कोज्या का गोलाकार नियम

गोलाकार त्रिकोणमिति में, कोसाइन का नियम (जिसे भुजाओं के लिए कोसाइन नियम भी कहा जाता है गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों से संबंधित एक प्रमेय है, जो समतल त्रिकोणमिति के कोसाइन के सामान्य नियम के अनुरूप है।

गोलाकार त्रिभुज कोसाइन के नियम द्वारा हल किया गया।

एक इकाई गोले को देखते हुए, गोले की सतह पर एक गोलाकार त्रिभुज को तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले बड़े वृत्तों द्वारा परिभाषित किया जाता है u, v, और w गोले पर (दाईं ओर दिखाया गया है)। यदि इन तीनों भुजाओं की लम्बाई है a (से u को v), b (से u को w), और c (से v को w), और विपरीत कोने का कोण c है C, तो कोसाइन का (पहला) गोलाकार नियम बताता है:

$$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,$$

चूँकि यह एक इकाई गोला है, लंबाई a, b, और c गोले के केंद्र से उन भुजाओं द्वारा अंतरित कोणों (कांति में) के बराबर हैं। (एक गैर-इकाई गोले के लिए, लंबाई त्रिज्या के गुना अंतरित कोण हैं, और सूत्र अभी भी मान्य है यदि a, b और c अंतरित कोणों के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है)। एक विशेष मामले के रूप में, के लिए C = π/2, तब cos C = 0, और पाइथागोरस प्रमेय का गोलाकार एनालॉग प्राप्त होता है:

$$\cos c=\cos a\cos b\,$$

यदि कोसाइन के नियम का उपयोग हल करने के लिए किया जाता है c, जब कोसाइन को पलटने की आवश्यकता गोलाई त्रुटियों को बढ़ाती है c छोटा है। इस मामले में, हैवर्साइन्स के कानून का वैकल्पिक सूत्रीकरण बेहतर है। कोसाइन के नियम पर एक भिन्नता, कोसाइन का दूसरा गोलाकार नियम, (कोणों के लिए कोज्या नियम भी कहा जाता है बताता है:

$$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,$$

कहाँ A और B भुजाओं के विपरीत कोनों के कोण हैं a और b, क्रमश। इसे दिए गए गोलाकार त्रिकोणमिति#ध्रुवीय त्रिभुजों पर विचार करने से प्राप्त किया जा सकता है।

प्रमाण

पहला प्रमाण

होने देना u, v, और w गोले के केंद्र से त्रिभुज के उन कोनों तक इकाई सदिशों को निरूपित करें। यदि समन्वय प्रणाली को घुमाया जाए तो कोण और दूरियां नहीं बदलती हैं, इसलिए हम समन्वय प्रणाली को घुमा सकते हैं $\mathbf {u}$ उत्तरी ध्रुव पर है और $\mathbf {v}$ प्रधान मध्याह्न रेखा (0 का देशांतर) पर कहीं है। इस घूर्णन के साथ, गोलाकार समन्वय करता है $\mathbf {v}$ हैं $(r,\theta ,\phi )=(1,a,0),$ कहाँ θ भूमध्य रेखा से नहीं उत्तरी ध्रुव से मापा गया कोण है, और इसके लिए गोलाकार निर्देशांक है $\mathbf {w}$ हैं $(r,\theta ,\phi )=(1,b,C).$ कार्तीय निर्देशांक के लिए $\mathbf {v}$ हैं $(x,y,z)=(\sin a,0,\cos a)$ और कार्तीय निर्देशांक के लिए $\mathbf {w}$ हैं $(x,y,z)=(\sin b\cos C,\sin b\sin C,\cos b).$ का मान है $\cos c$ दो कार्टेशियन वैक्टर का डॉट उत्पाद है, जो है $\sin a\sin b\cos C+\cos a\cos b.$

दूसरा प्रमाण

होने देना u, v, और w गोले के केंद्र से त्रिभुज के उन कोनों तक इकाई सदिशों को निरूपित करें। अपने पास u · u = 1, v · w = cos c, u · v = cos a, और u · w = cos b. वैक्टर u × v और u × w लंबाई होती है sin a और sin b क्रमशः और उनके बीच का कोण है C, इसलिए

sin a sin b cos C = (u × v) · (u × w) = (u · u)(v · w) − (u · v)(u · w) = cos c − cos a cos b,

क्रॉस उत्पाद, डॉट उत्पाद और बिनेट-कॉची पहचान का उपयोग करना (p × q) · (r × s) = (p · r)(q · s) − (p · s)(q · r).

तीसरा प्रमाण

होने देना u, v, और w गोले के केंद्र से त्रिभुज के उन कोनों तक इकाई सदिशों को निरूपित करें। निम्नलिखित घूर्णी अनुक्रम पर विचार करें जहां हम सबसे पहले वेक्टर को घुमाते हैं v को u एक कोण से $a,$ वेक्टर के एक और घूर्णन का अनुसरण किया u को w एक कोण से $b,$ जिसके बाद हम वेक्टर को घुमाते हैं w वापस v एक कोण से $c.$ इन तीन घुमावों की संरचना एक पहचान परिवर्तन का निर्माण करेगी। अर्थात्, समग्र घूर्णन बिंदु को मैप करता है v खुद को। इन तीन घूर्णी संक्रियाओं को चतुर्भुजों द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$${\begin{aligned}q_{A}&=\cos {\frac {a}{2}}+\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}},\\q_{B}&=\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}},\\q_{C}&=\cos {\frac {c}{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}},\end{aligned}}$$

