सेमीमार्टिंगेल

संभाव्यता सिद्धांत में, एक वास्तविक मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया सेमीमार्टिंगेल्स अच्छे इंटीग्रेटर्स हैं, जो प्रक्रियाओं का सबसे बड़ा वर्ग बनाते हैं जिसके संबंध में इटो इंटीग्रल और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल को परिभाषित किया जा सकता है।

सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग काफी बड़ा है (उदाहरण के लिए, सभी निरंतर भिन्न प्रक्रियाएं, वीनर प्रक्रिया और पॉइसन प्रक्रियाएं)स्थानीय मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत)#सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स और मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत)#सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स मिलकर सेमीमार्टिंगेल्स के एक उपसमूह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

परिभाषा

फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान (Ω,F,(F) पर परिभाषित एक वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया X_t)_t ≥ 0,P) को सेमीमार्टिंगेल कहा जाता है यदि इसे विघटित किया जा सकता है

$X_{t}=M_{t}+A_{t}$

जहां एम एक स्थानीय मार्टिंगेल है और ए स्थानीय रूप से सीमित भिन्नता की एक कैडलैग अनुकूलित प्रक्रिया है। एक 'आर'ⁿ-मूल्यवान प्रक्रिया X = (X¹,…,एक्सⁿ) एक सेमीमार्टिंगेल है यदि इसका प्रत्येक घटक X है^{मैं एक सेमीमार्टिंगेल है।}

वैकल्पिक परिभाषा

सबसे पहले, सरल पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं को फॉर्म एच की प्रक्रियाओं के रैखिक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है_t = ए1_{{t > T}} रुकने के समय T और F के लिए_T -मापने योग्य यादृच्छिक चर ए। ऐसी किसी भी सरल पूर्वानुमानित प्रक्रिया एच और वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया एक्स के लिए अभिन्न एच · एक्स है

$H\cdot X_{t}\equiv 1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).$

इसे एच में एच · एक्स की रैखिकता द्वारा सभी सरल पूर्वानुमेय प्रक्रियाओं तक विस्तारित किया गया है।

एक वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया

$\left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ is\ simple\ predictable\ and\ }}|H|\leq 1\right\}$

संभाव्यता में बंधा हुआ है. बिचटेलर-डेलाचेरी प्रमेय में कहा गया है कि ये दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं (Protter 2004, p. 144).

उदाहरण

• अनुकूलित और निरंतर भिन्न प्रक्रियाएं निरंतर परिमित भिन्नता प्रक्रियाएं हैं, और इसलिए सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
• वीनर प्रक्रिया एक सेमीमार्टिंगेल है।
• सभी कैडलैग मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत), सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
• आईटीओ कैलकुलस#आईटीओ प्रक्रियाएं|आईटीओ प्रक्रियाएं, जो फॉर्म डीएक्स = σdW + μdt के स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करती हैं, सेमीमार्टिंगेल्स हैं। यहां, W एक ब्राउनियन गति है और σ, μ अनुकूलित प्रक्रियाएं हैं।
• प्रत्येक लेवी प्रक्रिया एक सेमीमार्टिंगेल है।

हालाँकि साहित्य में अध्ययन की गई अधिकांश निरंतर और अनुकूलित प्रक्रियाएँ सेमीमार्टिंगेल्स हैं, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है।

