फैनो किस्म

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक फ़ानो किस्म, जिसे गीनो फ़ानो द्वारा प्रस्तुत किया गया था (Fano 1934, 1942), एक पूर्ण बीजगणितीय किस्म X है जिसका एंटीकैनोनिकल बंडल K है_X^*पर्याप्त लाइन बंडल है. इस परिभाषा में, कोई यह मान सकता है कि एक्स एक क्षेत्र पर चिकनी योजना है, लेकिन न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम ने विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं के साथ फ़ानो किस्मों का अध्ययन भी किया है, जैसे कि विहित विलक्षणता या कैनोनिकल सिंगुलैरिटी सिंगुलैरिटीज़। हाल ही में विभेदक ज्यामिति में तकनीकों को जटिल संख्याओं पर फ़ानो किस्मों के अध्ययन के लिए लागू किया गया है, और फ़ानो किस्मों के मॉड्यूलि रिक्त स्थान के निर्माण और के-स्थिरता के अध्ययन के माध्यम से उन पर काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व को साबित करने में सफलता पाई गई है। फैनो किस्म.

उदाहरण

• फ़ानो किस्मों का मूल उदाहरण प्रक्षेप्य स्थानों की बीजगणितीय ज्यामिति है: पी का विहित बंडलⁿ फ़ील्ड k के ऊपर O(n+1) है, जो बहुत प्रचुर है (जटिल संख्याओं पर, इसकी वक्रता फ़ुबिनी-स्टडी सिम्प्लेक्टिक फॉर्म का n+1 गुना है)।
• मान लें कि 'पी' में डी एक सहज कोडिमेंशन-1 उपविविधता हैⁿ. योजक सूत्र का तात्पर्य है कि K_D = (के_X + डी)|_D = (−(n+1)H + deg(D)H)|_D, जहां H एक हाइपरप्लेन का वर्ग है। ऊनविम पृष्ठ डी इसलिए फैनो है यदि और केवल यदि डिग्री (डी) < एन + 1।
• अधिक आम तौर पर, एन-आयामी प्रक्षेप्य स्थान में हाइपरसर्फेस का एक सहज पूर्ण प्रतिच्छेदन फ़ानो है यदि और केवल तभी जब उनकी डिग्री का योग अधिकतम एन हो।
• भारित प्रक्षेप्य स्थान 'पी'(ए₀,...,ए_n) एक विलक्षण (विहित विलक्षणता) फ़ानो किस्म है। यह एक श्रेणीबद्ध बहुपद वलय से जुड़ी प्रक्षेप्य योजना है जिसके जनरेटर की डिग्री a होती है₀,...,ए_n. यदि यह अच्छी तरह से गठित है, इस अर्थ में कि संख्याओं में से किसी भी n का सामान्य गुणनखंड 1 से अधिक नहीं है, तो हाइपरसतहों का कोई भी पूर्ण प्रतिच्छेदन इस प्रकार होता है कि उनकी डिग्री का योग a से कम होता है₀+...+ए_n एक फैनो किस्म है.
• विशेषता शून्य में प्रत्येक प्रक्षेप्य विविधता जो एक रैखिक बीजगणितीय समूह के अंतर्गत सजातीय है, फ़ानो है।

कुछ गुण

एक्स पर कुछ पर्याप्त लाइन बंडल का अस्तित्व एक्स के एक प्रक्षेप्य किस्म होने के बराबर है, इसलिए एक फ़ानो किस्म हमेशा प्रक्षेप्य होती है। जटिल संख्याओं पर फ़ानो किस्म $H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ संरचना का शीफ़ गायब हो जाता है $j>0$. विशेष रूप से, टोड जीनस $\chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ स्वचालित रूप से 1 के बराबर होता है. $j=1,2$ h> इस लुप्त हो रहे कथन के मामले हमें यह भी बताते हैं कि पहला चेर्न वर्ग एक समरूपता उत्पन्न करता है $c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )$.

