सामान्य निर्देशांक

विभेदक ज्यामिति में, एक बिंदु पी पर सामान्य निर्देशांक एक मरोड़ टेंसर एफ़िन कनेक्शन से सुसज्जित एक भिन्न मैनिफोल्ड में एक स्थानीय समन्वय प्रणाली है जो पी के पड़ोस (गणित) में एक स्थानीय समन्वय प्रणाली है जो घातीय मानचित्र (रिमैनियन) को लागू करके प्राप्त की जाती है। ज्यामिति) पी पर स्पर्शरेखा स्थान पर। एक सामान्य समन्वय प्रणाली में, कनेक्शन के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक बिंदु पी पर गायब हो जाते हैं, इस प्रकार अक्सर स्थानीय गणना सरल हो जाती है। रीमैनियन मैनिफोल्ड के लेवी-सिविटा कनेक्शन से जुड़े सामान्य निर्देशांक में, कोई अतिरिक्त रूप से व्यवस्था कर सकता है कि मीट्रिक टेंसर बिंदु पी पर क्रोनकर डेल्टा है, और पी पर मीट्रिक का पहला आंशिक व्युत्पन्न है। ' गायब होना।

विभेदक ज्यामिति का एक मूल परिणाम बताता है कि एक बिंदु पर सामान्य निर्देशांक हमेशा एक सममित एफ़िन कनेक्शन के साथ कई गुना पर मौजूद होते हैं। ऐसे निर्देशांक में सहसंयोजक व्युत्पन्न एक आंशिक व्युत्पन्न (केवल पी पर) तक कम हो जाता है, और पी के माध्यम से जियोडेसिक्स टी (एफ़िन पैरामीटर) के स्थानीय रूप से रैखिक कार्य हैं। इस विचार को सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा मौलिक तरीके से लागू किया गया था: तुल्यता सिद्धांत जड़त्वीय फ्रेम के माध्यम से सामान्य निर्देशांक का उपयोग करता है। रीमैनियन या छद्म-रिमानियन मैनिफोल्ड के लेवी-सिविटा कनेक्शन के लिए सामान्य निर्देशांक हमेशा मौजूद होते हैं। इसके विपरीत, सामान्य तौर पर फिन्सलर मैनिफोल्ड के लिए सामान्य निर्देशांक को इस तरह से परिभाषित करने का कोई तरीका नहीं है कि घातीय मानचित्र दो बार भिन्न हो। (Busemann 1955).

जियोडेसिक सामान्य निर्देशांक

जियोडेसिक सामान्य निर्देशांक घातीय मानचित्र (रिमानियन ज्यामिति) के माध्यम से परिभाषित एक एफ़िन कनेक्शन के साथ मैनिफोल्ड पर स्थानीय निर्देशांक हैं।

$\exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M$

और एक समरूपता

$E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M$

निश्चित आधार बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान के सदिश स्थान के किसी भी आधार द्वारा दिया गया $p\in M$. यदि रीमैनियन मीट्रिक की अतिरिक्त संरचना लगाई जाती है, तो ऑर्थोनॉर्मल आधार के अलावा ई द्वारा परिभाषित आधार की आवश्यकता हो सकती है, और परिणामी समन्वय प्रणाली को 'रीमैनियन सामान्य समन्वय प्रणाली' के रूप में जाना जाता है।

एम में एक बिंदु पी के सामान्य पड़ोस पर सामान्य निर्देशांक मौजूद होते हैं। एक 'सामान्य पड़ोस' यू, एम का एक खुला उपसमुच्चय है जैसे कि स्पर्शरेखा स्थान टी में मूल बिंदु का एक उचित पड़ोस वी है।_pएम, और ऍक्स्प_p यू और वी के बीच एक भिन्नता के रूप में कार्य करता है। एम में पी के सामान्य पड़ोस यू पर, चार्ट इस प्रकार दिया गया है:

$\varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$

समरूपता ई, और इसलिए चार्ट, किसी भी तरह से अद्वितीय नहीं है। एक 'उत्तल सामान्य पड़ोस' यू, यू में प्रत्येक पी का एक सामान्य पड़ोस है। इस प्रकार के खुले पड़ोस का अस्तित्व (वे एक टोपोलॉजिकल आधार बनाते हैं) जे.एच.सी. द्वारा स्थापित किया गया है। सममित एफ़िन कनेक्शन के लिए व्हाइटहेड।

गुण

सामान्य निर्देशांक के गुण अक्सर गणनाओं को सरल बनाते हैं। निम्नलिखित में, मान लीजिए $U$ एक बिंदु पर केन्द्रित एक सामान्य पड़ोस है $p$ में $M$ और $x^{i}$ सामान्य निर्देशांक चालू हैं $U$.

