दृढ़ता बारकोड

टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण में, एक दृढ़ता बारकोड, जिसे कभी-कभी बारकोड में छोटा किया जाता है, एक दृढ़ता मॉड्यूल का बीजगणितीय अपरिवर्तनीय है जो टोपोलॉजिकल स्पेस के बढ़ते परिवार में होमोलॉजी (गणित) की स्थिरता को दर्शाता है। औपचारिक रूप से, एक दृढ़ता बारकोड में विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में अंतराल (गणित) का एक मल्टीसेट होता है, जहां प्रत्येक अंतराल की लंबाई एक निस्पंदन (गणित) में एक टोपोलॉजिकल सुविधा के जीवनकाल से मेल खाती है, जो आमतौर पर एक बिंदु क्लाउड पर बनाई जाती है, ए ग्राफ़ (अलग गणित), एक अदिश क्षेत्र, या, अधिक सामान्यतः, एक सरल परिसर या एक श्रृंखला परिसर। आम तौर पर, बारकोड में लंबे अंतराल अधिक मजबूत सुविधाओं के अनुरूप होते हैं, जबकि छोटे अंतराल में डेटा में शोर होने की अधिक संभावना होती है। एक दृढ़ता बारकोड एक पूर्ण अपरिवर्तनीय है जो एक निस्पंदन में सभी टोपोलॉजिकल जानकारी को कैप्चर करता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, दृढ़ता बारकोड को पहली बार 1994 में सेर्गेई बारानिकोव द्वारा विहित रूपों के अपरिवर्तनीय के रूप में पेश किया गया था।दो समानांतर रेखाओं पर समाप्त होने वाले रेखा खंडों के एक बहुसमूह से मिलकर, और बाद में, गुन्नार कार्लसन और अन्य द्वारा ज्यामिति प्रसंस्करण में। 2004 में।

परिभाषा

होने देना $\mathbb {F}$ एक निश्चित क्षेत्र (गणित) हो। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ पर अनुक्रमित किया गया $\mathbb {R}$ का एक परिवार शामिल है $\mathbb {F}$-वेक्टर रिक्त स्थान $\{M_{t}\}_{t\in \mathbb {R} }$ और रेखीय मानचित्र $\varphi _{s,t}:M_{s}\to M_{t}$ प्रत्येक के लिए $s\leq t$ ऐसा है कि $\varphi _{s,t}\circ \varphi _{r,s}=\varphi _{r,t}$ सभी के लिए $r\leq s\leq t$. यह निर्माण विशिष्ट नहीं है $\mathbb {R}$; वास्तव में, यह किसी भी पूर्णतः ऑर्डर किए गए सेट के साथ समान रूप से काम करता है।

चार नेस्टेड सरल कॉम्प्लेक्स की एक श्रृंखला और परिणामी निस्पंदन का 0-आयामी दृढ़ता बारकोड।

एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है यदि इसमें अद्वितीय परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों की एक सीमित संख्या होती है। बाद वाली स्थिति को कभी-कभी बिंदुवार परिमित-आयामी कहा जाता है।

होने देना $I$ में एक अंतराल हो $\mathbb {R}$. एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित करें $Q(I)$ के जरिए $Q(I_{s})={\begin{cases}0,&{\text{if }}s\notin I;\\\mathbb {F} ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$, जहां रैखिक मानचित्र अंतराल के अंदर पहचान मानचित्र हैं। मॉड्यूल $Q(I)$ इसे कभी-कभी अंतराल मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है। फिर किसी के लिए $\mathbb {R}$-अनुक्रमित दृढ़ता मॉड्यूल $M$ परिमित प्रकार का, एक मल्टीसेट मौजूद है ${\mathcal {B}}_{M}$ ऐसे अंतरालों का $M\cong \bigoplus _{I\in {\mathcal {B}}_{M}}Q(I)$, जहां दृढ़ता मॉड्यूल के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग सूचकांक-वार किया जाता है। मल्टीसेट ${\mathcal {B}}_{M}$ का बारकोड कहलाता है $M$, और यह अंतरालों के पुनर्क्रमण तक अद्वितीय है।

इस परिणाम को 2020 में विलियम क्रॉली-बोवे और मैग्नस बोटनान द्वारा एक मनमाने ढंग से पूर्ण-आदेशित सेट पर अनुक्रमित बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल के मामले में विस्तारित किया गया था। एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय से ज्ञात परिणामों का निर्माण, साथ ही पूर्णांक के मामले के लिए कैरी वेब का काम।