जियोडेसिक समीकरणों को हल करना

जियोडेसिक समीकरणों को हल करना गणित में उपयोग की जाने वाली एक प्रक्रिया है, विशेष रूप से रीमैनियन ज्यामिति, और भौतिकी में, विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता में, जिसके परिणामस्वरूप जियोडेसिक प्राप्त होता है। भौतिक रूप से, ये बिना किसी उचित त्वरण के (आमतौर पर आदर्श) कणों के पथ का प्रतिनिधित्व करते हैं, उनकी गति जियोडेसिक समीकरणों को संतुष्ट करती है। क्योंकि कण उचित त्वरण के अधीन नहीं होते हैं, जियोडेसिक्स आम तौर पर घुमावदार अंतरिक्ष समय में दो बिंदुओं के बीच सबसे सीधे पथ का प्रतिनिधित्व करते हैं।

डिफरेंशियल जियोडेसिक समीकरण

Main article: Geodesic

एन-डायमेंशनल रीमैनियन मैनिफोल्ड पर $M$, निर्देशांक के साथ एक समन्वय चार्ट में लिखा गया जियोडेसिक समीकरण $x^{a}$ है:

${\frac {d^{2}x^{a}}{ds^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{ds}}{\frac {dx^{c}}{ds}}=0$

जहां निर्देशांक x^a(s) को वक्र γ(s) के निर्देशांक के रूप में माना जाता है $M$ और $\Gamma _{bc}^{a}$ क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं. क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक रीमैनियन मैनिफोल्ड#रीमैनियन मेट्रिक्स के कार्य हैं और इनके द्वारा दिए गए हैं:

$\Gamma _{bc}^{a}={\frac {1}{2}}g^{ad}\left(g_{cd,b}+g_{bd,c}-g_{bc,d}\right)$

जहां अल्पविराम निर्देशांक के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न इंगित करता है:

$g_{ab,c}={\frac {\partial {g_{ab}}}{\partial {x^{c}}}}$

जैसे अनेक गुना का आयाम होता है $n$, जियोडेसिक समीकरण एक प्रणाली है $n$ के लिए सामान्य अंतर समीकरण $n$ समन्वय चर. इस प्रकार, प्रारंभिक स्थितियों के साथ, पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय के अनुसार, सिस्टम को हल किया जा सकता है। समस्या के लिए कोई लैग्रेंजियन दृष्टिकोण का भी उपयोग कर सकता है: परिभाषित करना

$L={\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}}}$

और यूलर-लैग्रेंज समीकरण को लागू करना।

ह्यूरिस्टिक्स

चूंकि भौतिक नियम किसी भी समन्वय प्रणाली में लिखा जा सकता है, इसलिए ऐसे किसी सिस्टम को चुनना सुविधाजनक होता है जो जियोडेसिक समीकरणों को सरल बनाता हो। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि एक समन्वय चार्ट चुना जाता है जिसमें जियोडेसिक समीकरणों का एक विशेष रूप से ट्रैक्टेबल रूप होता है।

प्रभावी क्षमता

जब जियोडेसिक समीकरणों को केवल एक अविभाज्य चर वाले शब्दों और केवल इसके व्युत्पन्न वाले शब्दों में विभाजित किया जा सकता है, तो पूर्व को केवल स्थिति पर निर्भर एक प्रभावी क्षमता में समेकित किया जा सकता है। इस मामले में, ऊर्जा आरेखों का विश्लेषण करने के कई अनुमानी तरीके लागू होते हैं, विशेष रूप से मोड़ बिंदुओं का स्थान।

समाधान तकनीक

जियोडेसिक समीकरणों को हल करने का अर्थ है जियोडेसिक समीकरणों का सटीक समाधान प्राप्त करना, संभवतः सामान्य अंतर समीकरण#परिभाषाएँ भी। अधिकांश हमले गुप्त रूप से जियोडेसिक समीकरणों की प्रणाली के बिंदु समरूपता समूह को नियोजित करते हैं। यह अक्सर समाधानों के एक परिवार को अंतर्निहित रूप से प्रदान करने वाला परिणाम देता है, लेकिन कई उदाहरणों में स्पष्ट रूप में सामान्य समाधान प्राप्त होता है।

सामान्य सापेक्षता में, टाइमलाइक जियोडेसिक्स प्राप्त करने के लिए स्पेसटाइम मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) से विभाजित करने के बाद शुरू करना अक्सर सबसे सरल होता है। $ds^{2}$ फॉर्म प्राप्त करने के लिए

$-1=g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }$

जहां बिंदु के संबंध में विभेदन का प्रतिनिधित्व करता है $s$. क्योंकि टाइमलाइक जियोडेसिक्स अधिकतम तत्व हैं, कोई सीधे यूलर-लैग्रेंज समीकरण को लागू कर सकता है, और इस प्रकार जियोडेसिक समीकरणों के बराबर समीकरणों का एक सेट प्राप्त कर सकता है। इस पद्धति का फायदा क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों की कठिन गणना को दरकिनार करने में है।

यह भी देखें

• श्वार्ज़स्चिल्ड वैक्यूम की जियोडेसिक्स
• सामान्य सापेक्षता का गणित
• विशेष सापेक्षता से सामान्य सापेक्षता की ओर संक्रमण

संदर्भ

• Einstein, A. (1961). Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1975). Classical Theory of Fields (Fourth Revised English ed.). Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.