सेकेंट मेथड (छेदिका विधि)

सेकेंट विधि के पहले दो पुनरावृत्तियाँ। लाल वक्र फ़ंक्शन f दिखाता है, और नीली रेखाएं छेदक हैं। इस विशेष मामले के लिए, सेकेंट विधि दृश्य मूल में परिवर्तित नहीं होगी।

संख्यात्मक विश्लेषण में, सेकेंट विधि एक जड़-खोज एल्गोरिदम है जो एक फ़ंक्शन (गणित) एफ की जड़ का बेहतर अनुमान लगाने के लिए छेदक रेखा ों के एक फ़ंक्शन के रूट के उत्तराधिकार का उपयोग करता है। सेकेंट विधि को न्यूटन की विधि का एक सीमित-अंतर सन्निकटन माना जा सकता है। हालाँकि, सेकेंट विधि न्यूटन की विधि से 3000 वर्ष से भी अधिक पुरानी है।

विधि

किसी फ़ंक्शन का शून्य ज्ञात करने के लिए f, सेकेंट विधि को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है।

$x_{n}=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}={\frac {x_{n-2}f(x_{n-1})-x_{n-1}f(x_{n-2})}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}.$

जैसा कि इस सूत्र से देखा जा सकता है, दो प्रारंभिक मान x₀ और x₁ ज़रूरत है। आदर्श रूप से, उन्हें वांछित शून्य के करीब चुना जाना चाहिए।

विधि की व्युत्पत्ति

आरंभिक मानों से प्रारंभ करना x₀ और x₁, हम बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा बनाते हैं (x₀, f(x₀)) और (x₁, f(x₁)), जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है। ढलान-अवरोधन रूप में, इस रेखा का समीकरण है

$y={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})+f(x_{0}).$

इस रैखिक फलन का मूल, अर्थात् का मान है x ऐसा है कि y = 0 है

$x=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}}.$

फिर हम इस नए मान का उपयोग करते हैं x जैसा x₂ और प्रयोग करते हुए प्रक्रिया को दोहराएँ x₁ और x₂ के बजाय x₀ और x₁. हम समाधान करते हुए इस प्रक्रिया को जारी रखते हैं x₃, x₄, आदि, जब तक कि हम परिशुद्धता के पर्याप्त उच्च स्तर (के बीच पर्याप्त छोटा अंतर) तक नहीं पहुंच जाते x_n और x_n−1):

${\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}-f(x_{1}){\frac {x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}},\\[6pt]x_{3}&=x_{2}-f(x_{2}){\frac {x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}},\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]x_{n}&=x_{n-1}-f(x_{n-1}){\frac {x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}}.\end{aligned}}$

अभिसरण

पुनरावृत्त करता है $x_{n}$ सेकेंट विधि का मूल में अभिसरण होता है $f$ यदि प्रारंभिक मान $x_{0}$ और $x_{1}$ जड़ के पर्याप्त निकट हैं। अभिसरण का क्रम है $\varphi$, कहाँ

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$

स्वर्णिम अनुपात है. विशेष रूप से, अभिसरण सुपर रैखिक है, लेकिन पूरी तरह से द्विघात अभिसरण नहीं है।

यह परिणाम केवल कुछ तकनीकी स्थितियों के तहत ही मान्य है, अर्थात् $f$ दो बार निरंतर अवकलनीय हो और प्रश्न में मूल सरल हो (अर्थात् बहुलता 1 के साथ)।

यदि प्रारंभिक मान मूल के पर्याप्त करीब नहीं हैं, तो इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि सेकेंट विधि अभिसरण करती है। काफी करीब की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन मानदंड का संबंध इस बात से है कि अंतराल पर कार्य कितना गतिशील है $[x_{0},x_{1}]$. उदाहरण के लिए, यदि $f$ उस अंतराल पर अवकलनीय है और वहाँ एक बिंदु है $f'=0$ अंतराल पर, तो एल्गोरिथ्म अभिसरण नहीं हो सकता है।

अन्य रूट-खोज विधियों के साथ तुलना

सेकेंट विधि के लिए आवश्यक नहीं है कि जड़ कोष्ठक में रखा जाए, जैसा कि द्विभाजन विधि में होता है, और इसलिए यह हमेशा अभिसरण नहीं होता है। झूठी स्थिति विधि (या regula falsi) सेकेंट विधि के समान सूत्र का उपयोग करता है। हालाँकि, यह फॉर्मूला लागू नहीं होता है $x_{n-1}$ और $x_{n-2}$, सेकेंट विधि की तरह, लेकिन चालू $x_{n-1}$ और अंतिम पुनरावृति पर $x_{k}$ ऐसा है कि $f(x_{k})$ और $f(x_{n-1})$ एक अलग संकेत है. इसका मतलब यह है कि झूठी स्थिति विधि हमेशा अभिसरण करती है; हालाँकि, केवल अभिसरण के एक रैखिक क्रम के साथ। सेकेंट विधि के रूप में अभिसरण के सुपर-रेखीय क्रम के साथ ब्रैकेटिंग को झूठी स्थिति विधि में सुधार के साथ प्राप्त किया जा सकता है (देखें रेगुला फाल्सी # सुधार% 20in% 20रेगुला% 20 फाल्सी | रेगुला फाल्सी § रेगुला फाल्सी में सुधार) जैसे कि आईटीपी विधि या इलिनोइस विधि.

