बायोर्थोगोनल बहुपद

गणित में, बायोर्थोगोनल बहुपद एक बहुपद है जो कई अलग-अलग मापों के लिए ऑर्थोगोनल है। बायोर्थोगोनल बहुपद ऑर्थोगोनल बहुपद का एक सामान्यीकरण है और उनके कई गुणों को साझा करते हैं। साहित्य में बायोर्थोगोनल बहुपद की दो अलग-अलग अवधारणाएँ हैं: इसरल्स & नॉरसेट (1988) ने उपायों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल की अवधारणा पेश की, जबकि सेजेगो ने बहुपदों के दो अनुक्रमों की अवधारणा पेश की जो एक दूसरे के संबंध में बायोर्थोगोनल हैं।

मापों के अनुक्रम के संबंध में बहुपद बायोर्थोगोनल

माप μ के अनुक्रम के संबंध में एक बहुपद p को 'बायोर्थोगोनल' कहा जाता है μ₁, μ₂, ... अगर

$\int p(x)\,d\mu _{i}(x)=0$ जब भी मैं ≤ डिग्री (p)।

अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े

दो क्रम ψ₀, ψ₁, ... और φ₀, φ₁, ... बहुपदों को बायोर्थोगोनल कहा जाता है (कुछ माप μ के लिए) यदि

$\int \phi _{m}(x)\psi _{n}(x)\,d\mu (x)=0$

जब भी m ≠ n.

अनुक्रमों के बायोर्थोगोनल जोड़े की परिभाषा कुछ अर्थों में उपायों के अनुक्रम के संबंध में बायोर्थोगोनैलिटी की परिभाषा का एक विशेष स्थिति है। अधिक सटीक रूप से दो अनुक्रम ψ₀, ψ₁, ... और φ₀, φ₁, ...बहुपदों के माप μ के लिए बायोर्थोगोनल हैं यदि और केवल यदि अनुक्रम ψ₀, ψ₁, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है φ₀μ, ψ₁μ, ..., और अनुक्रम φ₀, φ₁, ... उपायों के अनुक्रम के लिए बायोर्थोगोनल है ψ₀μ, ψ₁μ...

संदर्भ

• Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert Paul (1988), "On the theory of biorthogonal polynomials", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (2): 455–474, doi:10.2307/2000806, ISSN 0002-9947, JSTOR 2000806, MR 0933301