सापेक्षवादी यूलर समीकरण

द्रव यांत्रिकी और भौतिकी में, सापेक्षतावादी यूलर समीकरण यूलर समीकरणों का एक सामान्यीकरण होता है जो सामान्य सापेक्षता के प्रभावों को दर्शाता है। उनके पास उच्च-ऊर्जा भौतिकी और संख्यात्मक सापेक्षता अनुप्रयोग होता है, जहां उनका उपयोग सामान्यतः गामा-किरण विस्फोट और अभिवृद्धि चक्र जैसी घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, अधिकांशतः चुंबकीय क्षेत्र के साथ भी किया जाता है। ध्यान दें: साहित्य के साथ निरंतरता के लिए, यह लेख प्राकृतिक इकाइयों, अर्थात् प्रकाश की गति का उपयोग करता है $c=1$

प्रेरणा

पृथ्वी पर देखे जाने वाले अधिकांश तरल पदार्थों के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी पर आधारित पारंपरिक तरल यांत्रिकी पर्याप्त होते है। चूँकि, जैसे-जैसे द्रव का वेग प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है या मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से गुजरता है, या दबाव ऊर्जा घनत्व के करीब पहुंचता है ($P\sim \rho$), तब यह समीकरण मान्य नहीं होता है। ऐसी स्थितियाँ भौतिकी अनुप्रयोगों में अधिकांशतः घटित होती है। उदाहरण के लिए, गामा-किरण प्रस्फोट में प्रायः केवल गति ही प्रदर्शित होती है $0.01\%$ प्रकाश की गति से भी कम, और न्यूट्रॉन सितारों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र इससे भी अधिक होते है $10^{11}$ पृथ्वी से कई गुना अधिक ऊर्जशील होते है। इन कठिन परिस्थितियों में, केवल तरल पदार्थों का सापेक्षिक उपचार ही पर्याप्त होता है।

परिचय

गति के समीकरण तनाव-ऊर्जा टेंसर के निरंतरता समीकरण में निहित है $T^{\mu \nu }$:

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,$

जहाँ $\nabla _{\mu }$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है. एक उत्तम तरल पदार्थ के लिए,

$T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.$

जहाँ $e$ द्रव का कुल द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (शेष द्रव्यमान और आंतरिक ऊर्जा घनत्व दोनों सहित) है, $p$ द्रव दबाव है, $u^{\mu }$ द्रव का चार-वेग है, और $g^{\mu \nu }$ मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) है। उपरोक्त समीकरणों में, सामान्यतः एक संरक्षण नियम (भौतिकी) जोड़ा जाता है, सामान्यतः बेरिऑन संख्या का संरक्षण जोड़ा जाता है। यदि $n$ बेरिऑन का संख्या घनत्व है, तो यह कहा जा सकता है

$\nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.$

यदि द्रव तीन-वेग मौलिक यांत्रिकी है तो ये समीकरण मौलिक यूलर समीकरणों में कम हो जाते है। प्रकाश की गति की तुलना में विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन, दबाव ऊर्जा घनत्व से बहुत कम होते है, और उत्तरार्द्ध बाकी द्रव्यमान घनत्व पर अधिक होते है। इस प्रणाली को बंद करने के लिए, अवस्था का एक समीकरण, जैसे आदर्श गैस या फर्मी गैस, भी जोड़ा जाता है।

समतल स्थान में गति के समीकरण

समतल स्थान के स्थिति में, अर्थात् $\nabla _{\mu }=\partial _{\mu }$ और एक मीट्रिक हस्ताक्षर का उपयोग करना $(-,+,+,+)$गति के समीकरण है,

$(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p$

जहाँ $e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon$ प्रणाली की ऊर्जा घनत्व है, साथ में $p$ दबाव है, और $u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})$ प्रणाली का चार-वेग है।

योगों और समीकरणों का विस्तार करते हुए, हमारे पास है ${\frac {d}{dt}}$ सामग्री व्युत्पन्न के रूप में है

$(e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }$

फिर, $u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}$ वेग के व्यवहार का निरीक्षण करने पर हम देखते है कि गति के समीकरण बन जाते है

$(e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}$

ध्यान दें कि गैर-सापेक्षतावादी है ${\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho$. इसका मतलब है कि तरल पदार्थ की ऊर्जा उसकी बाकी ऊर्जा पर अधिक होती है।

इस सीमा में, हमारे पास है $\gamma \rightarrow 1$ और $c\rightarrow \infty$, और यूलर समीकरण है $\rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p$.

गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति

गति के समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित स्थानिक प्रक्षेपण टेंसर स्थिति का लाभ उठाते है:

$\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0^{\nu }$

यह हम देखकर सिद्ध करते है $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$ और फिर प्रत्येक पक्ष को इससे गुणा करते है $u_{\nu }$. ऐसा करने पर, और उस पर ध्यान देने पर $u^{\mu }u_{\mu }=-1$, के पास है $u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }$. सूचकांकों को पुनः अंकित करते है $\alpha$ जैसे $\nu$ दिखाता है कि दोनों पूरी तरह से निरसित हो जाते है। यह निरसित एक स्थानिक टेंसर के साथ टेम्पोरल टेंसर के संकुचन का अपेक्षित परिणाम होता है।

अब, जब हम उस पर ध्यान देते है

$T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }$

जहां हमने इसे स्पष्ट रूप से परिभाषित किया है $w\equiv e+p$.

हम उसका पता लगा सकते है

${\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}$

और इस तरह है

$u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p$

फिर, इस तथ्य पर ध्यान दें $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ और $u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0$. ध्यान दें कि दूसरी पहचान पहली से मिलती होनी चाहिए। इन सरलीकरणों के अंतर्गत, हम उसे प्राप्त करते है

$u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p$

और इस प्रकार है $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0$, हम प्राप्त करते है

$(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0$

हमारे पास दो निरस्तीकरण है, और इस प्रकार हम प्राप्त करते है

$(e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0$

यह भी देखें

• सापेक्षिक ऊष्मा चालन
• छेत्र का समीकरण (ब्रह्मांड विज्ञान)