रेम को परिभाषित करना सुविधाजनक है V आधार रूप से (v_i) इसके प्रत्येक सदिश के अदिश गुणन तक निर्धारित किया जाता है v_i; दूसरे शब्दों में एक फ़्रेम एक-आयामी उप-स्थानों का एक सेट है L_i = F·v_i ऐसा कि कोई भी k उनमें से एक उत्पन्न होता है k-आयामी उपस्थान. अब एक ऑर्डर किया गया फ्रेम L₁, ..., L_n के माध्यम से एक पूर्ण ध्वज को परिभाषित करता है

U_i = L₁ ⊕ ··· ⊕ L_i

विभिन्न के पुनर्क्रमण के बाद से L_i एक फ़्रेम भी दें, यह देखना सीधा है कि उप-स्थान, के योग के रूप में प्राप्त होते हैं L_i, एक गोलाकार इमारत के अपार्टमेंट के लिए आवश्यक प्रकार का एक सरल परिसर बनाएं। जॉर्डन-होल्डर अपघटन की विशिष्टता को साबित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले शास्त्रीय श्रेयर शोधन प्रमेय का उपयोग करके किसी इमारत के लिए सिद्धांतों को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

एफ़िन बिल्डिंग

होने देना K के बीच में एक फ़ील्ड हो Q और इसका पी-एडिक नंबर|p-अर्थात् पूर्णता Q_p सामान्य आर्किमिडीयन संपत्ति के संबंध में|गैर-आर्किमिडीयन पी-एडिक मानदंड|p-अर्थात आदर्श ||x||_p पर Q कुछ प्राइम के लिए p. होने देना R का उपरिंग हो K द्वारा परिभाषित

R = { x : ||x||_p ≤ 1 }

कब K = Q, R एक रिंग का स्थानीयकरण है Z पर p और जब K = Q_p, R = Z_p, पी-एडिक पूर्णांक|p-एडीआईसी पूर्णांक, यानी बंद करना Z में Q_p.

इमारत के शिखर X हैं R-में जाली V = Kⁿ, अर्थात। R-फॉर्म के उपमॉड्यूल

L = R·v₁ ⊕ ··· ⊕ R·v_n

कहाँ (v_i) का आधार है V ऊपर K. गुणक समूह के एक तत्व द्वारा दो जालकों को समतुल्य कहा जाता है यदि एक दूसरे का अदिश गुणज है K* का K (वास्तव में केवल पूर्णांक घातें p उपयोग करने की आवश्यकता है)। दो जाली L₁ और L₂ को आसन्न कहा जाता है यदि कुछ जाली के बराबर हो L₂ बीच मे स्थित L₁ और इसकी उदात्तता p·L₁: यह संबंध सममित है. वह k-का सरलीकरण X के समतुल्य वर्ग हैं k + 1 परस्पर आसन्न जाली, वह (n − 1)-सरलताएं, पुनः लेबल करने के बाद, जंजीरों से मेल खाती हैं

p·L_n ⊂ L₁ ⊂ L₂ ⊂ ··· ⊂ L_{n – 1} ⊂ L_n

जहां प्रत्येक क्रमिक भागफल का क्रम होता है p. अपार्टमेंट को एक आधार तय करके परिभाषित किया जाता है (v_i) का V और सभी जालकों को आधार के साथ लेना (p^a_i v_i) कहाँ (a_i) में निहित है Zⁿ और प्रत्येक प्रविष्टि में समान पूर्णांक जोड़ने तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा के अनुसार प्रत्येक अपार्टमेंट का आवश्यक रूप होता है और उनका संघ संपूर्ण होता है X. दूसरा स्वयंसिद्ध श्रेयर शोधन तर्क के एक प्रकार का अनुसरण करता है। अंतिम स्वयंसिद्ध रूप के परिमित एबेलियन समूहों के आदेशों के आधार पर एक सरल गिनती तर्क का पालन किया जाता है

L + p^k ·L_i / p^k ·L_i

एक मानक कॉम्पैक्टनेस तर्क यह दर्शाता है X वास्तव में चयन से स्वतंत्र है K. विशेष रूप से लेना K = Q, यह इस प्रकार है कि X गणनीय है. दूसरी ओर, ले रहा है K = Q_p, परिभाषा यह दर्शाती है GL_n(Q_p) इमारत पर स्वाभाविक सरल कार्रवाई को स्वीकार करता है।