• होने देना $V$ से कुछ वेक्टर बनें $T_{p}M$ घटकों के साथ $V^{i}$ स्थानीय निर्देशांक में, और $\gamma _{V}$ के साथ जियोडेसिक बनें $\gamma _{V}(0)=p$ और $\gamma _{V}'(0)=V$. फिर सामान्य निर्देशांक में, $\gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})$ जब तक यह अंदर है $U$. इस प्रकार सामान्य निर्देशांक में रेडियल पथ बिल्कुल जियोडेसिक्स के माध्यम से होते हैं $p$.
• बिंदु के निर्देशांक $p$ हैं $(0,...,0)$
• रीमैनियन में एक बिंदु पर सामान्य निर्देशांक होता है $p$ मीट्रिक टेंसर के घटक $g_{ij}$ को सरल बनाएं $\delta _{ij}$, अर्थात।, $g_{ij}(p)=\delta _{ij}$.
• क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक गायब हो जाते हैं $p$, अर्थात।, $\Gamma _{ij}^{k}(p)=0$. रीमैनियन मामले में, का पहला आंशिक व्युत्पन्न भी ऐसा ही है $g_{ij}$, अर्थात।, ${\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k$.

स्पष्ट सूत्र

किसी बिंदु के पड़ोस में $p=(0,\ldots 0)$ जिसमें स्थानीय रूप से ऑर्थोनॉर्मल समन्वय प्रणाली से सुसज्जित है $g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }$ और रीमैन टेंसर पर $p$ मूल्य लेता है $R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)$ हम निर्देशांक समायोजित कर सकते हैं $x^{\mu }$ ताकि मीट्रिक टेंसर के घटक दूर रहें

$p$ बनना

$g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3}).$

संबंधित लेवी-सिविटा कनेक्शन क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं

${\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\frac {1}{3}}(R_{\lambda \nu \mu \tau }(0)+R_{\lambda \mu \nu \tau }(0))x^{\tau }+O(|x|^{2}).$

इसी प्रकार हम स्थानीय कोफ्रेम का निर्माण कर सकते हैं

$e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\frac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),$

और स्पिन-कनेक्शन गुणांक मान लेते हैं

${\omega ^{a}}_{b\mu }(x)=-{\frac {1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau }(0)x^{\tau }+O(|x|^{2}).$

ध्रुवीय निर्देशांक

रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, पी पर एक सामान्य समन्वय प्रणाली गोलाकार निर्देशांक की एक प्रणाली की शुरूआत की सुविधा प्रदान करती है, जिसे 'ध्रुवीय निर्देशांक' के रूप में जाना जाता है। ये एम पर निर्देशांक हैं जो यूक्लिडियन स्पेस टी पर मानक गोलाकार समन्वय प्रणाली शुरू करके प्राप्त किए गए हैं_pएम. अर्थात टी पर परिचय कराता है_pएम मानक गोलाकार समन्वय प्रणाली (आर, φ) जहां आर ≥ 0 रेडियल पैरामीटर है और φ = (φ)₁,...,फी_n−1) N क्षेत्र|(n−1)-क्षेत्र का एक मानकीकरण है। पी पर घातीय मानचित्र के व्युत्क्रम के साथ (आर,φ) की संरचना एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है।

ध्रुवीय निर्देशांक रीमैनियन ज्यामिति में कई मूलभूत उपकरण प्रदान करते हैं। रेडियल समन्वय सबसे महत्वपूर्ण है: ज्यामितीय रूप से यह निकटवर्ती बिंदुओं के पी से जियोडेसिक दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। गॉस की लेम्मा (रीमैनियन ज्यामिति) | गॉस की लेम्मा का दावा है कि आर का ग्रेडियेंट केवल आंशिक व्युत्पन्न है $\partial /\partial r$. वह है,

$\langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}$

किसी भी सुचारु कार्य के लिए। परिणामस्वरूप, ध्रुवीय निर्देशांक में मीट्रिक एक ब्लॉक विकर्ण रूप ग्रहण करता है

$g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.$

संदर्भ

• Busemann, Herbert (1955), "On normal coordinates in Finsler spaces", Mathematische Annalen, 129: 417–423, doi:10.1007/BF01362381, ISSN 0025-5831, MR 0071075.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 (New ed.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Chern, S. S.; Chen, W. H.; Lam, K. S.; Lectures on Differential Geometry, World Scientific, 2000

यह भी देखें

• गॉस की लेम्मा (रीमैनियन ज्यामिति)
• फर्मी निर्देशांक
• स्थानीय संदर्भ फ़्रेम
• सिंज का विश्व कार्य

श्रेणी:रिमानियन ज्यामिति श्रेणी:विभेदक ज्यामिति में समन्वय प्रणालियाँ