बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप

संख्यात्मक विश्लेषण में, बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप एक से अधिक चर (बहुभिन्नरूपी कार्य) के कार्यों पर प्रक्षेप है; जब परिवर्तन स्थानिक निर्देशांक होते हैं, तो इसे स्थानिक प्रक्षेप के रूप में भी जाना जाता है।

इंटरपोलेशन किए जाने वाले फ़ंक्शन को दिए गए बिंदुओं $(x_{i},y_{i},z_{i},\dots )$ पर जाना जाता है और इंटरपोलेशन समस्या में मनमाने बिंदुओं $(x,y,z,\dots )$ पर मान प्राप्त होते हैं।

भू-सांख्यिकी में बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां इसका उपयोग पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के एक सेट से डिजिटल ऊंचाई मॉडल बनाने के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, स्थलाकृतिक सर्वेक्षणों में स्पॉट ऊंचाई या हाइड्रोग्राफिक सर्वेक्षणों में गहराई)।

नियमित ग्रिड

Comparison of some 1- and 2-dimensional interpolations.
Black and red/yellow/green/blue dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
Their heights above the ground correspond to their values.

नियमित ग्रिड पर ज्ञात फ़ंक्शन मानों के लिए (पूर्व निर्धारित, जरूरी नहीं कि एक समान, रिक्ति हो), निम्नलिखित विधियाँ उपलब्ध हैं।

कोई भी आयाम

• निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप
• एन-रैखिक प्रक्षेप (द्विरेखीय प्रक्षेप देखें|द्वि- और त्रिरेखीय प्रक्षेप और बहुरेखीय बहुपद)
• एन-क्यूबिक इंटरपोलेशन (बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन देखें|द्वि- और ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन)
• युद्ध
• व्युत्क्रम दूरी भार
• प्राकृतिक पड़ोसी प्रक्षेप
• तख़्ता प्रक्षेप
• रेडियल आधार फ़ंक्शन इंटरपोलेशन

2 आयाम

• बार्न्स इंटरपोलेशन
• द्विरेखीय प्रक्षेप
• बाइक्यूबिक इंटरपोलेशन
• बेज़ियर सतह
• लैंज़ोस पुनः नमूनाकरण
• डेलाउने त्रिकोणासन

पुनः नमूनाकरण (बिटमैप) छवि प्रसंस्करण में 2डी बहुभिन्नरूपी प्रक्षेप का अनुप्रयोग है।

काले बिंदुओं पर स्थित 25 मानों में से तीन विधियाँ एक ही डेटासेट पर लागू की गईं। रंग प्रक्षेपित मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

• 

  Nearest neighbor

• 

  Bilinear

• 

  Bicubic

दो चरों में बहुपद प्रक्षेप के लिए पडुआ बिंदु भी देखें।

3 आयाम

• त्रिरेखीय प्रक्षेप
• ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन

पुनः नमूनाकरण (बिटमैप) भी देखें।

एन आयामों के लिए टेंसर उत्पाद स्प्लिंस

कैटमुल-रोम स्प्लिंस को किसी भी संख्या में आयामों में आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। क्यूबिक हर्माइट तख़्ता लेख आपको इसकी याद दिलाएगा $\mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)$ कुछ 4-वेक्टर के लिए $\mathbf {b} (x)$ जो अकेले x का एक फलन है, जहाँ $f_{j}$ पर मूल्य है $j$ प्रक्षेपित किए जाने वाले फ़ंक्शन का. इस सन्निकटन को इस प्रकार पुनः लिखें

$\mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)$

इस सूत्र को सीधे एन आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

$\mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})$

ध्यान दें कि इसी तरह के सामान्यीकरण अन्य प्रकार के स्पलाइन इंटरपोलेशन के लिए किए जा सकते हैं, जिनमें हर्मिट स्प्लिन भी शामिल है। दक्षता के संबंध में, सामान्य सूत्र की गणना वास्तव में क्रमिक की संरचना के रूप में की जा सकती है $\mathrm {CINT}$-किसी भी प्रकार के टेंसर उत्पाद स्प्लिन के लिए प्रकार के संचालन, जैसा कि ट्राइक्यूबिक इंटरपोलेशन लेख में बताया गया है। हालाँकि, तथ्य यह है कि अगर वहाँ हैं $n$ 1-आयामी में शर्तें $\mathrm {CR}$-जैसे योग, तब होगा $n^{N}$ में शर्तें $N$-आयामी योग.

अनियमित ग्रिड (बिखरा हुआ डेटा)

अनियमित ग्रिड पर बिखरे हुए डेटा के लिए परिभाषित योजनाएँ अधिक सामान्य हैं। उन सभी को एक नियमित ग्रिड पर काम करना चाहिए, आम तौर पर किसी अन्य ज्ञात विधि को कम करना चाहिए।

• निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप
• त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क-आधारित प्राकृतिक पड़ोसी
• त्रिकोणीय अनियमित नेटवर्क-आधारित रैखिक प्रक्षेप (एक प्रकार का टुकड़ावार रैखिक कार्य)
  • एन-सिंप्लेक्स (जैसे टेट्राहेड्रोनरेखिक आंतरिक (बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली देखें)
• व्युत्क्रम दूरी भार
• क्रिगिंग
• ग्रेडिएंट-एन्हांस्ड क्रिंगिंग (जीईके)
• पतली प्लेट तख़्ता
• पॉलीहार्मोनिक तख़्ता (पतली-प्लेट-स्प्लाइन पॉलीहार्मोनिक स्प्लाइन का एक विशेष मामला है)
• रेडियल आधार फ़ंक्शन (पॉलीहार्मोनिक स्प्लिन निम्न डिग्री बहुपद शर्तों के साथ रेडियल आधार फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है)
• न्यूनतम-वर्ग तख़्ता (गणित)
• प्राकृतिक पड़ोसी प्रक्षेप

ग्रिडिंग अनियमित दूरी वाले डेटा को नियमित ग्रिड (ग्रिडयुक्त डेटा) में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है।

यह भी देखें

• चिकना करना
• सतह फिटिंग

बाहरी संबंध

• Example C++ code for several 1D, 2D and 3D spline interpolations (including Catmull-Rom splines).
• Multi-dimensional Hermite Interpolation and Approximation, Prof. Chandrajit Bajaja, Purdue University
• Python library containing 3D and 4D spline interpolation methods.