स्पर्शोन्मुख समरूपीकरण

Not to be confused with Homogenization of a polynomial.

गणित और भौतिकी में, समरूपीकरण तेजी से दोलनशील गुणांकों के साथ आंशिक अंतर समीकरणों का अध्ययन करने की एक विधि है, जैसे कि

$\nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f$

कहाँ $\epsilon$ एक बहुत छोटा पैरामीटर है और

 $A\left({\vec {y}}\right)$ एक 1-आवधिक गुणांक है:

$A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)$,

$i=1,\dots ,n$.

यह पता चला है कि इन समीकरणों का अध्ययन भौतिकी और इंजीनियरिंग में भी बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इस प्रकार के समीकरण अमानवीय या विषम सामग्रियों के भौतिकी को नियंत्रित करते हैं। बेशक, सभी पदार्थ किसी न किसी पैमाने पर अमानवीय होते हैं, लेकिन अक्सर इसे सजातीय मानना ​​सुविधाजनक होता है। एक अच्छा उदाहरण सातत्य अवधारणा है जिसका उपयोग सातत्य यांत्रिकी में किया जाता है। इस धारणा के तहत, तरल पदार्थ, ठोस आदि जैसी सामग्रियों को सजातीय सामग्री के रूप में माना जा सकता है और इन सामग्रियों के साथ कतरनी मापांक, लोचदार मॉड्यूल आदि जैसे भौतिक गुण जुड़े होते हैं।

अक्सर, अमानवीय सामग्री (जैसे मिश्रित सामग्री) में सूक्ष्म होता है और इसलिए उन्हें भार या फोर्सिंग के अधीन किया जाता है जो कि लंबाई के पैमाने पर भिन्न होता है जो कि माइक्रोस्ट्रक्चर की विशेषता लंबाई के पैमाने से कहीं बड़ा होता है। इस स्थिति में, कोई अक्सर उपरोक्त समीकरण को फॉर्म के समीकरण से बदल सकता है

$\nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f$

कहाँ $A^{*}$ एक स्थिर टेंसर गुणांक है और इसे प्रश्न में सामग्री से जुड़े प्रभावी गुण के रूप में जाना जाता है। इसकी स्पष्ट रूप से गणना इस प्रकार की जा सकती है

$A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n$

1-आवधिक कार्यों से $w_{j}$ संतुष्टि देने वाला:

$\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).$

अत्यधिक दोलन गुणांक वाले समीकरण को एक सजातीय (समान) गुणांक वाले समीकरण से बदलने की इस प्रक्रिया को समरूपीकरण के रूप में जाना जाता है। इसी कारण से यह विषय सूक्ष्म यांत्रिकी के विषय के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है।

समरूपीकरण में एक समीकरण को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है यदि $u_{\epsilon }\approx u$ काफी छोटे के लिए $\epsilon$, बशर्ते $u_{\epsilon }\to u$ कुछ उपयुक्त मानदंडों में जैसे $\epsilon \to 0$.

उपरोक्त के परिणामस्वरूप, समरूपीकरण को उन सामग्रियों की सातत्य अवधारणा के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है जिनमें सूक्ष्म संरचना होती है। सातत्य अवधारणा में विभेदक तत्व का एनालॉग (जिसमें उस सामग्री का प्रतिनिधि होने के लिए पर्याप्त परमाणु या आणविक संरचना होती है), प्रतिनिधि आयतन तत्व के रूप में जाना जाता है समरूपीकरण और सूक्ष्म यांत्रिकी में। इस तत्व में सामग्री का प्रतिनिधि होने के लिए अमानवीय माध्यम के बारे में पर्याप्त सांख्यिकीय जानकारी शामिल है। इसलिए इस तत्व का औसत निकालने से एक प्रभावी गुण मिलता है जैसे $A^{*}$ ऊपर।

समरूपीकरण सिद्धांत के शास्त्रीय परिणामआवधिक गुणांकों के साथ आंशिक अंतर समीकरणों द्वारा प्रतिरूपित आवधिक माइक्रोस्ट्रक्चर वाले मीडिया के लिए प्राप्त किए गए थे। इन परिणामों को बाद में स्थानिक रूप से सजातीय यादृच्छिक मीडिया में यादृच्छिक गुणांक वाले अंतर समीकरणों द्वारा सामान्यीकृत किया गया, जिनके सांख्यिकीय गुण अंतरिक्ष में हर बिंदु पर समान हैं। व्यवहार में, कई अनुप्रयोगों के लिए मॉडलिंग के अधिक सामान्य तरीके की आवश्यकता होती है जो न तो आवधिक और न ही सांख्यिकीय रूप से सजातीय है। इस उद्देश्य के लिए समरूपीकरण सिद्धांत के तरीकों को आंशिक अंतर समीकरणों तक बढ़ाया गया है, जो गुणांक न तो आवधिक हैं और न ही सांख्यिकीय रूप से सजातीय (तथाकथित मनमाने ढंग से मोटे गुणांक) हैं।

स्पर्शोन्मुख समरूपीकरण की विधि

गणितीय समरूपीकरण सिद्धांत फ्रांसीसी, रूसी और इतालवी स्कूलों से मिलता है। स्पर्शोन्मुख समरूपीकरण की विधि तेज़ चर को प्रस्तुत करके आगे बढ़ती है ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ और एक औपचारिक विस्तार प्रस्तुत कर रहा है $\epsilon$:

$u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,$

जो समस्याओं का एक पदानुक्रम उत्पन्न करता है। समरूप समीकरण प्राप्त किया जाता है और फ़ंक्शन के लिए तथाकथित सेल समस्याओं को हल करके प्रभावी गुणांक निर्धारित किए जाते हैं $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$.

यह भी देखें

• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
• Γ-अभिसरण
• मॉस्को अभिसरण
• प्रभावी माध्यम सन्निकटन

संदर्भ

• Kozlov, S.M.; Oleinik, O.A.; Zhikov, V.V. (1994), Homogenization of differential operators and integral functionals, Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-54809-2, Zbl 0838.35001
• Oleinik, O.A.; Shamaev, A.S.; Yosifian, G.A. (1991), Mathematical problems in elasticity and homogenization, Studies in Mathematics and its Applications, vol. 26, Amsterdam - London - New York City - Tokyo: North-Holland, ISBN 0-444-88441-6, Zbl 0768.73003
• Hornung, Ulrich (Ed.). (1997), Homogenization and Porous Media, Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. 6, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1920-0, ISBN 978-1-4612-7339-4
• Bakhvalov, N. S.; Panasenko, G. P. (1984), Averaging of Processes in Periodic Media (English translation: Kluwer,1989), Moscow: Nauka, Zbl 0607.73009
• Braides, A.; Defranceschi, A. (1998), Homogenization of Multiple Integrals, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-198-50246-3