क्षमता के गुणांक

इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में, क्षमता के गुणांक विद्युत आवेश और इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (विद्युत क्षमता) के बीच संबंध निर्धारित करते हैं, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय है:

${\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.$

कहाँ Q_iचालक पर सतही आवेश है i. क्षमता के गुणांक गुणांक हैं p_ij. φ_i को सही ढंग से विभव के रूप में पढ़ा जाना चाहिए i-वां कंडक्टर, और इसलिए$p_{21}$है pकंडक्टर 2 पर चार्ज 1 के कारण।

$p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.$

ध्यान दें कि:

1. p_ij = p_ji, समरूपता द्वारा, और
2. p_ij चार्ज पर निर्भर नहीं है.

समरूपता की भौतिक सामग्री इस प्रकार है:

यदि कोई शुल्क Qकंडक्टर पर jकंडक्टर लाता है i एक क्षमता के लिए φ, फिर वही चार्ज लगाया गया i लाएगा j समान क्षमता के लिए φ.

सामान्य तौर पर, गुणांक का उपयोग कंडक्टरों की प्रणाली का वर्णन करते समय किया जाता है, जैसे कि संधारित्र में।

सिद्धांत

कंडक्टरों की प्रणाली। बिंदु पर स्थिरवैद्युत विभव P है $\phi _{P}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{j}}}$.

किसी चालक सतह पर विद्युत क्षमता को देखते हुए S_i (समविभव सतह या बिंदु P सतह पर चुना गया i) कंडक्टरों की एक प्रणाली में निहित है j = 1, 2, ..., n:

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},$

कहाँ R_ji = |r_i - r_j|, यानी क्षेत्र-तत्व से दूरी da_j एक विशेष बिंदु पर r_iकंडक्टर पर i. σ_j, सामान्यतः, सतह पर समान रूप से वितरित नहीं है। आइए हम कारक का परिचय दें f_j जो वर्णन करता है कि वास्तविक आवेश घनत्व सतह पर किसी स्थिति पर औसत और स्वयं से कैसे भिन्न होता है j-वां कंडक्टर:

${\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},$

या

$\sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.$

तब,

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.$

ऐसा दिखाया जा सकता है $\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}$ वितरण से स्वतंत्र है $\sigma _{j}$. इसलिए, साथ

$p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},$

अपने पास

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.$

उदाहरण

इस उदाहरण में, हम दो-कंडक्टर प्रणाली पर धारिता निर्धारित करने के लिए क्षमता के गुणांक की विधि का उपयोग करते हैं।

दो-संचालक प्रणाली के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली है

${\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.$

एक संधारित्र पर, दो चालकों पर आवेश बराबर और विपरीत होता है: Q = Q₁ = -Q₂. इसलिए,

${\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},$

और

$\Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.$

इस तरह,

$C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.$

संबंधित गुणांक

ध्यान दें कि रैखिक समीकरणों की सरणी

$\phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}$

को उलटा किया जा सकता है

$Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}$

जहां c_ij साथ i = j को क्षमता और का गुणांक कहा जाता है c_ij साथ i ≠ j स्थिरवैद्युत प्रेरण के गुणांक कहलाते हैं। एक ही क्षमता पर रखे गए दो गोलाकार कंडक्टरों की एक प्रणाली के लिए,

$Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V$

$Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V$ यदि दो कंडक्टर समान और विपरीत चार्ज ले जाते हैं,

$\phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}$

$\quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}$ कंडक्टरों की प्रणाली में समान समरूपता दिखाई जा सकती है c_ij = c_ji.

संदर्भ

• James Clerk Maxwell (1873) A Treatise on Electricity and Magnetism, § 86, page 89.