नेट (गणित)

This article is about nets in topological spaces. For unfoldings of polyhedra, see Net (polyhedron).

गणित में, विशेष रूप से सामान्य टोपोलॉजी और संबंधित शाखाओं में, नेट या मूर-स्मिथ अनुक्रम अनुक्रम की धारणा का सामान्यीकरण है। संक्षेप में, एक अनुक्रम एक फ़ंक्शन (गणित) है जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्या है। इस फ़ंक्शन का कोडोमेन आमतौर पर कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस होता है।

अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाने के लिए प्रेरणा यह है कि, टोपोलॉजी के संदर्भ में, अनुक्रम टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच कार्यों के बारे में सभी सूचनाओं को पूरी तरह से एन्कोड नहीं करते हैं। विशेष रूप से, निम्नलिखित दो स्थितियाँ, सामान्य रूप से, मानचित्र के समतुल्य नहीं हैं $f$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच $X$ और $Y$:

1. वो नक्शा $f$ सतत कार्य है # टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य;
2. किसी भी बिंदु को दिया $x$ में $X,$ और किसी भी क्रम में $X$ में अभिसरण $x,$ की रचना $f$ इस क्रम के साथ अभिसरण करता है $f(x)$ निरंतर कार्य # अनुक्रमों की सीमाओं के संदर्भ में परिभाषा | (अनुक्रमिक अर्थ में निरंतर)।

जबकि शर्त 1 हमेशा शर्त 2 की गारंटी देता है, यदि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान दोनों प्रथम-गणनीय स्थान नहीं हैं तो बातचीत आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। प्रथम-गणनीय। विशेष रूप से, दो शर्तें मीट्रिक स्थान के लिए समान हैं। वे स्थान जिनके लिए विलोम धारण करता है, अनुक्रमिक स्थान हैं।

नेट की अवधारणा, पहली बार 1922 में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ द्वारा पेश की गई थी, एक अनुक्रम की धारणा को सामान्य बनाना है ताकि उपरोक्त स्थितियाँ (स्थिति 2 में नेट द्वारा प्रतिस्थापित किए जा रहे अनुक्रम के साथ) वास्तव में टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के सभी मानचित्रों के बराबर हों। विशेष रूप से, एक गणनीय सेट कुल ऑर्डर सेट पर परिभाषित होने के बजाय, एक नेट को मनमाने ढंग से निर्देशित सेट पर परिभाषित किया जाता है। यह इस दावे के समान प्रमेय की अनुमति देता है कि ऊपर की शर्तें 1 और 2 टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के संदर्भ में धारण करने के बराबर हैं, जिनके पास एक बिंदु के आसपास एक गणनीय या रैखिक रूप से आदेशित पड़ोस आधार नहीं है। इसलिए, जबकि अनुक्रम टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच फ़ंक्शंस के बारे में पर्याप्त जानकारी को एनकोड नहीं करते हैं, नेट करते हैं, क्योंकि टोपोलॉजिकल स्पेस में ओपन सेट का संग्रह व्यवहार में निर्देशित सेट की तरह होता है। नेट शब्द जॉन एल. केली द्वारा गढ़ा गया था। नेट टोपोलॉजी में उपयोग किए जाने वाले कई उपकरणों में से एक हैं, जो कुछ अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो मीट्रिक रिक्त स्थान के संदर्भ में पर्याप्त सामान्य नहीं हो सकते हैं। एक संबंधित धारणा, फ़िल्टर (गणित) की, 1937 में हेनरी कर्तन द्वारा विकसित की गई थी।

परिभाषाएँ

कोई भी फलन (गणित) जिसका फलन का क्षेत्र एक निर्देशित समुच्चय है, कहलाता हैnet. यदि यह फ़ंक्शन किसी सेट में मान लेता है $X$ तो इसे एक के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता हैnet in $X.$ स्पष्ट रूप से, एnet in $X$ प्रपत्र का एक कार्य है $f:A\to X$ कहाँ $A$ कुछ निर्देशित सेट है। नेट के डोमेन के तत्वों को इसके कहा जाता है indices. ए directed set एक गैर-खाली सेट है $A$ एक पूर्व आदेश के साथ, आमतौर पर स्वचालित रूप से इसके द्वारा चिह्नित माना जाता है $\,\leq \,$ (जब तक कि अन्यथा इंगित न किया गया हो), संपत्ति के साथ कि यह भी है (upward) directed, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए $a,b\in A,$ कुछ मौजूद है $c\in A$ ऐसा है कि $a\leq c$ और $b\leq c.$ शब्दों में, इस गुण का अर्थ है कि दिए गए किन्हीं भी दो तत्वों (of $A$), हमेशा कोई न कोई तत्व होता है जो इन दोनों के ऊपर होता है (अर्थात, इनमें से प्रत्येक से बड़ा या बराबर होता है); इस तरह, निर्देशित सेट गणितीय रूप से कठोर तरीके से दिशा की धारणा को सामान्यीकृत करते हैं। प्राकृतिक संख्याएँ $\mathbb {N}$ सामान्य पूर्णांक तुलना के साथ $\,\leq \,$ पूर्व-आदेश विक्षनरी बनाते हैं: एक निर्देशित सेट का आर्किटेपिकल उदाहरण। दरअसल, एक नेट जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्या है एक अनुक्रम है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम में $X$ से सिर्फ एक समारोह है $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}$ में $X.$ यह इस प्रकार है कि जाल अनुक्रमों का सामान्यीकरण है। महत्वपूर्ण रूप से हालांकि, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, निर्देशित सेट हैं not कुल आदेश या यहां तक ​​कि आंशिक आदेश होना आवश्यक है। इसके अलावा, निर्देशित सेटों में सबसे बड़े तत्व और/या अधिकतम तत्व होने की अनुमति है, यही कारण है कि नेट का उपयोग करते समय, प्रेरित सख्त प्रीऑर्डर का उपयोग करते समय सावधानी बरतने की सलाह दी जाती है। $\,<\,$ मूल (गैर-सख्त) प्रीऑर्डर के बजाय $\,\leq$; विशेष रूप से, यदि एक निर्देशित सेट $(A,\leq )$ सबसे बड़ा तत्व है $a\in A$ तो वहाँ करता है not कोई भी हो $b\in A$ ऐसा है कि $a<b$ (इसके विपरीत, वहाँ always कुछ मौजूद है $b\in A$ ऐसा है कि $a\leq b$).