• हर्स्ट पैरामीटर एच ≠ 1/2 के साथ आंशिक ब्राउनियन गति सेमीमार्टिंगेल नहीं है।

गुण

• सेमीमार्टिंगेल्स प्रक्रियाओं का सबसे बड़ा वर्ग बनाते हैं जिसके लिए इटो कैलकुलस|इटो इंटीग्रल को परिभाषित किया जा सकता है।
• सेमीमार्टिंगेल्स के रैखिक संयोजन सेमीमार्टिंगेल्स हैं।
• सेमीमार्टिंगेल्स के उत्पाद सेमीमार्टिंगेल्स हैं, जो स्टोकेस्टिक कैलकुलस|इटो इंटीग्रल के लिए भागों के फार्मूले द्वारा एकीकरण का परिणाम है।
• प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल के लिए द्विघात भिन्नता मौजूद है।
• सेमीमार्टिंगेल्स का वर्ग रुकी हुई प्रक्रिया, स्टॉपिंग टाइम#स्थानीयकरण, समय परिवर्तन और बिल्कुल निरंतर बिल्कुल निरंतर#पूर्ण निरंतरता उपायों के तहत बंद है।
• यदि X एक 'R' है^एम मूल्यवान सेमीमार्टिंगेल और एफ 'आर' से दो बार लगातार भिन्न होने वाला फ़ंक्शन है^म से 'R'ⁿ, तो f(X) एक सेमीमार्टिंगेल है। यह इटो की लेम्मा का परिणाम है।
• सेमीमार्टिंगेल होने का गुण निस्पंदन को सिकोड़कर संरक्षित किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, यदि निस्पंदन एफ के संबंध में एक्स एक सेमीमार्टिंगेल है_t, और सबफ़िल्टरेशन जी के संबंध में अनुकूलित किया गया है_t, तो X एक G है_t-सेमीमार्टिंगेल.
• (जैकोड का गणनीय विस्तार) सेमीमार्टिंगेल होने की संपत्ति को असंयुक्त सेटों के गणनीय सेट द्वारा निस्पंदन को बढ़ाने के तहत संरक्षित किया जाता है। मान लीजिए कि एफ_t एक निस्पंदन है, और जी_t एफ द्वारा उत्पन्न निस्पंदन है_t और असंयुक्त मापन योग्य सेटों का एक गणनीय सेट। फिर, हर एफ_t-सेमीमार्टिंगेल भी एक जी है_t-सेमीमार्टिंगेल्स। (Protter 2004, p. 53)

सेमीमार्टिंगेल डिकम्पोजिशन

परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल एक स्थानीय मार्टिंगेल और एक सीमित भिन्नता प्रक्रिया का योग है। हालाँकि, यह अपघटन अद्वितीय नहीं है।

निरंतर सेमीमार्टिंगेल्स

एक सतत सेमीमार्टिंगेल विशिष्ट रूप से एक्स = एम + ए के रूप में विघटित होता है जहां एम एक सतत स्थानीय मार्टिंगेल है और ए शून्य से शुरू होने वाली एक सतत परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। (Rogers & Williams 1987, p. 358)

उदाहरण के लिए, यदि X एक Itō प्रक्रिया है जो स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण dX को संतुष्ट करती है_t = पी_t डीडब्लू_t + बी_t डीटी, फिर

$M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.$

विशेष अर्ध-मार्टिंगेल्स

एक विशेष सेमीमार्टिंगेल एक वास्तविक मूल्यवान प्रक्रिया है$X$विघटन के साथ $X=M^{X}+B^{X}$, कहाँ $M^{X}$ एक स्थानीय मार्टिंगेल है और $B^{X}$ शून्य से शुरू होने वाली एक पूर्वानुमेय परिमित भिन्नता प्रक्रिया है। यदि यह अपघटन मौजूद है, तो यह पी-नल सेट तक अद्वितीय है।

प्रत्येक विशेष सेमीमार्टिंगेल एक सेमीमार्टिंगेल है। इसके विपरीत, एक सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल यदि प्रक्रिया एक्स हो_t^* ≡ सूप_s ≤ t|एक्स_s| समय को रोकना#स्थानीयकरण है (Protter 2004, p. 130).

उदाहरण के लिए, प्रत्येक सतत सेमीमार्टिंगेल एक विशेष सेमीमार्टिंगेल है, इस स्थिति में एम और ए दोनों निरंतर प्रक्रियाएं हैं।

गुणात्मक अपघटन

याद करें कि ${\mathcal {E}}(X)$ सेमीमार्टिंगेल के डोलेन्स-डेड घातांक को दर्शाता है $X$. अगर $X$ ऐसा एक विशेष रूप से सेमीमार्टिंगेल्स है $\Delta B^{X}\neq -1$, तब ${\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0$ और ${\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)$ एक स्थानीय मार्टिंगेल है। प्रक्रिया ${\mathcal {E}}(B^{X})$ का गुणक प्रतिपूरक कहलाता है ${\mathcal {E}}(X)$ और पहचान ${\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})$ का गुणात्मक अपघटन ${\mathcal {E}}(X)$.

विशुद्ध रूप से असंतत सेमीमार्टिंगेल्स / द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल्स

एक सेमीमार्टिंगेल को पूरी तरह से असंतत कहा जाता है (सेमीमार्टिंगेल#CITEREFKallberg2002) यदि इसका द्विघात भिन्नता [X] एक सीमित भिन्नता शुद्ध-कूद प्रक्रिया है, यानी,

$[X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}$.

