ध्वज (रैखिक बीजगणित)

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक ध्वज एक आयाम (सदिश स्थल ) | परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस वी के रैखिक उप-स्थान का एक बढ़ता हुआ क्रम है। यहां बढ़ने का मतलब है कि प्रत्येक अगले का एक उचित उप-स्थान है (फ़िल्टरेशन (अमूर्त बीजगणित) देखें):

$\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.$

ध्वज शब्द ध्वज के सदृश एक विशेष उदाहरण से प्रेरित है: शून्य बिंदु, एक रेखा और एक तल एक कील, एक छड़ी और कपड़े की एक शीट से मेल खाता है। यदि हम वह dimV लिखते हैं_i =डी_i तो हमारे पास हैं

$0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,$

जहां n, V का आयाम (रैखिक बीजगणित) है (परिमित माना जाता है)। इसलिए, हमारे पास k ≤ n होना चाहिए। एक ध्वज को 'पूर्ण ध्वज' कहा जाता है यदि d_i = i सबके लिए i, अन्यथा इसे 'आंशिक ध्वज' कहा जाता है।

कुछ उप-स्थानों को हटाकर पूर्ण ध्वज से आंशिक ध्वज प्राप्त किया जा सकता है। इसके विपरीत, किसी भी आंशिक ध्वज को उपयुक्त उप-स्थान डालकर (कई अलग-अलग तरीकों से) पूरा किया जा सकता है।

ध्वज का 'हस्ताक्षर' अनुक्रम है (डी₁, ..., डी_k).

आधार

V के लिए एक क्रमबद्ध आधार (रैखिक बीजगणित) को ध्वज V के लिए 'अनुकूलित' कहा जाता है₀ ⊂ वी₁ ⊂ ... ⊂ वी_k यदि पहला डी_i आधार सदिश V के लिए आधार बनाते हैं_i प्रत्येक 0 ≤ i ≤ k के लिए। रैखिक बीजगणित के मानक तर्क दिखा सकते हैं कि किसी भी ध्वज का एक अनुकूलित आधार होता है।

कोई भी आदेशित आधार वी देकर एक पूर्ण ध्वज को जन्म देता है_i पहले i आधार सदिशों का रैखिक विस्तार हो। उदाहरण के लिए, 'standard flagआर मेंⁿ मानक आधार से प्रेरित है (उदा₁, ..., यह है_n) जहां ई_i वेक्टर को पहली प्रविष्टि में 1 और अन्यत्र 0 से दर्शाता है। सीधे तौर पर, मानक ध्वज उप-स्थानों का अनुक्रम है:

$0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$

एक अनुकूलित आधार लगभग कभी भी अद्वितीय नहीं होता (प्रतिउदाहरण तुच्छ होते हैं); नीचे देखें।

आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक पूर्ण ध्वज में अनिवार्य रूप से अद्वितीय ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है: यह प्रत्येक वेक्टर को एक इकाई (इकाई लंबाई का स्केलर, उदाहरण के लिए 1, −1, i) से गुणा करने तक अद्वितीय होता है। ऐसा आधार ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करके बनाया जा सकता है। इकाइयों तक की विशिष्टता गणितीय प्रेरण का अनुसरण करती है, इसे ध्यान में रखते हुए $v_{i}$ एक आयामी स्थान में निहित है $V_{i-1}^{\perp }\cap V_{i}$.

अधिक संक्षेप में, यह अधिकतम टोरस की कार्रवाई तक अद्वितीय है: ध्वज बोरेल समूह से मेल खाता है, और आंतरिक उत्पाद अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह से मेल खाता है।

स्टेबलाइजर

मानक ध्वज का स्टेबलाइज़र उपसमूह उलटा मैट्रिक्स ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (गणित) का समूह (गणित) है।

अधिक आम तौर पर, एक ध्वज का स्टेबलाइज़र (वी पर रैखिक ऑपरेटर जैसे कि $T(V_{i})<V_{i}$ सभी के लिए i) मैट्रिक्स के संदर्भ में, ब्लॉक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स (अनुकूलित आधार के संबंध में) के एक क्षेत्र पर बीजगणित है, जहां ब्लॉक आकार $d_{i}-d_{i-1}$. पूर्ण ध्वज का स्टेबलाइज़र उपसमूह ध्वज के अनुकूल किसी भी आधार के संबंध में उल्टे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स का सेट है। ऐसे आधार के संबंध में निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स का उपसमूह उस आधार पर निर्भर करता है, और इसलिए इसे केवल ध्वज के संदर्भ में चित्रित नहीं किया जा सकता है।

किसी भी पूर्ण ध्वज का स्टेबलाइजर उपसमूह एक बोरेल उपसमूह (सामान्य रैखिक समूह का) है, और किसी भी आंशिक झंडे का स्टेबलाइजर एक परवलयिक उपसमूह है।

ध्वज का स्टेबलाइज़र उपसमूह ध्वज के लिए अनुकूलित आधारों पर बस परिवर्तनीय रूप से कार्य करता है, और इस प्रकार ये अद्वितीय नहीं होते हैं जब तक कि स्टेबलाइज़र तुच्छ न हो। यह एक बहुत ही असाधारण परिस्थिति है: यह केवल आयाम 0 के सदिश समष्टि के लिए, या ऊपर के सदिश समष्टि के लिए होता है $\mathbf {F} _{2}$ आयाम 1 का (सटीक रूप से ऐसे मामले जहां केवल एक ही आधार मौजूद है, किसी भी ध्वज से स्वतंत्र)।

सबस्पेस नेस्ट

अनंत-आयामी अंतरिक्ष V में, जैसा कि कार्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किया जाता है, ध्वज विचार एक 'उपस्थान घोंसला' के लिए सामान्यीकृत होता है, अर्थात् V के उपस्थानों का एक संग्रह जो समावेशन (सेट सिद्धांत) के लिए कुल क्रम है और जो आगे मनमाने ढंग से बंद हो जाता है प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) और बंद रैखिक स्पैन। घोंसला बीजगणित देखें.

सेट-सैद्धांतिक एनालॉग्स

Further information: Field with one element

एक तत्व वाले क्षेत्र के दृष्टिकोण से, एक सेट को एक तत्व वाले क्षेत्र पर एक वेक्टर स्थान के रूप में देखा जा सकता है: यह कॉक्सेटर समूहों और बीजगणितीय समूहों के बीच विभिन्न समानताओं को औपचारिक बनाता है।

इस पत्राचार के तहत, एक सेट पर एक ऑर्डरिंग एक अधिकतम ध्वज से मेल खाती है: एक ऑर्डरिंग एक सेट के अधिकतम निस्पंदन के बराबर है। उदाहरण के लिए, निस्पंदन (ध्वज) $\{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}$ आदेश के अनुरूप है $(0,1,2)$.

यह भी देखें

• निस्पंदन (गणित)
• झंडा कई गुना
• ग्रासमैनियन
• मैट्रोइड

संदर्भ

• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Linear Algebra and Geometry. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.