इमारत अपने शीर्षों पर मूल्यों के साथ लेबलिंग से सुसज्जित है Z / nZ. दरअसल, एक संदर्भ जाली को ठीक करना L, का लेबल M द्वारा दिया गया है

label(M) = log_p |M / p^k L| modulo n

के लिए k पर्याप्त रूप से बड़ा. किसी का शीर्ष (n – 1)-सिम्पलेक्स इन X के अलग-अलग लेबल हैं, जो संपूर्ण रूप से चल रहे हैं Z / nZ. कोई भी सरल ऑटोमोर्फिज्म φ का X एक क्रमपरिवर्तन को परिभाषित करता है π का Z / nZ ऐसा है कि label(φ(M)) = π(label(M)). विशेष रूप से के लिए g में GL_n(Q_p),

label(g·M) = label(M) + log_p ||det g||_p modulo n.

इस प्रकार g यदि लेबल सुरक्षित रखता है g में निहित है SL_n(Q_p).

स्वचालितता

टिट्स ने साबित कर दिया कि एफ़िन बिल्डिंग का कोई भी लेबल-संरक्षण ऑटोमोर्फिज्म एक तत्व से उत्पन्न होता है SL_n(Q_p). चूंकि इमारत की ऑटोमोर्फिज्म लेबल को क्रमबद्ध करती है, इसलिए एक प्राकृतिक होमोमोर्फिज्म होता है

Aut X → S_n.

की कार्रवाई GL_n(Q_p) चक्रीय क्रमपरिवर्तन को जन्म देता है|n-चक्रτ. इमारत की अन्य ऑटोमोर्फिज्म बाहरी स्वचालितता से उत्पन्न होती हैं SL_n(Q_p)डाइनकिन आरेख के ऑटोमोर्फिज्म से जुड़ा हुआ है। ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ मानक सममित द्विरेखीय रूप लेना v_i, एक जाली को उसकी दोहरी जाली में भेजने वाला नक्शा एक ऑटोमोर्फिज्म देता है जिसका वर्ग पहचान है, जो क्रमपरिवर्तन देता है σ जो प्रत्येक लेबल को उसके नकारात्मक मॉड्यूलो पर भेजता है n. उपरोक्त समरूपता की छवि किसके द्वारा उत्पन्न होती है σ और τ और डायहेड्रल समूह के लिए समरूपी है D_n आदेश की 2n; कब n = 3, यह संपूर्ण देता है S₃.

अगर E का एक सीमित गैलोज़ विस्तार है Q_p एवं भवन का निर्माण किया गया है SL_n(E) के बजाय SL_n(Q_p), गैलोज़ समूह Gal(E / Q_p) इमारत पर ऑटोमोर्फिज्म द्वारा भी कार्य करेगा।

ज्यामितीय संबंध

एफ़िन बिल्डिंग के संबंध में गोलाकार इमारतें दो बिल्कुल अलग-अलग तरीकों से उत्पन्न होती हैं X के लिए SL_n(Q_p):

• प्रत्येक शीर्ष का लिंक (ज्यामिति)। L एफ़िन बिल्डिंग में सबमॉड्यूल से मेल खाता है L / p·L परिमित क्षेत्र के अंतर्गत F = R / p·R = Z / (p). यह सिर्फ गोलाकार इमारत के लिए है SL_n(F).
• इमारत X के लिए गोलाकार भवन को जोड़कर संघनन (गणित) किया जा सकता है SL_n(Q_p) अनंत पर सीमा के रूप में (देखें Garrett 1997 या Brown 1989).

