कोहेन संरचना प्रमेय

गणित में, कोहेन संरचना प्रमेय, द्वारा प्रस्तुत किया गया Cohen (1946), पूर्णता की संरचना का वर्णन करता है (रिंग सिद्धांत) नोथेरियन अंगूठी स्थानीय रिंग।

कोहेन की संरचना प्रमेय के कुछ परिणामों में वोल्फगैंग क्रुल के तीन अनुमान शामिल हैं:

• कोई भी पूर्ण नियमित स्थानीय वलय समविशेषता नोथेरियन स्थानीय वलय एक क्षेत्र के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का एक वलय है। (इक्विकैरेक्टरिस्टिक का अर्थ है कि स्थानीय रिंग और उसके अवशेष क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) समान है, और यह फ़ील्ड वाले स्थानीय रिंग के बराबर है।)
• कोई भी पूर्ण नियमित नोथेरियन स्थानीय रिंग जो समान विशेषता नहीं है, लेकिन असंबद्ध है, उसके अवशेष क्षेत्र और उसके आयाम द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।
• कोई भी पूर्ण नोथेरियन स्थानीय रिंग पूर्ण नियमित नोथेरियन स्थानीय रिंग की छवि है।

कथन

कोहेन के प्रमेय का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला मामला तब होता है जब संपूर्ण नोथेरियन स्थानीय रिंग में कुछ क्षेत्र होते हैं। इस मामले में कोहेन की संरचना प्रमेय बताता है कि वलय kx रूप का है₁,...,एक्स_n/(I) कुछ आदर्श I के लिए, जहां k इसका अवशेष वर्ग क्षेत्र है।

असमान विशेषता वाले मामले में जब पूर्ण नोथेरियन स्थानीय रिंग में कोई क्षेत्र नहीं होता है, तो कोहेन की संरचना प्रमेय में कहा गया है कि स्थानीय रिंग एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला रिंग का एक भागफल है जो कोहेन की अंगूठी पर समान अवशेष क्षेत्र के साथ एक सीमित संख्या में चर में होता है। स्थानीय रिंग. कोहेन रिंग एक फ़ील्ड या पूर्ण विशेषता शून्य असतत मूल्यांकन रिंग है जिसका अधिकतम आदर्श एक अभाज्य संख्या p (अवशेष फ़ील्ड की विशेषता के बराबर) द्वारा उत्पन्न होता है।

दोनों ही मामलों में, कोहेन के प्रमाण का सबसे कठिन हिस्सा यह दिखाना है कि पूर्ण नोथेरियन स्थानीय रिंग में एक 'गुणांक रिंग' (या 'गुणांक क्षेत्र') होता है, जिसका अर्थ है समान अवशेष क्षेत्र के साथ एक पूर्ण असतत मूल्यांकन रिंग (या फ़ील्ड)। स्थानीय रिंग.

यह सारी सामग्री स्टैक प्रोजेक्ट में सावधानीपूर्वक विकसित की गई है "स्टैक प्रोजेक्ट - टैग 0323". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2018-08-13..

संदर्भ

• Cohen, Irvin Sol (1946), "On the structure and ideal theory of complete local rings", Transactions of the American Mathematical Society, 59: 54–106, doi:10.2307/1990313, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990313, MR 0016094 Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring".
• Samuel, Pierre (1953), Algèbre locale, Mémor. Sci. Math., vol. 123, Gauthier-Villars, MR 0054995