छेदक विधि का पुनरावृत्ति सूत्र न्यूटन की विधि के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है

$x_{n}=x_{n-1}-{\frac {f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}}$

छोटे के लिए, परिमित-अंतर सन्निकटन का उपयोग करके $\epsilon$:

$f'(x_{n-1})\approx {\frac {f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}{x_{n-1}-x_{n-2}}}\approx {\frac {f(x_{n-1}+{\frac {\epsilon }{2}})-f(x_{n-1}-{\frac {\epsilon }{2}})}{\epsilon }}$ सेकेंट विधि की व्याख्या एक ऐसी विधि के रूप में की जा सकती है जिसमें व्युत्पन्न को एक सन्निकटन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और इस प्रकार यह एक अर्ध-न्यूटन विधि है।

यदि हम न्यूटन की विधि की तुलना सेकेंट विधि से करते हैं, तो हम देखते हैं कि न्यूटन की विधि तेजी से अभिसरण करती है (φ≈1.6 के विरुद्ध क्रम 2)। हालाँकि, न्यूटन की पद्धति के लिए दोनों के मूल्यांकन की आवश्यकता है $f$ और इसका व्युत्पन्न $f'$ प्रत्येक चरण पर, जबकि सेकेंट विधि के लिए केवल मूल्यांकन की आवश्यकता होती है $f$. इसलिए, सेकेंट विधि कभी-कभी व्यवहार में तेज़ हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि हम मान लें कि मूल्यांकन कर रहे हैं $f$ इसके व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने में जितना समय लगता है और हम अन्य सभी लागतों की उपेक्षा करते हैं, हम सेकेंट विधि के दो चरण कर सकते हैं (त्रुटि के लघुगणक को एक कारक φ से घटाकर)² ≈ 2.6) न्यूटन की विधि के एक चरण के समान लागत के लिए (त्रुटि के लघुगणक को कारक 2 से कम करना), इसलिए सेकेंट विधि तेज़ है। यदि, हालांकि, हम व्युत्पन्न के मूल्यांकन के लिए समानांतर प्रसंस्करण पर विचार करते हैं, तो न्यूटन की विधि समय में तेज़ होने के बावजूद इसके लायक साबित होती है, हालांकि अभी भी अधिक कदम खर्च करती है।

सामान्यीकरण

ब्रोयडेन की विधि एक से अधिक आयामों के लिए सेकेंट विधि का सामान्यीकरण है।

निम्नलिखित ग्राफ़ फ़ंक्शन f को लाल रंग में और अंतिम सेकंड लाइन को बोल्ड नीले रंग में दिखाता है। ग्राफ़ में, छेदक रेखा का x अंतःखंड, f के मूल का एक अच्छा सन्निकटन प्रतीत होता है।

कम्प्यूटेशनल उदाहरण

नीचे, सेकेंट विधि को पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) प्रोग्रामिंग भाषा में लागू किया गया है।

फिर इसे फ़ंक्शन का रूट ढूंढने के लिए लागू किया जाता है f(x) = x² − 612 प्रारंभिक बिंदुओं के साथ $x_{0}=10$ और $x_{1}=30$ <सिंटैक्सहाइलाइट लैंग = पायथन3 > def secant_method(f, x0, X1, पुनरावृत्तियों):

      सेकेंट विधि का उपयोग करके परिकलित मूल लौटाएँ।
   रेंज (पुनरावृत्तियों) में i के लिए:
       x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / फ्लोट(f(x1) - f(x0))
       x0, x1 = x1, x2
       # यहां एक रोक मानदंड लागू करें (नीचे देखें)
   वापसी x2

def f_example(x):

   वापसी x ** 2 - 612

जड़ = secant_method(f_example, 10, 30, 5)

प्रिंट (एफ रूट: {रूट} ) # रूट: 24.738633748750722

</सिंटैक्सहाइलाइट>

उपरोक्त एक अच्छा रोक मानदंड होना बहुत महत्वपूर्ण है, अन्यथा, फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याओं की सीमित संख्यात्मक सटीकता के कारण, एल्गोरिदम बहुत अधिक पुनरावृत्तियों के लिए चलने पर गलत परिणाम दे सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त लूप तब रुक सकता है जब इनमें से कोई एक पहले पहुंच जाए: abs(x0 - x1) < tol, या abs(x0/x1-1) < tol, या abs(f(x1)) < tol.

यह भी देखें

• मिथ्या स्थिति विधि

संदर्भ

• Avriel, Mordecai (1976). Nonlinear Programming: Analysis and Methods. Prentice Hall. pp. 220–221. ISBN 0-13-623603-0.
• Allen, Myron B.; Isaacson, Eli L. (1998). Numerical analysis for applied science. John Wiley & Sons. pp. 188–195. ISBN 978-0-471-55266-6.

बाहरी संबंध

• Secant Method Notes, PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab at Holistic Numerical Methods Institute
• Weisstein, Eric W. "Secant Method". MathWorld.