वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र

ज्यामिति में, एक गोलाकार बीजगणितीय वक्र एक प्रकार का समतल बीजगणितीय वक्र होता है जो समीकरण F(x, y) = 0 द्वारा निर्धारित होता है, जहां F वास्तविक के साथ एक बहुपद है गुणांक और F के उच्चतम-क्रम वाले पद x से विभाज्य एक बहुपद बनाते हैं²+और². अधिक सटीक रूप से, यदि एफ = एफ_n+ एफ_n−1+...+एफ₁+ एफ₀, जहां प्रत्येक एफ_i डिग्री i का सजातीय कार्य है, तो वक्र F(x,y)=0 गोलाकार है यदि और केवल यदि F_n x से विभाज्य है²+और².

समान रूप से, यदि वक्र सजातीय निर्देशांक में G(x, y, z) = 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहां G एक सजातीय बहुपद है, तो वक्र गोलाकार है यदि और केवल यदि G(1, i, 0)=G(1) , −i, 0) = 0. दूसरे शब्दों में, वक्र गोलाकार होता है यदि इसमें अनंत पर गोलाकार बिंदु होते हैं, (1, i, 0) और (1, −i, 0), जब इसे वक्र के रूप में माना जाता है जटिल प्रक्षेप्य तल.

बहुवृत्ताकार बीजगणितीय वक्र

एक बीजगणितीय वक्र को पी-परिपत्र कहा जाता है यदि इसमें बिंदु (1, आई,0) और (1,−आई,0) शामिल हैं, जब इसे जटिल प्रक्षेप्य में एक वक्र माना जाता है समतल, और ये बिंदु कम से कम पी क्रम की विलक्षणताएं हैं। शब्द द्विवृत्ताकार, त्रिकवृत्ताकार, आदि तब लागू होते हैं जब पी = 2,3, आदि। ऊपर दिए गए बहुपद एफ के संदर्भ में, वक्र एफ (x, y) = 0 p-वृत्ताकार है यदि F_n−i (x) से विभाज्य है²+और²)^p−i जब i<p. जब p = 1 यह एक गोलाकार वक्र की परिभाषा में कम हो जाता है। यूक्लिडियन समूह के अंतर्गत पी-वृत्ताकार वक्रों का समुच्चय अपरिवर्तनीय है। ध्यान दें कि एक p-वृत्ताकार वक्र की डिग्री कम से कम 2p होनी चाहिए।

The set of p-circular curves of degree p + k, where p may vary but k is a fixed positive integer, is invariant under inversion. जब k 1 होता है तो यह कहता है कि रेखाओं का सेट (डिग्री 1 के 0-वृत्ताकार वक्र) वृत्तों के सेट (डिग्री 2 के 1-वृत्ताकार वक्र) के साथ मिलकर एक सेट बनाते हैं जो व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय होता है।

उदाहरण

• वृत्त ही एकमात्र गोलाकार शंकु है।
• डी स्लुज़ के कोनकॉइड (जिसमें कई प्रसिद्ध घन वक्र शामिल हैं) गोलाकार घन हैं।
• कैसिनी अंडाकार (बर्नौली के लेम्निस्केट सहित), टोरिक अनुभाग और लिमाकॉन (कारडायोड सहित) द्विवृत्ताकार चतुर्थक हैं।
• वाट का वक्र एक त्रिवृत्ताकार सेक्स्टिक है।

संदर्भ

• (in French) "Courbe Algébrique Circulaire" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• (in French) "Courbe Algébrique Multicirculaire" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Definition at 2dcurves.com