नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग

गैर-वर्दी नमूनाकरण नमूनाकरण सिद्धांत की एक शाखा है जिसमें नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय से संबंधित परिणाम शामिल हैं। गैर-समान नमूनाकरण लैग्रेंज इंटरपोलेशन और स्वयं और (समान) नमूना प्रमेय के बीच संबंध पर आधारित है। गैर-वर्दी नमूनाकरण व्हिटेकर-शैनन-कोटेलनिकोव (डब्ल्यूएसके) नमूनाकरण प्रमेय का एक सामान्यीकरण है।

शैनन के नमूना सिद्धांत को गैर-समान नमूनों के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, अर्थात, समय में समान दूरी पर नहीं लिए गए नमूने। गैर-समान नमूने के लिए शैनन नमूनाकरण सिद्धांत बताता है कि एक बैंड-सीमित सिग्नल को उसके नमूनों से पूरी तरह से पुनर्निर्माण किया जा सकता है यदि औसत नमूना दर नाइक्विस्ट स्थिति को संतुष्ट करती है। इसलिए, हालांकि समान रूप से दूरी वाले नमूनों के परिणामस्वरूप आसान पुनर्निर्माण एल्गोरिदम हो सकता है, यह सही पुनर्निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है।

गैर-बेसबैंड और गैर-वर्दी नमूनों के लिए सामान्य सिद्धांत 1967 में हेनरी लैंडौ द्वारा विकसित किया गया था। उन्होंने साबित किया कि औसत नमूना दर (समान या अन्यथा) सिग्नल के कब्जे वाले बैंडविड्थ से दोगुना होना चाहिए, यह मानते हुए कि यह पहले से ज्ञात है कि स्पेक्ट्रम के किस हिस्से पर कब्जा कर लिया गया था। 1990 के दशक के उत्तरार्ध में, इस कार्य को आंशिक रूप से उन सिग्नलों को कवर करने के लिए बढ़ाया गया था जिनके लिए व्याप्त बैंडविड्थ की मात्रा ज्ञात थी, लेकिन स्पेक्ट्रम का वास्तविक व्याप्त भाग अज्ञात था। 2000 के दशक में, एक संपूर्ण सिद्धांत विकसित किया गया था (संपीड़ित संवेदन का उपयोग करते हुए नीचे अनुभाग नाइक्विस्ट-शैनन सैंपलिंग प्रमेय#बियॉन्ड नाइक्विस्ट देखें)। विशेष रूप से, सिग्नल प्रोसेसिंग भाषा का उपयोग करने वाले सिद्धांत का वर्णन 2009 के इस पेपर में किया गया है। अन्य बातों के अलावा, वे दिखाते हैं कि यदि आवृत्ति स्थान अज्ञात हैं, तो कम से कम दो बार नाइक्विस्ट मानदंड का नमूना लेना आवश्यक है; दूसरे शब्दों में, स्पेक्ट्रम का स्थान न जानने के लिए आपको कम से कम 2 का कारक चुकाना होगा। ध्यान दें कि न्यूनतम नमूनाकरण आवश्यकताएँ आवश्यक रूप से संख्यात्मक स्थिरता की गारंटी नहीं देती हैं।

लैग्रेंज (बहुपद) प्रक्षेप

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, घात n का एक बहुपद बनाना संभव है जिसका मान n + 1 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के साथ समान हो। मान लीजिए कि n + 1 अंक है $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}$, और n+1 मान होना चाहिए $w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}$.

इस प्रकार, एक अद्वितीय बहुपद मौजूद है $p_{n}(z)$ ऐसा है कि

$p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ where }}i=0,1,\ldots ,n.$

इसके अलावा, के प्रतिनिधित्व को सरल बनाना संभव है $p_{n}(z)$ लैग्रेंज इंटरपोलेशन के इंटरपोलिंग बहुपदों का उपयोग करना:

$I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}$

उपरोक्त समीकरण से:

$I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}$

नतीजतन,

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)$

$p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n$

बहुपद रूप को अधिक उपयोगी बनाने के लिए:

$G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})$

इस प्रकार, लैग्रेंज इंटरपोलेशन फॉर्मूला प्रकट होता है:

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}$

ध्यान दें कि यदि $f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,$, तो उपरोक्त सूत्र बन जाता है:

$f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}$

व्हिटेकर-शैनन-कोटेलनिकोव (डब्लूएसके) नमूनाकरण प्रमेय

व्हिटेकर ने लैग्रेंज इंटरपोलेशन को बहुपदों से संपूर्ण कार्यों तक विस्तारित करने का प्रयास किया। उन्होंने दिखाया कि संपूर्ण फ़ंक्शन का निर्माण करना संभव है

$C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (z-a-nW)/W]}{[\pi (z-a-nW)/W]}}$

जिसका मान समान है $f(z)$ बिंदुओं पर $z_{n}=a+nW$ इसके अतिरिक्त, $C_{f}(z)$ पिछले भाग में अंतिम समीकरण के समान रूप में लिखा जा सकता है:

$C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ where }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ and }}z_{n}=a+nW$

जब a = 0 और W = 1, तो उपरोक्त समीकरण लगभग WSK प्रमेय के समान हो जाता है: यदि किसी फ़ंक्शन f को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है

$f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),$

फिर f को इसके नमूनों से निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है:

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma t-k\pi )}{\sigma t-k\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )$

गैर-समान नमूनाकरण

एक क्रम के लिए $\{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ संतुष्टि देने वाला

$D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},$

तब

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall {}f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),$

कहाँ

• $\textstyle G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),$ *$B_{\sigma }^{2}$ बर्नस्टीन स्थान है, और
• $f(t)$ कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से अभिसरण होता है।

उपरोक्त को पैली-वीनर-लेविंसन प्रमेय कहा जाता है, जो डब्ल्यूएसके नमूना प्रमेय को समान नमूनों से गैर-समान नमूनों तक सामान्यीकृत करता है। ये दोनों क्रमशः उन नमूनों से एक बैंड-सीमित सिग्नल का पुनर्निर्माण कर सकते हैं।

संदर्भ

• F. Marvasti, Nonuniform sampling: Theory and Practice. Plenum Publishers Co., 2001, pp. 123–140.