ब्रुहट-जटिल गुणन वाले स्तन वृक्ष

कब L समूह के लिए भवन पर एक आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र है SL₂(L) जटिल गुणन के साथ एक इमारत की अतिरिक्त संरचना लगाई जा सकती है। इन्हें सबसे पहले मार्टिन एल. ब्राउन द्वारा प्रस्तुत किया गया था (Brown 2004). ये इमारतें द्विघात विस्तार से उत्पन्न होती हैं L सदिश समष्टि पर कार्य करता है L². जटिल गुणन वाली इन इमारतों को किसी भी वैश्विक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है। वे शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्र पर हेगनर बिंदुओं पर हेके ऑपरेटरों की कार्रवाई का वर्णन करते हैं X₀(N) साथ ही ड्रिनफेल्ड मॉड्यूलर वक्र पर भी X^Drin
₀(I). जटिल गुणन वाली ये इमारतें पूरी तरह से मामले के लिए वर्गीकृत हैं SL₂(L) में Brown 2004

वर्गीकरण

टिट्स ने साबित किया कि 2 से अधिक रैंक की सभी अपरिवर्तनीय गोलाकार इमारतें (यानी परिमित वेइल समूह के साथ) सरल बीजगणितीय या शास्त्रीय समूहों से जुड़ी हैं।

एक समान परिणाम 2 से अधिक आयाम की इरेड्यूसिबल एफ़िन इमारतों के लिए होता है (अनंत पर उनकी इमारतें दो से अधिक रैंक के गोलाकार होती हैं)। निचली श्रेणी या आयाम में, ऐसा कोई वर्गीकरण नहीं है। दरअसल, प्रत्येक घटना संरचना रैंक 2 की एक गोलाकार इमारत देती है (देखें)। Pott 1995); और बॉलमैन और ब्रिन ने साबित किया कि प्रत्येक 2-आयामी सरल परिसर जिसमें शीर्षों के लिंक एक परिमित प्रक्षेप्य विमान के ध्वज परिसर के समरूपी होते हैं, एक इमारत की संरचना होती है, जरूरी नहीं कि शास्त्रीय हो। कई 2-आयामी एफ़िन इमारतों का निर्माण हाइपरबोलिक प्रतिबिंब समूहों या कक्षीय ्स से जुड़े अन्य अधिक विदेशी निर्माणों का उपयोग करके किया गया है।

टिट्स ने यह भी साबित किया कि हर बार किसी इमारत का वर्णन एक द्वारा किया जाता है (B, N) एक समूह में जोड़ी, तो लगभग सभी मामलों में इमारत की ऑटोमोर्फिज्म समूह की ऑटोमोर्फिज्म के अनुरूप होती है (देखें) Tits 1974).

अनुप्रयोग

इमारतों के सिद्धांत का कई अलग-अलग क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य और स्थानीय क्षेत्रों में रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों की संरचना के साथ पहले से उल्लिखित कनेक्शन के अलावा, इमारतों का उपयोग उनके समूह प्रतिनिधित्व का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। किसी समूह के निर्माण द्वारा उसके निर्धारण पर टिट्स के परिणामों का जॉर्ज मोस्टो और ग्रिगोरी मार्गुलिस के मोस्टो कठोरता प्रमेय और मार्गुलिस अंकगणित के साथ गहरा संबंध है।

असतत गणित में विशेष प्रकार की इमारतों का अध्ययन किया जाता है, और सरल समूहों को चिह्नित करने के लिए ज्यामितीय दृष्टिकोण का विचार परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में बहुत उपयोगी साबित हुआ। गोलाकार या एफ़िन से अधिक सामान्य प्रकार की इमारतों का सिद्धांत अभी भी अपेक्षाकृत अविकसित है, लेकिन इन सामान्यीकृत इमारतों को पहले से ही बीजगणित में केएसी-मूडी बीजगणित | केएसी-मूडी समूहों के निर्माण और टोपोलॉजी में गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार मैनिफोल्ड्स और हाइपरबोलिक समूहों के निर्माण के लिए आवेदन मिल चुके हैं। और ज्यामितीय समूह सिद्धांत।

यह भी देखें

• ब्यूकेनहौट ज्यामिति
• कॉक्सेटर समूह
• (बी, एन) जोड़ी|(B, N) जोड़ा
• एफ़िन हेके बीजगणित
• ब्रुहट अपघटन
• सामान्यीकृत बहुभुज
• मोस्टो कठोरता
• कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स
• वेइल दूरी फ़ंक्शन

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Rousseau: Euclidean Buildings