नेट को अक्सर अंकन का उपयोग करके निरूपित किया जाता है जो अनुक्रमों के साथ उपयोग किए जाने वाले (और प्रेरित) के समान होता है। में एक जाल $X$ द्वारा दर्शाया जा सकता है $\left(x_{a}\right)_{a\in A},$ जब तक अन्यथा सोचने का कोई कारण न हो, यह स्वचालित रूप से मान लिया जाना चाहिए कि सेट $A$ निर्देशित है और इससे संबंधित प्रीऑर्डर द्वारा दर्शाया गया है $\,\leq .$ हालाँकि, नेट के लिए अंकन कुछ लेखकों के साथ भिन्न होता है, उदाहरण के लिए, कोण वाले कोष्ठक $\left\langle x_{a}\right\rangle _{a\in A}$ कोष्ठक के बजाय। में एक जाल $X$ रूप में भी लिखा जा सकता है $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A},$ जो इस तथ्य को व्यक्त करता है कि यह net $x_{\bullet }$ एक कार्य है $x_{\bullet }:A\to X$ जिसका मूल्य एक तत्व पर है $a$ इसके डोमेन में द्वारा दर्शाया गया है $x_{a}$ सामान्य कोष्ठक संकेतन के बजाय $x_{\bullet }(a)$ यह आमतौर पर कार्यों के साथ प्रयोग किया जाता है (यह सबस्क्रिप्ट नोटेशन अनुक्रमों से लिया जा रहा है)। जैसा कि बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, भरा हुआ डिस्क या बुलेट उस स्थान को दर्शाता है जहां नेट के लिए तर्क (अर्थात, तत्व $a\in A$ नेट के डोमेन के) रखे गए हैं; यह जोर देने में मदद करता है कि नेट एक फ़ंक्शन है और उन इंडेक्स और अन्य प्रतीकों की संख्या को भी कम करता है जिन्हें बाद में संदर्भित करते समय लिखा जाना चाहिए।

नेट मुख्य रूप से गणितीय विश्लेषण और टोपोलॉजी के क्षेत्र में उपयोग किए जाते हैं, जहां उनका उपयोग कई महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल संपत्ति को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, जो (सामान्य रूप से), अनुक्रमों को चिह्नित करने में असमर्थ हैं (अनुक्रमों की इस कमी ने अनुक्रमिक रिक्त स्थान और फ्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान के अध्ययन को प्रेरित किया ). नेट फ़िल्टर (गणित) से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं, जो अक्सर टोपोलॉजी में फ़िल्टर भी होते हैं। हर जाल एक फिल्टर से जुड़ा हो सकता है और हर फिल्टर एक जाल से जुड़ा हो सकता है, जहां इन संबद्ध वस्तुओं के गुण एक साथ बंधे होते हैं (अधिक विवरण के लिए टोपोलॉजी में फिल्टर के बारे में लेख देखें)। नेट सीधे अनुक्रमों का सामान्यीकरण करते हैं और उन्हें अक्सर अनुक्रमों के समान ही उपयोग किया जा सकता है। नतीजतन, नेट का उपयोग करने के लिए सीखने की अवस्था आमतौर पर फिल्टर की तुलना में बहुत कम होती है, यही वजह है कि कई गणितज्ञ, विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण, उन्हें फिल्टर से अधिक पसंद करते हैं। हालांकि, फिल्टर, और विशेष रूप से ultrafilter , नेट पर कुछ महत्वपूर्ण तकनीकी फायदे हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंततः विश्लेषण और टोपोलॉजी के क्षेत्र के बाहर फिल्टर की तुलना में नेट का सामना बहुत कम होता है।

एक सबनेट (गणित) केवल एक नेट का प्रतिबंध नहीं है $f$ के एक निर्देशित सबसेट के लिए $A;$ परिभाषा के लिए लिंक्ड पेज देखें।

जाल के उदाहरण

प्रत्येक गैर-खाली कुल आदेश निर्देशित किया जाता है। इसलिए, ऐसे समुच्चय का प्रत्येक फलन एक जाल होता है। विशेष रूप से, सामान्य क्रम वाली प्राकृतिक संख्याएं इस तरह के एक सेट का निर्माण करती हैं, और एक अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं पर एक कार्य है, इसलिए प्रत्येक अनुक्रम एक जाल है।

एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण इस प्रकार है। एक बिंदु दिया $x$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में, चलो $N_{x}$ सभी नेबरहुड (टोपोलॉजी) वाले सेट को निरूपित करें $x.$ तब $N_{x}$ एक निर्देशित सेट है, जहां रिवर्स समावेशन द्वारा दिशा दी जाती है, ताकि $S\geq T$ अगर और केवल अगर $S$ में निहित है $T.$ के लिए $S\in N_{x},$ होने देना $x_{S}$ में एक बिंदु हो $S.$ तब $\left(x_{S}\right)$ एक जाल है। जैसा $S$ के संबंध में बढ़ता है $\,\geq ,$ बिन्दु $x_{S}$ नेट में के घटते पड़ोस में झूठ बोलने के लिए विवश हैं $x,$ इतनी सहजता से बोलते हुए, हम इस विचार के लिए नेतृत्व कर रहे हैं $x_{S}$ की ओर प्रवृत्त होना चाहिए $x$ किसी अर्थ में। हम इस सीमित अवधारणा को सटीक बना सकते हैं।

अनुक्रम का एक सबनेट है not अनिवार्य रूप से एक अनुक्रम। उदाहरण के लिए, चलो $X=\mathbb {R} ^{n}$ और जाने $x_{i}=0$ हरएक के लिए $i\in \mathbb {N} ,$ ताकि $x_{\bullet }=(0)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X$ निरंतर शून्य क्रम है। होने देना $I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}$ सामान्य आदेश द्वारा निर्देशित किया जाए $\,\leq \,$ और जाने $s_{r}=0$ प्रत्येक के लिए $r\in R.$ परिभाषित करना $\varphi :I\to \mathbb {N}$ जैसे भी हो $\varphi (r)=\lceil r\rceil$ का छत समारोह हो $r.$ वो नक्शा $\varphi :I\to \mathbb {N}$ एक ऑर्डर मोर्फिज्म है जिसकी छवि इसके कोडोमेन में कोफाइनल है और $\left(x_{\bullet }\circ \varphi \right)(r)=x_{\varphi (r)}=0=s_{r}$ प्रत्येक के लिए रखता है $r\in R.$ इससे पता चलता है कि $\left(s_{r}\right)_{r\in R}=x_{\bullet }\circ \varphi$ अनुक्रम का एक सबनेट है $x_{\bullet }$ (जहां यह सबनेट का अनुवर्ती नहीं है $x_{\bullet }$ क्योंकि यह एक अनुक्रम भी नहीं है क्योंकि इसका डोमेन एक बेशुमार सेट है)।