इस परिभाषा के अनुसार, समय पूरी तरह से असंतत सेमीमार्टिंगेल है, भले ही यह बिल्कुल भी छलांग नहीं दिखाता है। वैकल्पिक (और पसंदीदा) शब्दावली द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल (Protter 2004, p. 71) इस तथ्य को संदर्भित करता है कि पूरी तरह से असंतत सेमीमार्टिंगेल की द्विघात भिन्नता एक शुद्ध छलांग प्रक्रिया है। प्रत्येक परिमित भिन्नता सेमीमार्टिंगेल एक द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल है। एक अनुकूलित निरंतर प्रक्रिया एक द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल है यदि और केवल यदि यह सीमित भिन्नता का है।

प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल एक्स के लिए एक अद्वितीय निरंतर स्थानीय मार्टिंगेल होता है $X^{c}$ शून्य से शुरू करना जैसे कि $X-X^{c}$ एक द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल है (He, Wang & Yan 1992, p. 209; Kallenberg 2002, p. 527). स्थानीय मार्टिंगेल $X^{c}$ X का सतत मार्टिंगेल भाग कहलाता है।

उसका अवलोकन करो $X^{c}$ माप-विशिष्ट है. अगर$P$और$Q$तो ये दो समतुल्य उपाय हैं $X^{c}(P)$ आम तौर पर अलग है $X^{c}(Q)$, जबकि दोनों $X-X^{c}(P)$ और $X-X^{c}(Q)$ द्विघात शुद्ध-कूद सेमीमार्टिंगेल्स हैं। गिरसानोव प्रमेय द्वारा|गिरसानोव प्रमेय $X^{c}(P)-X^{c}(Q)$ एक सतत परिमित परिवर्तन प्रक्रिया है, जो उपज देती है $[X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}$.

सेमीमार्टिंगेल के निरंतर-समय और असतत-समय घटक

प्रत्येक सेमीमार्टिंगेल $X$ एक अद्वितीय अपघटन है

$$X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },$$

कहाँ $X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0$, सतत-समय घटक $X^{\mathrm {qc} }$ पूर्वानुमानित समय और असतत-समय घटक पर छलांग नहीं लगाता है $X^{\mathrm {dp} }$ सेमीमार्टिंगेल टोपोलॉजी में पूर्वानुमानित समय पर इसकी छलांग के योग के बराबर है। एक तो है $[X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0$. सतत-समय घटक के विशिष्ट उदाहरण इटो कैलकुलस|इटो प्रक्रिया और लेवी प्रक्रिया हैं। असतत-समय घटक को अक्सर मार्कोव श्रृंखला के रूप में लिया जाता है, लेकिन सामान्य तौर पर अनुमानित छलांग समय अच्छी तरह से क्रम में नहीं हो सकता है, अर्थात, सिद्धांत रूप में $X^{\mathrm {dp} }$ हर तर्कसंगत समय पर छलांग लगा सकता है। उस पर भी गौर करें $X^{\mathrm {dp} }$ जरूरी नहीं कि यह सीमित भिन्नता वाला हो, भले ही यह इसकी छलांगों के योग के बराबर हो (एमरी टोपोलॉजी में)। उदाहरण के लिए, समय अंतराल पर $[0,\infty )$ लेना $X^{\mathrm {dp} }$ समय-समय पर उछाल के साथ, स्वतंत्र वेतन वृद्धि करना $\{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }$ मान लेना $\pm 1/n$ समान संभावना के साथ.

सेमीमार्टिंगेल्स ऑन अ मैनिफोल्ड

सेमीमार्टिंगेल्स की अवधारणा, और स्टोकेस्टिक कैलकुलस का संबंधित सिद्धांत, विभिन्न प्रकार के मूल्यों को लेने वाली प्रक्रियाओं तक फैला हुआ है। मैनिफोल्ड एम पर एक प्रक्रिया एक्स एक सेमीमार्टिंगेल है यदि एफ (एक्स) एम से 'आर' तक प्रत्येक सुचारू फ़ंक्शन एफ के लिए एक सेमीमार्टिंगेल है। (Rogers 1987, p. 24) सामान्य मैनिफोल्ड्स पर सेमीमार्टिंगेल्स के लिए स्टोकेस्टिक कैलकुलस के लिए स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के उपयोग की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• सिग्मा-मार्टिंगेल

संदर्भ

• He, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Semimartingale Theory and Stochastic Calculus, Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
• Kallenberg, Olav (2002), Foundations of Modern Probability (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
• Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Rogers, L.C.G.; Williams, David (1987), Diffusions, Markov Processes, and Martingales, vol. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B.V. (2018), Introduction to Stochastic Calculus, Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4