अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

गणित में, क्रम का एक अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण $n$ एक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) है, जिसमें मोटे तौर पर पहले के लिए एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या है $n-1$ व्युत्पन्न। अधिक सटीक रूप से, कॉची समस्या को किसी भी गैर-विशेषता ऊनविम पृष्ठ के साथ मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय रूप से हल किया जा सकता है। यांत्रिकी के कई समीकरण अतिपरवलयिक हैं, और इसलिए अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों का अध्ययन समकालीन रुचि का विषय है। मॉडल अतिपरवलयिक समीकरण तरंग समीकरण है। एक स्थानिक आयाम में, यह है

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

समीकरण में यह गुण है कि, यदि u और इसका पहली बार व्युत्पन्न लाइन पर मनमाने ढंग से निर्दिष्ट प्रारंभिक डेटा है t = 0 (पर्याप्त चिकनाई गुणों के साथ), तो हर समय के लिए एक समाधान मौजूद है t.

अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों के समाधान तरंग-जैसे होते हैं। यदि हाइपरबोलिक डिफरेंशियल समीकरण के प्रारंभिक डेटा में गड़बड़ी की जाती है, तो अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर एक बार में गड़बड़ी महसूस नहीं होती है। एक निश्चित समय समन्वय के सापेक्ष, गड़बड़ी की एक सीमित प्रसार गति होती है। वे समीकरण की विशेषताओं की विधि के साथ यात्रा करते हैं। यह विशेषता गुणात्मक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण समीकरणों को अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों से अलग करती है। किसी अण्डाकार या परवलयिक समीकरण के प्रारंभिक (या सीमा) डेटा की गड़बड़ी अनिवार्य रूप से डोमेन के सभी बिंदुओं द्वारा एक बार में महसूस की जाती है।

यद्यपि अतिशयोक्ति की परिभाषा मौलिक रूप से गुणात्मक है, ऐसे सटीक मानदंड हैं जो विचाराधीन विशेष प्रकार के अंतर समीकरण पर निर्भर करते हैं। माइक्रोलोकल विश्लेषण के संदर्भ में, लार्स गार्डिंग के कारण, रैखिक अंतर ऑपरेटरों के लिए एक अच्छी तरह से विकसित सिद्धांत है। गैररेखीय विभेदक समीकरण अतिपरवलयिक होते हैं यदि उनके रैखिककरण गार्डिंग के अर्थ में अतिपरवलयिक हों। संरक्षण कानून (भौतिकी) की प्रणालियों से आने वाले समीकरणों की प्रथम क्रम प्रणालियों के लिए कुछ अलग सिद्धांत है।

परिभाषा

एक आंशिक अवकल समीकरण एक बिंदु पर अतिपरवलयिक होता है $P$ बशर्ते कि कॉची समस्या पड़ोस में विशिष्ट रूप से हल करने योग्य हो $P$ किसी गैर-विशेषतापूर्ण हाइपरसतह से गुजरने पर दिए गए किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए $P$. यहां निर्धारित प्रारंभिक डेटा में अंतर समीकरण के क्रम से एक कम तक सतह पर फ़ंक्शन के सभी (अनुप्रस्थ) डेरिवेटिव शामिल हैं।

उदाहरण

चरों के रैखिक परिवर्तन से, किसी भी समीकरण का रूप

$$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0$$

साथ

$$B^{2}-AC>0$$

निचले क्रम के शब्दों के अलावा, तरंग समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है जो समीकरण की गुणात्मक समझ के लिए आवश्यक हैं। यह परिभाषा समतल हाइपरबोला#द्विघात समीकरण की परिभाषा के अनुरूप है।

एक आयामी तरंग समीकरण:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$$

अतिपरवलयिक समीकरण का एक उदाहरण है. द्वि-आयामी और त्रि-आयामी तरंग समीकरण भी अतिशयोक्तिपूर्ण पीडीई की श्रेणी में आते हैं। इस प्रकार के दूसरे क्रम के हाइपरबोलिक आंशिक अंतर समीकरण को पहले क्रम के अंतर समीकरणों की हाइपरबोलिक प्रणाली में बदला जा सकता है।

आंशिक अंतर समीकरणों की अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली

निम्नलिखित की एक प्रणाली है $s$ प्रथम कोटि के आंशिक अवकल समीकरण $s$ अज्ञात फ़ंक्शन (गणित)एस ${\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})$, ${\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)$, कहाँ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}$:

$${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f}}^{j}({\vec {u}})=0,$$

(∗)

कहाँ ${\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d$ एक बार सतत कार्य विभेदक कार्य कार्य, सामान्य रूप से अरेखीय होते हैं।

अगला, प्रत्येक के लिए ${\vec {f}}^{j}$ को परिभाषित करो $s\times s$ जैकोबियन मैट्रिक्स

$$A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.$$

प्रणाली (∗) यदि सभी के लिए अतिपरवलयिक है $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ गणित का सवाल $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ इसमें केवल वास्तविक संख्या eigenvalues ​​​​है और यह विकर्णीय मैट्रिक्स है।

यदि मैट्रिक्स $A$ है s विशिष्ट वास्तविक eigenvalues, इसका तात्पर्य यह है कि यह विकर्णीय है। इस मामले में सिस्टम (∗) को पूर्णतः अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

यदि मैट्रिक्स $A$ सममित है, इसका तात्पर्य यह है कि यह विकर्णीय है और eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं। इस मामले में सिस्टम (∗) को सममित अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और संरक्षण कानून

एक अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणाली और एक संरक्षण कानून (भौतिकी) के बीच एक संबंध है। एक अज्ञात फलन के लिए एक आंशिक अवकल समीकरण की अतिपरवलयिक प्रणाली पर विचार करें $u=u({\vec {x}},t)$. फिर सिस्टम (∗) का रूप है

$${\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.$$

(∗∗)

यहाँ, $u$ इसकी व्याख्या एक ऐसी मात्रा के रूप में की जा सकती है जो दिए गए प्रवाह के अनुसार घूमती है ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$. यह देखने के लिए कि मात्रा क्या है $u$ संरक्षित है, अभिन्न (∗∗) एक डोमेन पर $\Omega$

$$\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.$$

अगर $u$ और ${\vec {f}}$ पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य हैं, हम विचलन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और एकीकरण के क्रम को बदल सकते हैं $\partial /\partial t$ मात्रा के लिए एक संरक्षण कानून प्राप्त करने के लिए $u$ सामान्य रूप में

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,$$

जिसका अर्थ है कि परिवर्तन की समय दर $u$ डोमेन में $\Omega$ के शुद्ध प्रवाह के बराबर है $u$ इसकी सीमा के माध्यम से $\partial \Omega$. चूँकि यह एक समानता है, इसलिए यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है $u$ भीतर संरक्षित है $\Omega$.

यह भी देखें

• अण्डाकार आंशिक अवकल समीकरण
• हाइपोएलिप्टिक ऑपरेटर
• परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण

अग्रिम पठन

• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

बाहरी संबंध

• "Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.