जाल की सीमा

एक शुद्ध $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ बताया गया eventually या residually in एक सेट $S$ अगर कुछ मौजूद है $a\in A$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $b\in A$ साथ $b\geq a,$ बिंदु $x_{b}\in S.$ और कहा जाता है frequently या cofinally in $S$ यदि प्रत्येक के लिए $a\in A$ कुछ मौजूद है $b\in A$ ऐसा है कि $b\geq a$ और $x_{b}\in S.$ एक बिंदु कहा जाता है limit point (क्रमश, cluster point) नेट का अगर वह नेट अंततः (क्रमशः, कॉफिनली) उस बिंदु के हर पड़ोस में है।

स्पष्ट रूप से, एक बिंदु $x\in X$ एक कहा जाता है accumulation point या cluster point नेट का अगर हर मोहल्ले के लिए $U$ का $x,$ नेट अक्सर अंदर होता है $U.$

एक बिंदु $x\in X$ ए कहा जाता है limit point या limit नेट का $x_{\bullet }$ में $X$ अगर और केवल अगर)

हर खुले टोपोलॉजिकल पड़ोस के लिए $U$ का $x,$ जाल $x_{\bullet }$ अंत में है $U,$

ऐसे में इस जाल को भी कहा जाता है converge to/towards $x$ और करने के लिए have $x$ as a limit.

सहज रूप से, एक जाल का अभिसरण $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ का अर्थ है कि मान $x_{a}$ आओ और हम जितना चाहें उतना करीब रहें $x$ काफी बड़े के लिए $a.$ एक बिंदु के पड़ोस प्रणाली पर ऊपर दिया गया उदाहरण नेट $x$ वास्तव में अभिसरण करता है $x$ इस परिभाषा के अनुसार।

सीमा के लिए संकेतन

अगर नेट $x_{\bullet }$ में विलीन हो जाता है $X$ एक स्तर तक $x\in X$ तो इस तथ्य को निम्नलिखित में से कोई भी लिखकर व्यक्त किया जा सकता है:

$${\begin{alignedat}{4}&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{}\;&x_{\bullet }&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{a\in A}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\lim _{}{}_{a}\;&x_{a}&&\to \;&&x&&\;\;{\text{ in }}X\\\end{alignedat}}$$

जहां अगर टोपोलॉजिकल स्पेस है $X$ संदर्भ से स्पष्ट है तो में शब्द $X$छोड़ा जा सकता है।

अगर $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ में $X$ और यदि यह सीमा में $X$ अद्वितीय है (अद्वितीयता में $X$ इसका मतलब है कि अगर $y\in X$ इस प्रकार कि $\lim _{}x_{\bullet }\to y,$ फिर अनिवार्य रूप से $x=y$) तो इस तथ्य को लिखकर सूचित किया जा सकता है

$$\lim _{}x_{\bullet }=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{}x_{a}=x\;~~{\text{ or }}~~\;\lim _{a\in A}x_{a}=x$$

जहाँ तीर के स्थान पर बराबर के चिन्ह का प्रयोग किया जाता है $\to .$ हॉसडॉर्फ स्पेस में, प्रत्येक नेट की अधिकतम एक सीमा होती है, इसलिए हॉसडॉर्फ स्पेस में अभिसारी नेट की सीमा हमेशा अद्वितीय होती है। कुछ लेखक इसके बजाय अंकन का उपयोग करते हैं$\lim _{}x_{\bullet }=x$मतलब निकालना $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ साथout यह भी आवश्यक है कि सीमा अद्वितीय हो; हालाँकि, यदि इस संकेतन को इस तरह से परिभाषित किया जाता है तो बराबर का चिह्न $=$ अब एक सकर्मक संबंध को निरूपित करने की गारंटी नहीं है और इसलिए अब समानता (गणित) को निरूपित नहीं करता है। विशेष रूप से, विशिष्टता की आवश्यकता के बिना, यदि $x,y\in X$ भिन्न हैं और यदि प्रत्येक की एक सीमा भी है $x_{\bullet }$ में $X$ तब $\lim _{}x_{\bullet }=x$ और $\lim _{}x_{\bullet }=y$ लिखा जा सकता है (बराबर चिह्न का उपयोग करके $=$) इसके बावजूद $x=y$ झूठा होना।

आधार और उप आधार

एक सब बेस दिया ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी के लिए $X$ (जहां ध्यान दें कि एक टोपोलॉजी के लिए प्रत्येक आधार (टोपोलॉजी) भी एक उप-आधार है) और एक बिंदु दिया गया है $x\in X,$ एक शुद्ध $x_{\bullet }$ में $X$ में विलीन हो जाता है $x$ अगर और केवल अगर यह अंततः हर पड़ोस में है $U\in {\mathcal {B}}$ का $x.$ यह लक्षण वर्णन दिए गए बिंदु के पड़ोस प्रणाली (और इसलिए भी पड़ोस प्रणाली) तक फैला हुआ है $x.$ मीट्रिक रिक्त स्थान में अभिसरण

कल्पना करना $(X,d)$ एक मीट्रिक स्पेस (या एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस) है और $X$ मीट्रिक टोपोलॉजी से संपन्न है। अगर $x\in X$ एक बिंदु है और $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{a\in A}$ एक जाल है, फिर $x_{\bullet }\to x$ में $(X,d)$ अगर और केवल अगर $d\left(x,x_{\bullet }\right)\to 0$ में $\mathbb {R} ,$ कहाँ $d\left(x,x_{\bullet }\right):=\left(d\left(x,x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ वास्तविक संख्याओं का जाल है। सादे अंग्रेजी में, यह लक्षण वर्णन कहता है कि एक नेट एक मीट्रिक स्थान में एक बिंदु पर अभिसरण करता है यदि और केवल अगर नेट और बिंदु के बीच की दूरी शून्य हो जाती है। अगर $(X,\|\cdot \|)$ तब एक आदर्श स्थान (या एक अर्ध-सामान्य स्थान) है $x_{\bullet }\to x$ में $(X,\|\cdot \|)$ अगर और केवल अगर $\left\|x-x_{\bullet }\right\|\to 0$ में $\mathbb {R} ,$ कहाँ $\left\|x-x_{\bullet }\right\|:=\left(\left\|x-x_{a}\right\|\right)_{a\in A}.$ सामयिक उप-स्थानों में अभिसरण

यदि सेट $S=\{x\}\cup \left\{x_{a}:a\in A\right\}$ इसके द्वारा प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी से संपन्न है $X,$ तब $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ में $X$ अगर और केवल अगर $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ में $S.$ ऐसे में सवाल उठता है कि नेट है या नहीं $x_{\bullet }$ दिए गए बिंदु पर अभिसरण करता है $x$ निर्भर करता है solely इस टोपोलॉजिकल सबस्पेस पर $S$ को मिलाकर $x$ और नेट की छवि (गणित) (यानी, के अंक)। $x_{\bullet }.$

