गतिशील लॉट-आकार मॉडल

इन्वेंट्री सिद्धांत में गतिशील लॉट-आकार मॉडल आर्थिक क्रम मात्रा मॉडल का एक सामान्यीकरण है, जो इस बात को ध्यान में रखता है कि प्रोडक्ट की मांग समय के साथ भिन्न-भिन्न होती रहती है। इस मॉडल को 1958 में हार्वे एम वैगनर और थॉमसन एम. व्हिटिन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

प्रॉब्लम सेटअप

हम एक प्रासंगिक समय क्षितिज t=1,2,...,N पर प्रोडक्ट की मांग d_t का पूर्वानुमान उपलब्ध होता है, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि अगले 52 सप्ताहों के लिए प्रत्येक सप्ताह कितने विजेट की आवश्यकता होती है। प्रत्येक ऑर्डर के लिए एक सेटअप लागत s_t होती है और इसमें प्रत्येक आइटम प्रति अवधि के लिए एक इन्वेंट्री होल्डिंग लागत i_t होती है और इस प्रकार यदि वांछित हो तो s_t और i_t समय के साथ भिन्न रूप में भी हो सकती है। इस प्रकार प्रॉब्लम यह है कि सेटअप लागत और इन्वेंट्री लागत के योग को कम करने के लिए अभी कितनी यूनिट x_t का ऑर्डर दिया जाता है। आइए हम इन्वेंट्री को निरूपित करते है।

$I=I_{0}+\sum _{j=1}^{t-1}x_{j}-\sum _{j=1}^{t-1}d_{j}\geq 0$

न्यूनतम लागत नीति का प्रतिनिधित्व करने वाला फंक्शनल समीकरण को संदर्भित करता है।

$f_{t}(I)={\underset {x_{t}\geq 0 \atop I+x_{t}\geq d_{t}}{\min }}\left[i_{t-1}I+H(x_{t})s_{t}+f_{t+1}\left(I+x_{t}-d_{t}\right)\right]$

जहां H() हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन के रूप में होते है जबकि वैगनर और व्हिटिन ने,निम्नलिखित चार प्रमेय इस प्रकार सिद्ध किये

• एक ऑप्टिमल प्रोग्राम के रूप में उपस्थित होते है, जैसे कि Ix_t=0; ∀t
• एक ऑप्टिमल प्रोग्राम के रूप में उपस्थित होते है, जैसे कि ∀t: या तो x_t=0 या $x_{t}=\textstyle \sum _{j=t}^{k}d_{j}$ कुछ k (t≤k≤N) के रूप में होते है
• एक ऑप्टिमल प्रोग्राम के रूप में उपस्थित होते है, जैसे कि यदि d_t* कुछ से संतुष्ट है x_t**, t**<t*, फिर d_t, t=t**+1,...,t*-1, से भी संतुष्ट है x_t**
• यह देखते हुए कि अवधि t के लिए I = 0 है और अवधि 1 से t - 1 पर स्वयं कंसीडर करना ऑप्टिमल है

योजना क्षितिज प्रमेय

नियोजन क्षितिज प्रमेय के प्रमाण में पूर्ववर्ती प्रमेयों का उपयोग किया जाता है। माना,

$F(t)=\min \left[{{\underset {1\leq j<t}{\min }}\left[s_{j}+\sum _{h=j}^{t-1}\sum _{k=h+1}^{t}i_{h}d_{k}+F(j-1)\right] \atop s_{t}+F(t-1)}\right]$

1 से 1 तक की अवधि के लिए न्यूनतम लागत प्रोग्राम को निरूपित करते है। इस प्रकार यदि अवधि t* पर F(t) में न्यूनतम j = t** ≤ t* के लिए होता है, तो अवधि t > t* में केवल t** ≤ j ≤ t पर कंसीडर करना पर्याप्त होता है और इस प्रकार विशेष रूप से यदि t* = t** है तो ऐसे प्रोग्राम x_t* > 0.पर कंसीडर करना पर्याप्त होता है,

कलन विधि

वैगनर और व्हिटिन ने गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा ऑप्टिमल समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिदम दिया। t*=1 से प्रारंभ करते है,

1. इस प्रकार अवधि t**, t** = 1, 2, ..., t* पर क्रमबद्ध रूप में d_t , t = t**, t** + 1, ... , t*, माँगें को पूरा करने की नीतियों पर कंसीडर करते है
2. जोड़ें H(x_t**)s_t**+i_t**I_t** कलन विधि के पिछले पुनरावृत्ति में निर्धारित अवधि 1 से t**-1 के लिए ऑप्टिमल रूप से कार्य करने की लागत निरूपित करता है
3. इन t* विकल्पों में से, अवधि 1 से t* ​​के लिए न्यूनतम लागत नीति का चयन करते है
4. अवधि t*+1 पर आगे बढ़ते है या यदि t*=N के रूप में होते है

चूँकि इस पद्धति को कुछ लोगों द्वारा कम्प्यूटेशनल सम्मिश्र सिद्धांत के रूप में जाना जाता था, इसलिए कई लेखकों ने अनुमानित अनुमान भी विकसित किए है, जैसे, प्रॉब्लम के लिए सिल्वर-मील हेयरिस्टिक के रूप में होते है।

यह भी देखें

• उत्पादित किए जा रहे हिस्से के लिए अनंत भरण दर: किफायती ऑर्डर मात्रा
• उत्पादित किए जा रहे हिस्से के लिए निरंतर भरण दर: आर्थिक उत्पादन मात्रा
• मांग यादृच्छिक है: शास्त्रीय समाचार विक्रेता मॉडल
• एक ही मशीन पर उत्पादित कई उत्पाद: आर्थिक लॉट शेड्यूलिंग समस्या
• पुनः आदेश बिंदु

अग्रिम पठन

• Lee, Chung-Yee, Sila Çetinkaya, and Albert PM Wagelmans. "A dynamic lot-sizing model with demand time windows." Management Science 47.10 (2001): 1384–1395.
• Federgruen, Awi, and Michal Tzur. "A simple forward algorithm to solve general dynamic lot sizing models with n periods in 0 (n log n) or 0 (n) time." Management Science 37.8 (1991): 909–925.
• Jans, Raf, and Zeger Degraeve. "Meta-heuristics for dynamic lot sizing: a review and comparison of solution approaches." European Journal of Operational Research 177.3 (2007): 1855–1875.
• H.M. Wagner and T. Whitin, "Dynamic version of the economic lot size model," Management Science, Vol. 5, pp. 89–96, 1958
• H.M. Wagner: "Comments on Dynamic version of the economic lot size model", Management Science, Vol. 50 No. 12 Suppl., December 2004

बाहरी संबंध

• Solving the Lot Sizing Problem using the Wagner-Whitin Algorithm
• Dynamic lot size model
• Python implementation of the Wagner-Whitin algorithm.