स्टिल्टजेस परिवर्तन

गणित में, वास्तविक अंतराल I पर घनत्व ρ के माप का स्टिल्टजेस परिवर्तन S_ρ(z) सूत्र द्वारा I के बाहर परिभाषित जटिल चर z का कार्य है

$$S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{z-t}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.$$

कुछ शर्तों के अंतर्गत हम स्टिल्टजेस-पेरॉन के व्युत्क्रम सूत्र की बदौलत इसके स्टिल्टजेस परिवर्तन से प्रारम्भ करके घनत्व फलन ρ को पुनर्गठित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि घनत्व ρ सर्वत्र सतत् I है, इस अंतराल के अंदर निम्न होगा

$$\rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(x-i\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.$$

मापों के आघुर्ण के साथ संबंध

Main article: आघुर्ण समस्या

यदि घनत्व का माप ρ में समानता द्वारा प्रत्येक पूर्णांक के लिए परिभाषित किसी भी क्रम का क्षण (गणित) है

$$m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,$$

तब ρ का स्टिल्टजेस परिवर्तन प्रत्येक पूर्णांक n के लिए अनंत के प्रतिवैस में दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार को स्वीकार करता है

$$S_{\rho }(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).$$

कुछ स्तिथियों के अंतर्गत लॉरेंट श्रृंखला के रूप में पूर्ण विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:

$$S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.$$

आयतीय बहुपदों से संबंध

पत्राचार ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$ अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद I को परिभाषित करता है।

अगर {P_n} इस उत्पाद के लिए आयतीय बहुपदों का एक क्रम है, हम सूत्र द्वारा संबंधित माध्यमिक बहुपदों का अनुक्रम बना सकते हैं।

$$Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.$$

यह प्रतीत होता है कि ${\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}$ का पैडे सन्निकटन S_ρ(z) अनंत के प्रतिवैस में है, इस अर्थ में

$$S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).$$

चूँकि बहुपदों के ये दो क्रम तीन पदों में समान पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, हम स्टिल्टजेस परिवर्तन के लिए एक सामान्यीकृत निरंतर अंश विकसित कर सकते हैं, जिसके क्रमिक अभिसरण (निरंतर अंश) अंश F_n(z) हैं।

स्टिल्टजेस परिवर्तन का उपयोग घनत्व ρ से द्वितीयक बहुपदों को आयतीय प्रणाली में बदलने के लिए एक प्रभावी उपाय बनाने के लिए भी किया जा सकता है। (अधिक जानकारी के लिए लेख द्वितीयक उपाय देखें।)

यह भी देखें

• आयतीय बहुपद
• द्वितीयक बहुपद
• द्वितीयक उपाय

संदर्भ

• H. S. Wall (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company Inc.