कार्तीय उत्पाद में सीमाएं

उत्पाद स्थान में एक जाल की एक सीमा होती है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रक्षेपण की एक सीमा होती है।

स्पष्ट रूप से, चलो $\left(X_{i}\right)_{i\in I}$ टोपोलॉजिकल स्पेस हो, उनके कार्टेशियन उत्पाद का समर्थन करें

$${\textstyle \prod }X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}$$

उत्पाद टोपोलॉजी के साथ, और वह हर सूचकांक के लिए $l\in I,$ विहित प्रक्षेपण को निरूपित करें $X_{l}$ द्वारा

$${\begin{alignedat}{4}\pi _{l}:\;&&{\textstyle \prod }X_{\bullet }&&\;\to \;&X_{l}\\[0.3ex]&&\left(x_{i}\right)_{i\in I}&&\;\mapsto \;&x_{l}\\\end{alignedat}}$$

होने देना $f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}$ में एक जाल हो ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ निर्देशक $A$ और हर सूचकांक के लिए $i\in I,$ होने देना

$$\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}$$

प्लगिंग के परिणाम को निरूपित करें $f_{\bullet }$ में $\pi _{i}$, जिसका परिणाम नेट होता है $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right):A\to X_{i}.$ फ़ंक्शन संरचना के संदर्भ में इस परिभाषा के बारे में सोचना कभी-कभी उपयोगी होता है: नेट $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)$ नेट की संरचना के बराबर है $f_{\bullet }:A\to {\textstyle \prod }X_{\bullet }$ प्रक्षेपण के साथ $\pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i};$ वह है, $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{i}\,\circ \,f_{\bullet }.$ किसी दिए गए बिंदु के लिए $L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},$ जाल $f_{\bullet }$ में विलीन हो जाता है $L$ उत्पाद स्थान में ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ अगर और केवल अगर हर सूचकांक के लिए $i\in I,$ $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\left(\pi _{i}\left(f_{a}\right)\right)_{a\in A}$ में विलीन हो जाता है $L_{i}$ में $X_{i}.$ और जब भी net $f_{\bullet }$ पर क्लस्टर $L$ में ${\textstyle \prod }X_{\bullet }$ तब $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)$ पर क्लस्टर $L_{i}$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $i\in I.$ तथापि, इसका विलोम सामान्य रूप से मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $X_{1}=X_{2}=\mathbb {R}$ और जाने $f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in \mathbb {N} }$ अनुक्रम को निरूपित करें $(1,1),(0,0),(1,1),(0,0),\ldots$ जो बीच-बीच में बदलता रहता है $(1,1)$ और $(0,0).$ तब $L_{1}:=0$ और $L_{2}:=1$ दोनों के क्लस्टर बिंदु हैं $\pi _{1}\left(f_{\bullet }\right)$ और $\pi _{2}\left(f_{\bullet }\right)$ में $X_{1}\times X_{2}=\mathbb {R} ^{2}$ लेकिन $\left(L_{1},L_{2}\right)=(0,1)$ का समूह बिंदु नहीं है $f_{\bullet }$ त्रिज्या की खुली गेंद के बाद से $1$ पर केंद्रित है $(0,1)$ एक बिंदु भी शामिल नहीं है $f_{\bullet }$ टाइकोनॉफ़ की प्रमेय और पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध

अगर कोई नहीं $L\in X$ दिया जाता है, लेकिन प्रत्येक के लिए $i\in I,$ कुछ मौजूद है $L_{i}\in X_{i}$ ऐसा है कि $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)\to L_{i}$ में $X_{i}$ फिर टपल द्वारा परिभाषित $L=\left(L_{i}\right)_{i\in I}$ की सीमा होगी $f_{\bullet }$ में $X.$ हालाँकि, यह निष्कर्ष निकालने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध को ग्रहण करने की आवश्यकता हो सकती है $L$ मौजूद; पसंद के स्वयंसिद्ध की कुछ स्थितियों में आवश्यकता नहीं होती है, जैसे कब $I$ परिमित है या जब हर $L_{i}\in X_{i}$ है unique नेट की सीमा $\pi _{i}\left(f_{\bullet }\right)$ (क्योंकि तब चुनने के लिए कुछ भी नहीं है), जो उदाहरण के लिए होता है, जब हर $X_{i}$ हॉसडॉर्फ स्थान है। अगर $I$ अनंत है और ${\textstyle \prod }X_{\bullet }={\textstyle \prod \limits _{j\in I}}X_{j}$ खाली नहीं है, तो अनुमानों का निष्कर्ष निकालने के लिए पसंद का स्वयंसिद्ध (सामान्य रूप से) अभी भी आवश्यक होगा $\pi _{i}:{\textstyle \prod }X_{\bullet }\to X_{i}$ विशेषण मानचित्र हैं।

पसंद का स्वयंसिद्ध टाइकोनॉफ के प्रमेय के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के किसी भी संग्रह का उत्पाद कॉम्पैक्ट है। लेकिन अगर हर कॉम्पैक्ट स्पेस हॉसडॉर्फ भी है, तो इसके बजाय कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के लिए तथाकथित टाइकोनॉफ प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है, जो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर है और इसलिए पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है। ऊपर दिए गए शुद्ध अभिसरण के लक्षण वर्णन का उपयोग करके टाइकोनॉफ के प्रमेय के दोनों संस्करणों के लघु प्रमाण देने के लिए नेट का उपयोग इस तथ्य के साथ किया जा सकता है कि एक स्थान कॉम्पैक्ट है यदि और केवल अगर प्रत्येक नेट में अभिसारी सबनेट (गणित) है।

=== नेट === के क्लस्टर अंक

एक बिंदु $x\in X$ किसी दिए गए नेट का क्लस्टर बिंदु है अगर और केवल अगर इसका एक सबसेट है जो अभिसरण करता है $x.$ अगर $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ नेट इन है $X$ फिर सभी क्लस्टर बिंदुओं का सेट $x_{\bullet }$ में $X$ के बराबर है

$$\bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)$$

कहाँ $x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}$ प्रत्येक के लिए $a\in A.$ अगर $x\in X$ के कुछ सबनेट का क्लस्टर बिंदु है $x_{\bullet }$ तब $x$ का एक समूह बिंदु भी है $x_{\bullet }.$

अल्ट्रानेट

एक शुद्ध $x_{\bullet }$ सेट में $X$ ए कहा जाता है universal net या ए ultranet यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $S\subseteq X,$ $x_{\bullet }$ अंत में है $S$ या $x_{\bullet }$ अंत में पूरक है $X\setminus S.$ अल्ट्रानेट (गणित) अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) से निकटता से संबंधित हैं।

हर स्थिर नेट एक अल्ट्रानेट है। अल्ट्रानेट का प्रत्येक सबनेट एक अल्ट्रानेट होता है। हर नेट में कुछ सबनेट होता है जो कि एक अल्ट्रानेट होता है। अगर $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ में एक अल्ट्रानेट है $X$ और $f:X\to Y$ तब एक कार्य है $f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ में एक अल्ट्रानेट है $Y.$

दिया गया $x\in X,$ एक अल्ट्रानेट क्लस्टर पर $x$ अगर और केवल यह अभिसरण करता है $x.$

जाल की सीमा के उदाहरण

अनुक्रम की प्रत्येक सीमा और किसी फलन की सीमा की व्याख्या एक जाल की सीमा के रूप में की जा सकती है (जैसा कि नीचे वर्णित है)।

रीमैन इंटीग्रल के मूल्य की परिभाषा को रीमैन योग के नेट की सीमा के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां नेट का निर्देशित सेट एकीकरण के अंतराल के सभी विभाजनों का सेट है, आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेश दिया गया है।

सेट की व्याख्या करें $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ प्रोटोटाइप के साथ सभी कार्यों की $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ कार्टेशियन उत्पाद के रूप में ${\textstyle \prod \limits _{x\in \mathbb {R} }}\mathbb {R}$ (एक फ़ंक्शन की पहचान करके $f$ टपल के साथ $(f(x))_{x\in \mathbb {R} },$ और इसके विपरीत) और इसे उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न करें। यह (उत्पाद) टोपोलॉजी चालू है $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी के समान है। होने देना $E$ सभी कार्यों के सेट को निरूपित करें $f:\mathbb {R} \to \{0,1\}$ कि बराबर हैं $1$ हर जगह बहुत से बिंदुओं को छोड़कर (यानी, ऐसा है कि set $\{x:f(x)=0\}$ परिमित है)। फिर स्थिर $0$ समारोह $\mathbf {0} :\mathbb {R} \to \{0\}$ के बंद होने के अंतर्गत आता है $E$ में $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} };$ वह है, $\mathbf {0} \in \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}E.$ यह जाल बनाकर सिद्ध होगा $E$ जो अभिसरण करता है $\mathbf {0} .$ हालाँकि, कोई मौजूद नहीं है sequence में $E$ जो अभिसरण करता है $\mathbf {0} ,$ जो इसे एक उदाहरण बनाता है जहां (गैर-अनुक्रम) नेट का उपयोग किया जाना चाहिए क्योंकि अनुक्रम अकेले वांछित निष्कर्ष तक नहीं पहुंच सकते हैं। के तत्वों की तुलना करें $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ बिंदुवार सामान्य तरीके से यह घोषित करके $f\geq g$ अगर और केवल अगर $f(x)\geq g(x)$ सभी के लिए $x.$ यह बिंदुवार तुलना एक आंशिक क्रम है जो बनाता है $(E,\geq )$ किसी भी दिए जाने के बाद से एक निर्देशित सेट $f,g\in E,$ उनका बिंदुवार न्यूनतम $m:=\min\{f,g\}$ से संबंधित $E$ और संतुष्ट करता है $f\geq m$ और $g\geq m.$ यह आंशिक क्रम पहचान मानचित्र को बदल देता है $\operatorname {Id} :(E,\geq )\to E$ (द्वारा परिभाषित $f\mapsto f$) एक में $E$-मूल्यवान जाल। यह नेट पॉइंटवाइज में परिवर्तित हो जाता है $\mathbf {0}$ में $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} },$ जिसका तात्पर्य है $\mathbf {0}$ के बंद होने के अंतर्गत आता है $E$ में $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }.$

उदाहरण

टोपोलॉजिकल स्पेस में अनुक्रम

एक क्रम $a_{1},a_{2},\ldots$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में $X$ में नेट माना जा सकता है $X$ पर परिभाषित $\mathbb {N} .$ नेट अंततः एक सबसेट में है $S$ का $X$ यदि कोई मौजूद है $N\in \mathbb {N}$ ऐसा है कि हर पूर्णांक के लिए $n\geq N,$ बिंदु $a_{n}$ में है $S.$ इसलिए $\lim {}_{n}a_{n}\to L$ अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए $V$ का $L,$ नेट अंत में अंदर है $V.$ नेट अक्सर एक सबसेट में होता है $S$ का $X$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $N\in \mathbb {N}$ कुछ पूर्णांक मौजूद है $n\geq N$ ऐसा है कि $a_{n}\in S,$ यानी, अगर और केवल अगर अनुक्रम के असीमित रूप से कई तत्व अंदर हैं $S.$ इस प्रकार एक बिंदु $y\in X$ नेट का एक क्लस्टर बिंदु है अगर और केवल अगर हर पड़ोस $V$ का $y$ अनुक्रम के असीमित रूप से कई तत्व शामिल हैं।

मेट्रिक स्पेस से टोपोलॉजिकल स्पेस तक फंक्शन

एक बिंदु ठीक करें $c\in M$ एक मीट्रिक अंतरिक्ष में $(M,d)$ जिसमें कम से कम दो बिंदु हों (जैसे $M:=\mathbb {R} ^{n}$ यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ $c:=0$ मूल होना, उदाहरण के लिए) और सेट को निर्देशित करें $I:=M\setminus \{c\}$ से दूरी के अनुसार उलटा $c$ यह घोषित करके $i\leq j$ अगर और केवल अगर $d(j,c)\leq d(i,c).$ दूसरे शब्दों में, संबंध की कम से कम समान दूरी है $c$ के रूप में, इसलिए कि इस संबंध के संबंध में काफी बड़े का मतलब काफी करीब है $c$. डोमेन के साथ कोई फ़ंक्शन दिया गया $M,$ इसके लिए प्रतिबंध $I:=M\setminus \{c\}$ द्वारा निर्देशित नेट के रूप में कैनोनिक रूप से व्याख्या की जा सकती है $(I,\leq ).$

एक शुद्ध $f:M\setminus \{c\}\to X$ अंततः एक उपसमुच्चय में है $S$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ अगर और केवल अगर कुछ मौजूद है $n\in M\setminus \{c\}$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $m\in M\setminus \{c\}$ संतुष्टि देने वाला $d(m,c)\leq d(n,c),$ बिंदु $f(m)$ में है $S.$ ऐसा जाल $f$ में विलीन हो जाता है $X$ किसी दिए गए बिंदु पर $L\in X$ अगर और केवल अगर $\lim _{m\to c}f(m)\to L$ सामान्य अर्थों में (जिसका अर्थ है कि हर पड़ोस के लिए $V$ का $L,$ $f$ अंत में है $V$).

जाल $f:M\setminus \{c\}\to X$ अक्सर उपसमुच्चय में होता है $S$ का $X$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $n\in M\setminus \{c\}$ कुछ मौजूद है $m\in M\setminus \{c\}$ साथ $d(m,c)\leq d(n,c)$ ऐसा है कि $f(m)$ में है $S.$ नतीजतन, एक बिंदु $L\in X$ नेट का एक क्लस्टर बिंदु है $f$ अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए $V$ का $L,$ नेट अक्सर अंदर होता है $V.$

एक सुव्यवस्थित सेट से एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कार्य

एक सुव्यवस्थित सेट पर विचार करें | सुव्यवस्थित सेट $[0,c]$ सीमा बिंदु के साथ $t$ और एक समारोह $f$ से $[0,t)$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $X.$ यह फ़ंक्शन नेट ऑन है $[0,t).$ यह अंततः एक उपसमुच्चय में है $V$ का $X$ यदि कोई मौजूद है $r\in [0,t)$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $s\in [r,t)$ बिंदु $f(s)$ में है $V.$ इसलिए $\lim _{x\to t}f(x)\to L$ अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए $V$ का $L,$ $f$ अंत में है $V.$ जाल $f$ अक्सर उपसमुच्चय में होता है $V$ का $X$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $r\in [0,t)$ कुछ मौजूद है $s\in [r,t)$ ऐसा है कि $f(s)\in V.$ एक बिंदु $y\in X$ नेट का एक क्लस्टर बिंदु है $f$ अगर और केवल अगर हर पड़ोस के लिए $V$ का $y,$ नेट अक्सर अंदर होता है $V.$ पहला उदाहरण इसका एक विशेष मामला है $c=\omega .$ ऑर्डर टोपोलॉजी#ऑर्डिनल-इंडेक्स्ड सीक्वेंस|ऑर्डिनल-इंडेक्स्ड सीक्वेंस भी देखें।

सबनेट

Main article: Subnet (mathematics)

See also: Filters in topology § Subnets

नेट के लिए अनुगामी का एनालॉग एक सबनेट की धारणा है। सबनेट की कई अलग-अलग गैर-समतुल्य परिभाषाएँ हैं और यह लेख 1970 में स्टीफन विलार्ड द्वारा शुरू की गई परिभाषा का उपयोग करेगा, जो इस प्रकार है: अगर $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ और $s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ नेट हैं तो $s_{\bullet }$ ए कहा जाता है subnet या Willard-subnet का $x_{\bullet }$ यदि कोई आदेश-संरक्षण मानचित्र मौजूद है $h:I\to A$ ऐसा है कि $h(I)$ का अंतिम उपसमुच्चय है $A$ और

$$s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.$$
 वो नक्शा $h:I\to A$ कहा जाता है order-preserving और एक order homomorphism अगर कभी भी $i\leq j$ तब $h(i)\leq h(j).$ सेट $h(I)$ प्राणी cofinal में $A$ का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $a\in A,$ कुछ मौजूद है $b\in h(I)$ ऐसा है कि $b\geq a.$

गुण

वस्तुतः टोपोलॉजी की सभी अवधारणाओं को नेट और लिमिट की भाषा में फिर से परिभाषित किया जा सकता है। यह अंतर्ज्ञान का मार्गदर्शन करने के लिए उपयोगी हो सकता है क्योंकि नेट की सीमा की धारणा अनुक्रम की सीमा के समान ही है। प्रमेय और नींबू के निम्नलिखित सेट इस समानता को मजबूत करने में मदद करते हैं:

स्थलाकृतिक गुणों की विशेषताएं

बंद सेट और बंद

उपसमुच्चय $S\subseteq X$ में बंद है $X$ यदि और केवल यदि प्रत्येक अभिसरण नेट का प्रत्येक सीमा बिंदु $S$ का अनिवार्य रूप से है $S.$ स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह $S\subseteq X$ बंद है अगर और केवल अगर जब भी $x\in X$ और $s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}$ में नेट वैल्यू है $S$ (मतलब है कि $s_{a}\in S$ सभी के लिए $a\in A$) ऐसा है कि $\lim {}_{}s_{\bullet }\to x$ में $X,$ फिर अनिवार्य रूप से $x\in S.$ अधिक सामान्यतः, यदि $S\subseteq X$ कोई उपसमुच्चय है तो एक बिंदु $x\in X$ के क्लोजर (टोपोलॉजी) में है $S$ अगर और केवल अगर कोई नेट मौजूद है $\left(s_{a}\right)_{a\in A}$ में $S$ सीमा के साथ $x\in X$ और ऐसा है $s_{a}\in S$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $a\in A.$

टोपोलॉजी के खुले सेट और लक्षण वर्णन

See also: Characterizations of the category of topological spaces § Convergent net characterization

उपसमुच्चय $S\subseteq X$ खुला है अगर और केवल अगर कोई नेट नहीं है $X\setminus S$ के एक बिन्दु पर आ जाता है $S.$ इसके अलावा, सबसेट $S\subseteq X$ खुला है अगर और केवल अगर प्रत्येक नेट के एक तत्व में परिवर्तित हो रहा है $S$ अंत में निहित है $S.$ यह खुले उपसमुच्चय की ये विशेषताएँ हैं जो नेट को टोपोलॉजी (संरचना) को चिह्नित करने की अनुमति देती हैं। टोपोलॉजी को बंद उपसमुच्चय द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है क्योंकि एक सेट खुला है अगर और केवल अगर इसका पूरक बंद है। तो नेट के संदर्भ में बंद सेट के लक्षण वर्णन का उपयोग टोपोलॉजी को चिह्नित करने के लिए भी किया जा सकता है।

निरंतरता

एक समारोह $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक दिए गए बिंदु पर निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है $x$ अगर और केवल अगर हर नेट के लिए $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ इसके डोमेन में, यदि $\lim _{}x_{\bullet }\to x$ में $X$ तब $\lim {}f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ में $Y.$ अधिक संक्षेप में, एक समारोह कहा $f:X\to Y$ निरंतर है अगर और केवल अगर जब भी $x_{\bullet }\to x$ में $X$ तब $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ में $Y.$ सामान्य तौर पर, यह कथन सत्य नहीं होगा यदि शब्द नेट को अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया गया हो; यही है, केवल प्राकृतिक संख्याओं के अलावा अन्य निर्देशित सेटों के लिए अनुमति देना आवश्यक है $X$ प्रथम-गणनीय स्थान नहीं है (या अनुक्रमिक स्थान नहीं है)।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

($\implies$) होने देना $f$ बिंदु पर निरंतर रहें $x,$ और जाने $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ ऐसा जाल बनो $\lim _{}x_{\bullet }\to x.$ फिर हर खुले पड़ोस के लिए $U$ का $f(x),$ इसके तहत पूर्वकल्पना $f,$ $V:=f^{-1}(U),$ का पड़ोस है $x$ (की निरंतरता से $f$ पर $x$). इस प्रकार का आंतरिक (टोपोलॉजी)। $V,$ जिसे द्वारा दर्शाया गया है $\operatorname {int} V,$ का खुला पड़ोस है $x,$ और इसके परिणामस्वरूप $x_{\bullet }$ अंत में है $\operatorname {int} V.$ इसलिए $\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ अंत में है $f(\operatorname {int} V)$ और इस प्रकार अंत में भी $f(V)$ जो का उपसमुच्चय है $U.$ इस प्रकार $\lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x),$ और यह दिशा सिद्ध होती है। ($\Longleftarrow$) होने देना $x$ एक बिंदु ऐसा हो कि हर नेट के लिए $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ ऐसा है कि $\lim _{}x_{\bullet }\to x,$ $\lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).$ अब मान लीजिए $f$ पर निरंतर नहीं है $x.$ फिर एक पड़ोस है (गणित) $U$ का $f(x)$ जिसके तहत प्रीइमेज है $f,$ $V,$ का पड़ोस नहीं है $x.$ क्योंकि $f(x)\in U,$ अनिवार्य रूप से $x\in V.$ अब के खुले पड़ोस का सेट $x$ सबसेट प्रीऑर्डर के साथ एक निर्देशित सेट है (चूंकि इस तरह के हर दो पड़ोस का चौराहा एक खुला पड़ोस है $x$ भी)। हम जाल बनाते हैं $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ ऐसा कि हर खुले पड़ोस के लिए $x$ जिसका सूचकांक है $a,$ $x_{a}$ इस पड़ोस में एक बिंदु है जो अंदर नहीं है $V$; कि वहाँ हमेशा एक बिंदु इस तथ्य से अनुसरण करता है कि कोई खुला पड़ोस नहीं है $x$ में शामिल है $V$ (क्योंकि धारणा से, $V$ का पड़ोस नहीं है $x$). यह इस प्रकार है कि $f\left(x_{a}\right)$ इसमें नहीं है $U.$ अब, प्रत्येक खुले पड़ोस के लिए $W$ का $x,$ यह पड़ोस उस निर्देशित सेट का सदस्य है जिसका सूचकांक हम निरूपित करते हैं $a_{0}.$ हरएक के लिए $b\geq a_{0},$ निर्देशित सेट का सदस्य जिसका सूचकांक है $b$ के भीतर निहित है $W$; इसलिए $x_{b}\in W.$ इस प्रकार $\lim _{}x_{\bullet }\to x.$ और हमारी धारणा से $\lim _{}\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}\to f(x).$ लेकिन $\operatorname {int} U$ का खुला पड़ोस है $f(x)$ और इस तरह $f\left(x_{a}\right)$ अंत में है $\operatorname {int} U$ और इसलिए में भी $U,$ के विपरीत $f\left(x_{a}\right)$ में नहीं होना $U$ हरएक के लिए $a.$ यह एक विरोधाभास है $f$ पर निरंतर होना चाहिए $x.$ यह प्रमाण को पूरा करता है।

सघनता

एक स्थान $X$ कॉम्पैक्ट जगह है अगर और केवल अगर हर नेट $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ में $X$ में एक सीमा के साथ एक सबनेट है $X.$ इसे बोलजानो-वीयरस्ट्रास प्रमेय और हेइन-बोरेल प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

($\implies$) सबसे पहले, मान लीजिए $X$ कॉम्पैक्ट है। हमें निम्नलिखित अवलोकन की आवश्यकता होगी (परिमित चौराहे की संपत्ति देखें)। होने देना $I$ कोई भी गैर-खाली सेट हो और $\left\{C_{i}\right\}_{i\in I}$ के बंद उपसमुच्चय का संग्रह हो $X$ ऐसा है कि $\bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \varnothing$ प्रत्येक परिमित के लिए $J\subseteq I.$ तब $\bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \varnothing$ भी। अन्यथा, $\left\{C_{i}^{c}\right\}_{i\in I}$ के लिए एक खुला आवरण होगा $X$ की सघनता के विपरीत कोई परिमित उपकवर नहीं है $X.$ होने देना $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ में एक जाल हो $X$ निर्देशक $A.$ हरएक के लिए $a\in A$ परिभाषित करना $$E_{a}\triangleq \left\{x_{b}:b\geq a\right\}.$$ संग्रह $\{\operatorname {cl} \left(E_{a}\right):a\in A\}$ संपत्ति है कि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह में गैर-रिक्त चौराहा है। इस प्रकार, ऊपर की टिप्पणी से, हमारे पास वह है $$\bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} E_{a}\neq \varnothing$$ और यह सटीक रूप से क्लस्टर बिंदुओं का सेट है $x_{\bullet }.$ अगले खंड में दिए गए सबूत से, यह अभिसरण सबनेट की सीमाओं के सेट के बराबर है $x_{\bullet }.$ इस प्रकार $x_{\bullet }$ एक अभिसारी सबनेट है। ($\Longleftarrow$) इसके विपरीत, मान लीजिए कि प्रत्येक नेट इन $X$ एक अभिसारी सबनेट है। विरोधाभास के लिए, चलो $\left\{U_{i}:i\in I\right\}$ का खुला आवरण हो $X$ बिना किसी परिमित उपकवर के। विचार करना $D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}.$ उसका अवलोकन करो $D$ समावेशन के तहत और प्रत्येक के लिए एक निर्देशित सेट है $C\in D,$ वहाँ मौजूद है $x_{C}\in X$ ऐसा है कि $x_{C}\notin U_{a}$ सभी के लिए $a\in C.$ नेट पर विचार करें $\left(x_{C}\right)_{C\in D}.$ इस नेट में अभिसारी सबनेट नहीं हो सकता, क्योंकि प्रत्येक के लिए $x\in X$ वहां मौजूद $c\in I$ ऐसा है कि $U_{c}$ का पड़ोस है $x$; हालाँकि, सभी के लिए $B\supseteq \{c\},$ हमारे पास वह है $x_{B}\notin U_{c}.$ यह एक विरोधाभास है और प्रमाण को पूरा करता है।

क्लस्टर और सीमा बिंदु

किसी नेट के क्लस्टर बिंदुओं का समुच्चय उसके अभिसारी सबनेट (गणित) की सीमाओं के समुच्चय के बराबर होता है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

होने देना $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में नेट बनें $X$ (जहां हमेशा की तरह $A$ स्वचालित रूप से एक निर्देशित सेट माना जाता है) और जाने भी $y\in X.$ अगर $y$ के सबनेट की एक सीमा है $x_{\bullet }$ तब $y$ का समूह बिन्दु है $x_{\bullet }.$ इसके विपरीत मान लीजिए $y$ का समूह बिन्दु है $x_{\bullet }.$ होने देना $B$ जोड़े का सेट हो $(U,a)$ कहाँ $U$ का खुला पड़ोस है $y$ में $X$ और $a\in A$ इस प्रकार कि $x_{a}\in U.$ वो नक्शा $h:B\to A$ मानचित्रण $(U,a)$ को $a$ तो अंतिम है। इसके अलावा दे रहा है $B$ उत्पाद क्रम (के पड़ोस $y$ समावेशन द्वारा आदेश दिया जाता है) इसे एक निर्देशित सेट बनाता है, और net $\left(y_{b}\right)_{b\in B}$ द्वारा परिभाषित $y_{b}=x_{h(b)}$ में विलीन हो जाता है $y.$

एक नेट की एक सीमा होती है यदि और केवल यदि उसके सभी सबनेट की सीमाएँ हों। ऐसे में नेट की हर सीमा हर सबनेट की भी एक सीमा होती है।

अन्य गुण

सामान्य तौर पर, एक अंतरिक्ष में एक जाल $X$ एक से अधिक सीमा हो सकती है, लेकिन यदि $X$ हॉसडॉर्फ स्पेस है, तो नेट की सीमा, यदि यह मौजूद है, अद्वितीय है। इसके विपरीत यदि $X$ हॉसडॉर्फ नहीं है, तो वहां एक नेट मौजूद है $X$ दो अलग-अलग सीमाओं के साथ। इस प्रकार सीमा की विशिष्टता है equivalent अंतरिक्ष पर हॉसडॉर्फ स्थिति के लिए, और वास्तव में इसे परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। यह परिणाम दिशात्मकता की स्थिति पर निर्भर करता है; एक सामान्य प्रीऑर्डर या आंशिक ऑर्डर द्वारा अनुक्रमित एक सेट में हौसडॉर्फ स्पेस में भी अलग सीमा बिंदु हो सकते हैं।

कॉची नेट्स

एक कॉची नेट एकसमान स्थानों पर परिभाषित नेट के लिए कॉची अनुक्रम की धारणा को सामान्यीकृत करता है। एक शुद्ध $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ एक है Cauchy net यदि प्रत्येक प्रतिवेश (गणित) के लिए $V$ वहां मौजूद $c\in A$ ऐसा कि सभी के लिए $a,b\geq c,$ $\left(x_{a},x_{b}\right)$ का सदस्य है $V.$ अधिक आम तौर पर, कॉची स्पेस में, एक नेट $x_{\bullet }$ कॉची है अगर नेट द्वारा उत्पन्न फ़िल्टर कॉची फिल्टर है।

एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) कहा जाता है complete अगर हर कॉची नेट किसी बिंदु पर अभिसरण करता है। एक आदर्श स्थान, जो एक विशेष प्रकार का टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है, एक पूर्ण टीवीएस (समतुल्य रूप से, एक बनच स्थान) है यदि और केवल अगर प्रत्येक कॉची अनुक्रम किसी बिंदु पर अभिसरण करता है (एक संपत्ति जिसे कहा जाता है sequential completeness). हालांकि कॉची जालों को मानक स्थानों की पूर्णता का वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है, उन्हें अधिक सामान्य (संभवतः गैर-सामान्य स्थान) टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान की पूर्णता का वर्णन करने की आवश्यकता है।

फिल्टर से संबंध

See also: Filters in topology § Filters and nets

एक फ़िल्टर (गणित) टोपोलॉजी में एक और विचार है जो सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में अभिसरण के लिए सामान्य परिभाषा की अनुमति देता है। दो विचार इस अर्थ में समतुल्य हैं कि वे अभिसरण की समान अवधारणा देते हैं। अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक फ़िल्टर आधार के लिए a associated net का निर्माण किया जा सकता है, और फिल्टर बेस के अभिसरण का तात्पर्य संबंधित नेट के अभिसरण से है - और इसके विपरीत (प्रत्येक नेट के लिए एक फिल्टर बेस है, और नेट के अभिसरण का तात्पर्य फिल्टर बेस के अभिसरण से है)। उदाहरण के लिए, कोई भी net $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ में $X$ पूंछ के एक फिल्टर बेस को प्रेरित करता है $\left\{\left\{x_{a}:a\in A,a_{0}\leq a\right\}:a_{0}\in A\right\}$ जहां फ़िल्टर अंदर है $X$ इस फ़िल्टर बेस द्वारा उत्पन्न को नेट कहा जाता है eventuality filter. यह पत्राचार किसी भी प्रमेय के लिए अनुमति देता है जिसे एक अवधारणा के साथ दूसरे के साथ सिद्ध किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे तक किसी फ़ंक्शन की निरंतरता को या तो डोमेन में नेट के अभिसरण द्वारा विशेषता दी जा सकती है, जो कोडोमेन में संबंधित नेट के अभिसरण को दर्शाता है, या फ़िल्टर बेस के साथ एक ही कथन द्वारा।

रॉबर्ट जी। बार्टले का तर्क है कि उनकी समानता के बावजूद, दोनों अवधारणाओं का होना उपयोगी है।उनका तर्क है कि अनुक्रमों के सादृश्य में प्राकृतिक प्रमाण और परिभाषाएँ बनाने के लिए जाल पर्याप्त हैं, विशेष रूप से अनुक्रमिक तत्वों का उपयोग करने वाले, जैसे कि विश्लेषण में सामान्य है, जबकि बीजगणितीय टोपोलॉजी में फ़िल्टर सबसे अधिक उपयोगी हैं। किसी भी मामले में, वह दिखाता है कि सामान्य टोपोलॉजी में विभिन्न प्रमेयों को साबित करने के लिए संयोजन में दोनों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

सीमा श्रेष्ठ

वास्तविक संख्याओं के जाल की सीमा श्रेष्ठ और सीमा अवर को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे अनुक्रमों के लिए। कुछ लेखक वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक सामान्य संरचनाओं के साथ भी काम करते हैं, जैसे पूर्ण जाली। एक जाल के लिए $\left(x_{a}\right)_{a\in A},$ रखना

$$\limsup x_{a}=\lim _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}=\inf _{a\in A}\sup _{b\succeq a}x_{b}.$$

वास्तविक संख्याओं के जाल की सीमा श्रेष्ठता में अनुक्रमों के मामले के अनुरूप कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए,

$$\limsup(x_{a}+y_{a})\leq \limsup x_{a}+\limsup y_{a},$$

जहां जब भी जालों में से कोई एक अभिसरण होता है तो समानता धारण करती है।

यह भी देखें

• Characterizations of the category of topological spaces
• Filter (set theory)
• Filters in topology
• Preorder – Reflexive and transitive binary relation
• Sequential space
• Ultrafilter (set theory)

संदर्भ

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