सामान्यीकृत वृत्त

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ज्यामिति में, सामान्यीकृत वृत्त, जिसे रेखा या वृत्त भी कहा जाता है, सीधी रेखा या वृत्त है। इस अवधारणा का उपयोग विशेष रूप से व्युत्क्रम ज्यामिति में किया जाता है, ऐसा संदर्भ जिसमें सीधी रेखाएं एवं वृत्त अप्रभेद्य होते हैं।

व्युत्क्रम समतल ज्यामिति अनंत पर बिंदु तक विस्तारित समतल (ज्यामिति) पर तैयार की जाती है। तब सीधी रेखा को उन वृत्तों में से माना जाता है जो अनंत पर अनंतस्पर्शी बिंदु से होकर गुजरती है। व्युत्क्रम ज्यामिति में मूलभूत परिवर्तनों, व्युत्क्रम में यह गुण होता है कि वे सामान्यीकृत वृत्तों को सामान्यीकृत वृत्तों में मैप करते हैं। मोबियस परिवर्तन, जो व्युत्क्रमों की रचनाएँ हैं, उस संपत्ति को प्राप्त करते हैं। ये परिवर्तन आवश्यक रूप से रेखाओं को रेखाओं एवं वृत्तों को वृत्तों में मैप नहीं करते हैं: वे दोनों को मिला सकते हैं।

व्युत्क्रमण दो प्रकार के होते हैं: वृत्तों पर व्युत्क्रम एवं रेखाओं पर प्रतिबिम्ब। चूँकि दोनों के गुण बहुत समान हैं, हम उन्हें जोड़ते हैं एवं सामान्यीकृत वृत्तों में व्युत्क्रमों के बारे में बात करते हैं।

विस्तारित तल में किन्हीं तीन अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, वास्तव में सामान्यीकृत वृत्त मौजूद होता है जो तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है।

त्रिविम प्रक्षेपण का उपयोग करके विस्तारित तल को गोले से पहचाना जा सकता है। अनंत पर स्थित बिंदु तब गोले पर सामान्य बिंदु बन जाता है, एवं सभी सामान्यीकृत वृत्त गोले पर वृत्त बन जाते हैं।

विस्तारित सम्मिश्र तल में समीकरण

व्युत्क्रम ज्यामिति के विस्तारित तल को विस्तारित समष्टि तल से पहचाना जा सकता है, जिससे रेखाओं, वृत्तों एवं व्युत्क्रमों का वर्णन करने के लिए समष्टि संख्याओं के समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है।

वृत्त Γ समतल में बिंदु z का समुच्चय है जो केंद्र बिंदु γ से त्रिज्या r पर स्थित है।

$\Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{the distance between }}z{\text{ and }}\gamma {\text{ is }}r\}$

समष्टि तल का उपयोग करके, हम γ को समष्टि संख्या के रूप में एवं वृत्त Γ को समष्टि संख्याओं के समुच्चय के रूप में मान सकते हैं।

इस गुण का उपयोग करते हुए कि सम्मिश्र संख्या को उसके संयुग्म से गुणा करने पर हमें उसके मापांक का वर्ग प्राप्त होता है, एवं इसका मापांक मूल से इसकी यूक्लिडियन दूरी है, Γ के लिए समीकरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

${\left|z-\gamma \right|}=r$

${\left|z-\gamma \right|}^{2}=r^{2}$

$(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}=r^{2}$

$z{\bar {z}}-z{\bar {\gamma }}-{\bar {z}}\gamma +\gamma {\bar {\gamma }}=r^{2}$

$z{\bar {z}}-z{\bar {\gamma }}-{\bar {z}}\gamma +\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}=0.$

प्रपत्र का समीकरण प्राप्त करने के लिए हम इसे वास्तविक गुणांक z एवं उसका संयुग्म से गुणा कर सकते हैं,

$Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0$

जहाँ A एवं D वास्तविक संख्याएँ हैं, एवं B एवं C सम्मिश्र संयुग्म हैं। चरणों को विपरीत करते हुए, हम देखते हैं कि इसे वृत्त बनाने के लिए, त्रिज्या का वर्ग (BC-AD)/A² >0 बराबर होना चाहिए। इसलिए उपरोक्त समीकरण सामान्यीकृत वृत्त को परिभाषित करता है जब भी AD < BC होता है। ध्यान दें कि जब A शून्य है, तो यह समीकरण सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

परिवर्तन w = 1/z

अब यह देखना सरल है कि परिवर्तन w = 1/z सामान्यीकृत वृत्तों को सामान्यीकृत वृत्तों में मैप करता है:

${\begin{aligned}Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D&=0\\[6pt]A{\frac {1}{w}}{\frac {1}{\bar {w}}}+B{\frac {1}{w}}+C{\frac {1}{\bar {w}}}+D&=0\\[6pt]A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}&=0\\[6pt]D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A&=0.\end{aligned}}$

हम देखते हैं कि मूल बिंदु (A= D = 0) से गुजरने वाली रेखाएं मूल से गुजरने वाली रेखाओं से मैप की जाती हैं, जो रेखाएं मूल से नहीं गुजरती हैं (ए = 0; डी ≠ 0) मूल से गुजरने वाले वृत्तों के लिए, वहां से गुजरने वाले वृत्तों के लिए मूल बिंदु (ए ≠ 0; डी = 0) से मूल बिंदु से नहीं गुजरने वाली रेखाएं, एवं वृत्त जो मूल से नहीं गुजर रहे हैं (ए ≠ 0; डी ≠ 0) से उन वृत्त जो मूल से नहीं गुजर रहे हैं।

हर्मिटियन मैट्रिक्स द्वारा प्रतिनिधित्व

सामान्यीकृत वृत्त के समीकरण को परिभाषित करने वाला डेटा

$Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0$

इसे उपयोगी रूप से व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स हर्मिटियन मैट्रिक्स के रूप में रखा जा सकता है

${\mathfrak {C}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }.$

ऐसे दो उलटे हर्मिटियन मैट्रिक्स ही सामान्यीकृत सर्कल को निर्दिष्ट करते हैं यदि एवं केवल तभी जब वे वास्तविक ाधिक से भिन्न होते हैं।

द्वारा वर्णित सामान्यीकृत वृत्त को रूपांतरित करना ${\mathfrak {C}}$ मोबियस परिवर्तन द्वारा ${\mathfrak {H}}$, उलटा लें ${\mathfrak {G}}$ परिवर्तन का ${\mathfrak {H}}$ एवं करो

${\mathfrak {C}}\mapsto {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.$

संदर्भ

• Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, 1979
• Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2nd edition, Prentice Hall, 2001
• David W. Lyons (2021) Möbius Geometry from LibreTexts