गेरोनो का लेम्निस्केट

गेरोनो का लेम्निस्केट

बीजगणितीय ज्यामितीय में, गेरोनो का लेम्निस्केट, या ह्यूजेन्स का लेम्निस्केट, या आकृति-आठ वक्र, डिग्री चार और जीनस शून्य का समतल बीजगणितीय वक्र है और लेम्निस्केट वक्र के आकार का है $\infty$ प्रतीक, या अंक आठ इसमें समीकरण है:

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.$

इसका अध्ययन केमिली-क्रिस्टोफ़ गेरोनो ने किया था।

पैरामीटरीकरण

क्योंकि वक्र जीनस शून्य का है, इसे तर्कसंगत कार्यों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है; ऐसा करने का साधन है:

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.$

और प्रतिनिधित्व है:

$x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$

जिससे ज्ञात होता है कि यह लेम्निस्केट लिसाजस आकृति की विशेष स्तिथि है।

ड्यूल वक्र

नीचे चित्रित ड्यूल वक्र (प्लुकर सूत्र देखें) का चरित्र कुछ भिन्न है। इसका समीकरण है:

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.$

गेरोनो के लेम्निस्केट के लिए ड्यूल

संदर्भ

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. p. 124. ISBN 0-486-60288-5.

बाहरी संबंध

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Figure Eight Curve", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews