ऍक्स-कोचेन प्रमेय

जेम्स एक्स और साइमन बी. कोचेन के नाम पर एक्स-कोचेन प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक डी के लिए एक सीमित सेट वाई है।_dअभाज्य संख्याओं का, जैसे कि यदि p कोई अभाज्य संख्या है जो Y में नहीं है_dफिर कम से कम d में p-adic संख्याओं पर घात d वाला प्रत्येक सजातीय बहुपद²+1 वेरिएबल में एक गैर-तुच्छ शून्य होता है।

प्रमेय का प्रमाण

प्रमेय का प्रमाण मॉडल सिद्धांत जैसे गणितीय तर्क के तरीकों का व्यापक उपयोग करता है।

सबसे पहले सर्ज लैंग के प्रमेय को साबित करें, जिसमें कहा गया है कि फ़ील्ड एफ के लिए अनुरूप प्रमेय सत्य है_p((टी)) एक सीमित क्षेत्र 'एफ' पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला_p साथ $Y_{d}=\varnothing$. दूसरे शब्दों में, घात d वाला प्रत्येक सजातीय बहुपद, d से अधिक के साथ² चर में एक गैर-तुच्छ शून्य होता है (इसलिए F_p((t)) एक अर्ध-बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड है|C₂ मैदान)।

फिर एक से पता चलता है कि यदि दो हेन्सेल के लेम्मा वैल्यूएशन (बीजगणित) फ़ील्ड में समतुल्य मूल्यांकन समूह और अवशेष फ़ील्ड हैं, और अवशेष फ़ील्ड में विशेषता (बीजगणित) 0 है, तो वे प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं (जिसका अर्थ है कि पहला आदेश वाक्य एक के लिए सत्य है यदि और केवल यदि यह दूसरे के लिए सत्य है)।

अगला इसे दो फ़ील्ड पर लागू करता है, एक फ़ील्ड F के सभी अभाज्यों पर अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है_p((टी)) और दूसरा पी-एडिक फ़ील्ड्स क्यू के सभी अभाज्यों पर एक अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिया गया है_p. दोनों अवशेष फ़ील्ड फ़ील्ड एफ पर एक अल्ट्राप्रोडक्ट द्वारा दिए गए हैं_p, इसलिए आइसोमोर्फिक हैं और विशेषता 0 है, और दोनों मूल्य समूह समान हैं, इसलिए अल्ट्राप्रोडक्ट्स प्राथमिक रूप से समकक्ष हैं। (अल्ट्राप्रोडक्ट्स लेने का उपयोग अवशेष क्षेत्र को विशेषता 0 के लिए मजबूर करने के लिए किया जाता है; एफ के अवशेष क्षेत्र_p((टी)) और प्र_p दोनों में गैर-शून्य विशेषता पी है।)

इन अल्ट्राप्रोडक्ट्स की प्रारंभिक तुल्यता का तात्पर्य है कि मूल्यवान क्षेत्रों की भाषा में किसी भी वाक्य के लिए, असाधारण अभाज्य संख्याओं का एक सीमित सेट Y होता है, जैसे कि इस सेट में मौजूद किसी भी p के लिए वाक्य 'F' के लिए सत्य है।_p((टी)) यदि और केवल यदि यह पी-एडिक संख्याओं के क्षेत्र के लिए सत्य है। इसे यह कहते हुए वाक्य पर लागू करना कि कम से कम d में घात d का प्रत्येक गैर-अस्थिर सजातीय बहुपद²+1 चर 0 का प्रतिनिधित्व करता है, और लैंग के प्रमेय का उपयोग करके, व्यक्ति को एक्स-कोचेन प्रमेय प्राप्त होता है।

वैकल्पिक प्रमाण

फिर से डेनेफ़ ़ को जीन-लुई कोलियट-थेलेन के अनुमान के लिए एक विशुद्ध ज्यामितीय प्रमाण मिला जो एक्स-कोचेन प्रमेय को सामान्यीकृत करता है।

असाधारण अभाज्य

एमिल आर्टिन ने परिमित असाधारण समुच्चय Y के साथ इस प्रमेय का अनुमान लगाया_dखाली होना (अर्थात, सभी पी-एडिक फ़ील्ड सी2 फ़ील्ड|सी हैं₂), लेकिन गाइ टेरजानी d = 4 के लिए निम्नलिखित 2-एडिक प्रति-उदाहरण मिला। परिभाषित करें

$G(x)=G(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum x_{i}^{4}-\sum _{i\,<\,j}x_{i}^{2}x_{j}^{2}-x_{1}x_{2}x_{3}(x_{1}+x_{2}+x_{3}).$

फिर G का गुण है कि यदि कुछ x विषम है तो यह 1 mod 4 है, और अन्यथा 0 mod 16 है। इससे सहज ही सजातीय स्वरूप का पता चलता है

G('x') + G('y') + G('z') + 4G('u') + 4G('v') + 4G('w')

डिग्री का d = 4 in 18 > d² चर में 2-एडिक पूर्णांकों पर कोई गैर-तुच्छ शून्य नहीं है।

बाद में टेरजेनियन दर्शाया गया है कि प्रत्येक अभाज्य p और p(p − 1) के गुणज d > 2 के लिए, d से अधिक डिग्री d की p-एडिक संख्याओं पर एक रूप होता है²चर लेकिन कोई गैर-तुच्छ शून्य नहीं। दूसरे शब्दों में, सभी d > 2, Y के लिए_dसभी अभाज्य संख्याएँ p इस प्रकार समाहित हैं कि p(p − 1) d को विभाजित करती है।

Brown (1978) अभाज्य संख्याओं के असाधारण सेट के लिए एक स्पष्ट लेकिन बहुत बड़ी सीमा दी गई है। यदि डिग्री d 1, 2, या 3 है तो असाधारण सेट खाली है। Heath-Brown (2010) ने दिखाया कि यदि d = 5 असाधारण सेट 13 से घिरा है, और Wooley (2008) ने दिखाया कि d = 7 के लिए असाधारण सेट 883 से घिरा है और d = 11 के लिए यह 8053 से घिरा है।

यह भी देखें

• रूपों पर ब्रौअर का प्रमेय
• अर्ध-बीजगणितीय समापन

संदर्भ

• Brown, Scott Shorey (1978), "Bounds on transfer principles for algebraically closed and complete discretely valued fields", Memoirs of the American Mathematical Society, 15 (204), doi:10.1090/memo/0204, ISBN 978-0-8218-2204-3, ISSN 0065-9266, MR 0494980
• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (third ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7204-0692-4. (Corollary 5.4.19)
• Heath-Brown, D. R. (2010), "Zeros of p-adic forms", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 100 (2): 560–584, arXiv:0805.0534, doi:10.1112/plms/pdp043, ISSN 0024-6115, MR 2595750, S2CID 6594042
• Wooley, Trevor D. (2008), "Artin's conjecture for septic and unidecic forms", Acta Arithmetica, 133 (1): 25–35, Bibcode:2008AcAri.133...25W, doi:10.4064/aa133-1-2, ISSN 0065-1036, MR 2413363