हिप्पोपेड्स

हिप्पोपेड (लाल) को दीर्घवृत्त (काला) के पेडल वक्र के रूप में दिया गया है। इस दरियाई घोड़े का समीकरण है: $4x^{2}+y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}$

ज्यामिति में, एक दरियाई घोड़ा (from Ancient Greek ἱπποπέδη (hippopédē) 'horse fetter') एक समतल वक्र है जो प्रपत्र के समीकरण द्वारा निर्धारित होता है

$(x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2},$

जहाँ ऐसा माना जाता है c > 0 और c > dचूंकि शेष मामले या तो एक बिंदु तक कम हो जाते हैं या रोटेशन के साथ दिए गए रूप में रखे जा सकते हैं। हिप्पोपेड्स वृत्ताकार बीजगणितीय वक्र, परिमेय संख्या, बहुपद 4 की घात के बीजगणितीय वक्र और दोनों के संबंध में सममित हैं। x और y कुल्हाड़ियाँ.

विशेष मामले

जब d > 0 वक्र का आकार अंडाकार होता है और इसे अक्सर 'बूथ का अंडाकार' के रूप में जाना जाता है, और कब d < 0 वक्र एक बग़ल में आकृति आठ या लेम्निस्केट जैसा दिखता है, और 19वीं शताब्दी के गणितज्ञ जेम्स बूथ (गणितज्ञ) के बाद, जिन्होंने उनका अध्ययन किया था, अक्सर बूथ के लेम्निस्केट के रूप में जाना जाता है। हिप्पोपेड्स की जांच बंद किया हुआ (जिनके लिए उन्हें कभी-कभी प्रोक्लस का हिप्पोपेड्स कहा जाता है) और कनिडस के यूडोक्सस द्वारा भी की गई थी। के लिए d = −c, दरियाई घोड़ा बर्नौली के लेम्निस्केट से मेल खाता है।

स्पिरिक सेक्शन के रूप में परिभाषा

ए = 1, बी = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, और 2.0 के साथ हिप्पोपेड्स।

बी = 1, ए = 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, और 2.0 के साथ हिप्पोपेड्स।

हिप्पोपेड्स को एक टोरस्र्स और एक विमान के प्रतिच्छेदन से बने वक्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां विमान टोरस की धुरी के समानांतर होता है और आंतरिक वृत्त पर स्पर्शरेखा होता है। इस प्रकार यह एक आध्यात्मिक अनुभाग है जो बदले में एक प्रकार का टोरिक अनुभाग है।

यदि त्रिज्या a वाले एक वृत्त को उसके केंद्र से दूरी b पर एक अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है, तो ध्रुवीय निर्देशांक में परिणामी दरियाई घोड़े का समीकरण

$r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\!\theta )$

या कार्टेशियन निर्देशांक में

$(x^{2}+y^{2})^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}$.

ध्यान दें कि जब a > b टोरस स्वयं को काटता है, तो यह टोरस की सामान्य तस्वीर जैसा नहीं दिखता है।

यह भी देखें

• वक्रों की सूची

संदर्भ

• Lawrence JD. (1972) Catalog of Special Plane Curves, Dover Publications. Pp. 145–146.
• Booth J. A Treatise on Some New Geometrical Methods, Longmans, Green, Reader, and Dyer, London, Vol. I (1873) and Vol. II (1877).
• Weisstein, Eric W. "Hippopede". MathWorld.
• "Hippopede" at 2dcurves.com
• "Courbes de Booth" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

बाहरी संबंध

• "The Hippopede of Proclus" at The National Curve Bank