मैट्रिक्स तुल्यता

रैखिक बीजगणित में, दो आयताकार एम-बाय-एन मैट्रिक्स (गणित) ए और बी को 'समतुल्य' कहा जाता है यदि

$B=Q^{-1}AP$

कुछ उलटे मैट्रिक्स एन-बाय-एन मैट्रिक्स पी और कुछ उलटे एम-बाय-एम मैट्रिक्स क्यू के लिए। समतुल्य मैट्रिक्स वी और डब्ल्यू के बेसिस (रैखिक बीजगणित) की एक जोड़ी के दो अलग-अलग विकल्पों के तहत एक ही रैखिक मानचित्र वी → डब्ल्यू का प्रतिनिधित्व करते हैं, P और Q के साथ क्रमशः V और W में आधार मैट्रिक्स का परिवर्तन होता है।

समतुल्यता की धारणा को समान मैट्रिक्स के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो केवल उलटा मैट्रिक्स के लिए परिभाषित है, और बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक है (समान मैट्रिक्स निश्चित रूप से समतुल्य हैं, लेकिन समकक्ष वर्ग मैट्रिक्स को समान होने की आवश्यकता नहीं है)। यह धारणा वी के एकल आधार के दो अलग-अलग विकल्पों के तहत एक ही एंडोमोर्फिज्म वी → वी का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स से मेल खाती है, जिसका उपयोग प्रारंभिक वैक्टर और उनकी छवियों दोनों के लिए किया जाता है।

गुण

मैट्रिक्स तुल्यता आयताकार मैट्रिक्स के स्थान पर एक तुल्यता संबंध है।

एक ही आकार के दो आयताकार आव्यूहों के लिए, उनकी तुल्यता को निम्नलिखित स्थितियों द्वारा भी दर्शाया जा सकता है

• प्रारंभिक पंक्ति संचालन के संयोजन से मैट्रिक्स को एक दूसरे में बदला जा सकता है।
• दो आव्यूह समतुल्य हैं यदि और केवल तभी जब उनकी मैट्रिक्स की रैंक समान हो।

विहित रूप

मैट्रिक्स प्रॉपर्टी की रैंक रैंक के समतुल्य वर्ग के मैट्रिक्स के लिए एक सहज विहित रूप उत्पन्न करती है $k$ जैसा

${\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix}}$,

की संख्या कहां है $1$विकर्ण पर s के बराबर है $k$. यह स्मिथ सामान्य रूप का एक विशेष मामला है, जो वेक्टर रिक्त स्थान पर इस अवधारणा को प्रमुख आदर्श डोमेन पर मुक्त मॉड्यूल में सामान्यीकृत करता है।

यह भी देखें

• पंक्ति तुल्यता
• मैट्रिक्स सर्वांगसमता

श्रेणी:मैट्रिसेस श्रेणी:समतुल्यता (गणित)