कहाँ $\mathbf {A} ,$ $\mathbf {B} ,$ और $\mathbf {C}$ क्रमशः दाएँ हाथ के नियम द्वारा परिभाषित इकाई सदिश घूर्णन के अक्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन तीन घुमावों की संरचना एकता है, $q_{C}q_{B}q_{A}=1.$ दोनों पक्षों को संयुग्मों से गुणा करना सही है $q_{A}^{*}q_{B}^{*},$ अपने पास $q_{C}=q_{A}^{*}q_{B}^{*},$ कहाँ ${\textstyle q_{A}^{*}=\cos {\frac {a}{2}}-\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}}$ और ${\textstyle q_{B}^{*}=\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}}.}$ इससे हमें पहचान मिलती है

$$\cos {\frac {c}{2}}+\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}}=\left(\cos {\frac {a}{2}}-\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\right)\left(\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {B} \sin {\frac {b}{2}}\right).$$

इस पहचान के दाहिनी ओर चतुर्भुज गुणनफल द्वारा दिया गया है

$$\left(\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right)-\left(\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \times \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right).$$

सर्वसमिका के दोनों ओर के अदिश भागों को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$\cos {\frac {c}{2}}=\cos {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}.$$

यहाँ $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\cos(\pi -C)=-\cos C.$ चूँकि यह पहचान किसी भी चाप कोण के लिए मान्य है, इसलिए हम आधे को दबा देते हैं

$$\cos c=\cos a\cos b+\cos C\sin a\sin b.$$

हम पहले उसे नोट करके भी साइन नियम को पुनः प्राप्त कर सकते हैं $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {u} \sin C$ और फिर पहचान के दोनों पक्षों पर वेक्टर भागों को बराबर करना

$$\mathbf {C} \sin {\frac {c}{2}}=-\left(\mathbf {A} \sin {\frac {a}{2}}\cos {\frac {b}{2}}+\mathbf {B} \cos {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}+\mathbf {u} \sin C\sin {\frac {a}{2}}\sin {\frac {b}{2}}\right).$$

सदिश $\mathbf {u}$ दोनों सदिशों के लिए ओर्थोगोनल है $\mathbf {A}$ और $\mathbf {B} ,$ और इस तरह से $\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} =0.$ के संबंध में डॉट उत्पाद लेना $\mathbf {u}$ दोनों तरफ, और हिस्सों को दबाते हुए, हमारे पास है $\mathbf {u} \cdot \mathbf {C} \sin c=-\sin C\sin a\sin b.$ अब $\mathbf {v} \times \mathbf {w} =-\mathbf {C} \sin c$ और इसलिए हमारे पास है $\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=-\mathbf {u} \cdot \mathbf {C} \sin c=\sin C\sin a\sin b.$ प्रत्येक पक्ष को विभाजित करना $\sin a\sin b\sin c,$ अपने पास

$${\frac {\sin C}{\sin c}}={\frac {\mathbf {u} \cdot (\mathbf {w} \times \mathbf {v} )}{\sin a\sin b\sin c}}.$$

चूँकि उपरोक्त अभिव्यक्ति का दाहिना भाग चक्रीय क्रमपरिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित है, हमारे पास है

$${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$$

पुनर्व्यवस्था

कोसाइन के पहले और दूसरे गोलाकार नियमों को भुजाओं को रखने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है (a, b, c) और कोण (A, B, C) समीकरणों के विपरीत पक्षों पर:

$${\begin{aligned}\cos C&={\frac {\cos c-\cos a\cos b}{\sin a\sin b}}\\\cos c&={\frac {\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}\\\end{aligned}}$$

तलीय सीमा: छोटे कोण

छोटे गोलाकार त्रिभुजों के लिए, यानी छोटे के लिए a, b, और c, कोसाइन का गोलाकार नियम लगभग कोसाइन के सामान्य तलीय नियम के समान है,

$$c^{2}\approx a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,.$$

इसे साबित करने के लिए, हम कोसाइन और साइन फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला से प्राप्त छोटे-कोण सन्निकटन का उपयोग करेंगे:

$${\begin{aligned}\cos a&=1-{\frac {a^{2}}{2}}+O\left(a^{4}\right)\\\sin a&=a+O\left(a^{3}\right)\end{aligned}}$$

इन भावों को कोज्या जाल के गोलाकार नियम में प्रतिस्थापित करना:

$$1-{\frac {c^{2}}{2}}+O\left(c^{4}\right)=1-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{4}}+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+\cos(C)\left(ab+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right)\right)$$

या सरलीकरण के बाद:

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(c^{4}\right)+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(a^{2}b^{2}\right)+O\left(a^{3}b\right)+O\left(ab^{3}\right)+O\left(a^{3}b^{3}\right).$$

के लिए बड़े O अंकन शर्तें a और b का बोलबाला है O(a⁴) + O(b⁴) जैसा a और b छोटा हो जाओ, इसलिए हम इस अंतिम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C+O\left(a^{4}\right)+O\left(b^{4}\right)+O\left(c^{4}\right).$$

इतिहास

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी|अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी), अल-बत्तानी|अल-बत्तानी (9वीं शताब्दी), और नीलकंठ सोमयाजी|नीलकंठ द्वारा कोसाइन के गोलाकार नियम के समतुल्य कुछ का उपयोग किया गया था (लेकिन सामान्य रूप से नहीं कहा गया था)। (15th शताब्दी)।

यह भी देखें

• अर्ध-पक्षीय सूत्र
• कोसाइन का अतिपरवलयिक नियम
• त्रिभुजों का हल
• ज्या का गोलाकार नियम

टिप्पणियाँ

[[he:טריגונומטריה ספירית#משפט הקוסינוס