याउ के कैलाबी अनुमान के समाधान से, एक सहज जटिल विविधता सकारात्मक के काहलर मेट्रिक्स को स्वीकार करती है रिक्की वक्रता यदि और केवल यदि यह फ़ानो है। इसलिए मायर्स का प्रमेय हमें बताता है कि फैनो मैनिफोल्ड का सार्वभौमिक आवरण कॉम्पैक्ट है, और इसलिए यह केवल एक सीमित आवरण हो सकता है। हालाँकि, हमने अभी देखा है कि फैनो मैनिफोल्ड का टोड जीनस 1 के बराबर होना चाहिए। चूंकि यह मैनिफोल्ड के सार्वभौमिक कवर पर भी लागू होगा, और चूंकि टोड जीनस परिमित कवर के तहत गुणक है, इसलिए यह इस प्रकार है कि कोई भी फैनो मैनिफोल्ड बस जुड़ा हुआ स्थान है .

एक बहुत आसान तथ्य यह है कि प्रत्येक फ़ानो किस्म में कोडैरा आयाम होता है -∞।

कैम्पाना और जानोस कोल्लार|कोल्लार-योइची मियाओका-महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी ने दिखाया कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक चिकनी फ़ानो किस्म तर्कसंगत किस्म#तर्कसंगत रूप से जुड़ी हुई किस्म है; अर्थात्, किन्हीं दो बंद बिंदुओं को बीजगणितीय वक्र#तर्कसंगत वक्रों की एक श्रृंखला द्वारा जोड़ा जा सकता है। कोल्लार-मियाओका-मोरी ने यह भी दिखाया कि विशेषता शून्य के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर दिए गए आयाम की चिकनी फ़ानो किस्में एक बंधे हुए परिवार का निर्माण करती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें सीमित रूप से कई बीजगणितीय किस्मों के बिंदुओं द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। विशेष रूप से, प्रत्येक आयाम की फ़ानो किस्मों के केवल सीमित रूप से कई विरूपण वर्ग हैं। इस अर्थ में, फैनो किस्में अन्य वर्गों की किस्मों की तुलना में बहुत अधिक विशेष हैं जैसे कि सामान्य प्रकार की विविधता #सामान्य प्रकार की किस्में।

छोटे आयामों में वर्गीकरण

निम्नलिखित चर्चा जटिल संख्याओं पर चिकनी फ़ानो किस्मों से संबंधित है।

फ़ानो वक्र प्रक्षेप्य रेखा की समरूपता है।

फ़ानो सतह को टुकड़े की सतह का भी कहा जाता है। प्रत्येक डेल पेज़ो सतह या तो पी के समरूपी है¹× पी¹या प्रक्षेप्य तल को अधिकतम 8 बिंदुओं पर उड़ाया गया, जो सामान्य स्थिति में होना चाहिए। परिणामस्वरूप, वे सभी तर्कसंगत किस्म के हैं।

आयाम 3 में, चिकनी जटिल फ़ानो किस्में हैं जो तर्कसंगत नहीं हैं, उदाहरण के लिए पी में घन 3-गुना⁴ (हर्बर्ट क्लेमेंस द्वारा - फिलिप ग्रिफिथ्स) और पी में क्वार्टिक 3-फोल्ड्स⁴ (वसीली इस्कोव्स्कीख - यूरी मनिन होगा)। Iskovskih (1977, 1978, 1979) दूसरे बेटी नंबर 1 के साथ चिकनी फैनो 3-फोल्ड को 17 वर्गों में वर्गीकृत किया, और Mori & Mukai (1981) कम से कम 2 दूसरी बेट्टी संख्या के साथ चिकने लोगों को वर्गीकृत किया, 88 विरूपण वर्गों का पता लगाया। चिकनी फ़ानो 3-फ़ोल्ड्स के वर्गीकरण का एक विस्तृत सारांश दिया गया है Iskovskikh & Prokhorov (1999).

यह भी देखें

• आकृतियों की आवर्त सारणी सभी फ़ानो किस्मों को तीन, चार और पाँच आयामों में वर्गीकृत करने की एक परियोजना है।

बाहरी संबंध

• Fanography - A tool to visually study the classification of threedimensional Fano varieties.

संदर्भ

• Fano, Gino (1934), "Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli", Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bologna), 4, Zanichelli, pp. 115–119
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• Iskovskikh, V. A.; Prokhorov, Yu. G. (1999), "Fano varieties", in A. N. Parshin; I. R. Shafarevich (eds.), Algebraic Geometry, V. Encyclopedia Math. Sci., 47, Springer-Verlag, pp. 1–247, ISBN 3-540-61468-0, MR 1668579
• Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
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