तरंग सदिश

भौतिकी में, एक तरंग वेक्टर (या लहर वेक्टर) एक वेक्टर (ज्यामितीय) है जिसका उपयोग तरंग का वर्णन करने में किया जाता है, जिसकी एक विशिष्ट इकाई चक्र प्रति मीटर होती है। इसमें एक यूक्लिडियन वेक्टर है। इसका परिमाण तरंग की तरंग संख्या (तरंगदैर्घ्य के व्युत्क्रमानुपाती) है, और इसकी दिशा तरंगाग्र के लंबवत है। आइसोट्रोपिक मीडिया में, तरंग प्रसार की दिशा भी यही है।

एक निकट से संबंधित वेक्टर कोणीय तरंग वेक्टर (या कोणीय तरंग वेक्टर) है, जिसकी एक विशिष्ट इकाई रेडियन प्रति मीटर है। तरंग वेक्टर और कोणीय तरंग वेक्टर आनुपातिकता के एक निश्चित स्थिरांक, 2 से संबंधित हैं $π$ रेडियन प्रति चक्र।^{[lower-alpha 1]}

भौतिकी के कई क्षेत्रों में कोणीय तरंग वेक्टर को केवल तरंग वेक्टर के रूप में संदर्भित करना आम बात है, उदाहरण के लिए, क्रिस्टलोग्राफी के विपरीत।^[1]^[2] प्रतीक चिन्ह का प्रयोग भी आम है $k$ जो भी उपयोग में है।

विशेष सापेक्षता के संदर्भ में, तरंग वेक्टर एक चार-वेक्टर को संदर्भित कर सकता है, जिसमें (कोणीय) तरंग वेक्टर और (कोणीय) आवृत्ति संयुक्त होती है।

परिभाषा

साइन लहर की तरंग दैर्ध्य,

λ

, समान चरण (तरंगों) के साथ किन्हीं दो लगातार बिंदुओं के बीच मापा जा सकता है, जैसे आसन्न शिखर, या गर्त, या पारगमन की समान दिशा के साथ आसन्न शून्य क्रॉसिंग के बीच, जैसा कि दिखाया गया है।

वेव वेक्टर और कोणीय वेव वेक्टर शब्दों के अलग-अलग अर्थ हैं। यहाँ, तरंग वेक्टर को निरूपित किया गया है ${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ और वेवनंबर द्वारा ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ . कोणीय तरंग वेक्टर को निरूपित किया जाता है $k$ और कोणीय वेवनंबर द्वारा $k = | k |$ . ये इससे संबंधित हैं $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ .

एक साइनसॉइडल यात्रा तरंग समीकरण का अनुसरण करती है

\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),

कहाँ:

$r$ स्थिति है,
$t$ यह समय है,
$ψ$ का एक कार्य है $r$ और $t$ तरंग का वर्णन करने वाली विक्षोभ का वर्णन करना (उदाहरण के लिए, समुद्र की लहर के लिए, $ψ$ पानी की अतिरिक्त ऊंचाई होगी, या ध्वनि तरंग के लिए, $ψ$ अतिरिक्त वायुदाब होगा)।
$A$ तरंग का आयाम है (दोलन का चरम परिमाण),
$φ$ एक चरण ऑफसेट है,
$ω$ तरंग की (अस्थायी) कोणीय आवृत्ति है, जो यह बताती है कि यह समय की प्रति इकाई कितने रेडियन को पार करती है, और अवधि (भौतिकी) से संबंधित है $t$ समीकरण द्वारा $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}},$
$k$ तरंग का कोणीय तरंग वेक्टर है, जो बताता है कि यह प्रति इकाई दूरी तक कितने रेडियन को पार करती है, और समीकरण द्वारा तरंग दैर्ध्य से संबंधित है $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.$

तरंग वेक्टर और आवृत्ति का उपयोग करते हुए समतुल्य समीकरण है^[3]

\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),

कहाँ:

$f$ आवृत्ति है
${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ तरंग सदिश है

तरंग सदिश की दिशा

जिस दिशा में तरंग सदिश बिंदु होते हैं उसे तरंग प्रसार की दिशा से अलग किया जाना चाहिए। तरंग प्रसार की दिशा तरंग के ऊर्जा प्रवाह की दिशा है, और वह दिशा जिस पर एक छोटा तरंग पैकेट चलेगा, यानी समूह वेग की दिशा। निर्वात में प्रकाश तरंगों के लिए, यह पोयंटिंग वेक्टर की दिशा भी है। दूसरी ओर, तरंग वेक्टर चरण वेग की दिशा में इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, वेव वेक्टर, लहर सामने के सामान्य सतह पर इंगित करता है, जिसे वेवफ्रंट्स भी कहा जाता है।

वायु, किसी गैस, किसी तरल, अनाकार ठोस (जैसे कांच), और घन क्रिस्टल जैसे क्षीणन आइसोट्रॉपी में, वेववेक्टर की दिशा तरंग प्रसार की दिशा के समान होती है। यदि माध्यम अनिसोट्रोपिक है, तो तरंग वेक्टर सामान्य रूप से तरंग प्रसार के अलावा अन्य दिशाओं को इंगित करता है। तरंग वेक्टर हमेशा स्थिर चरण की सतहों के लंबवत होता है।

उदाहरण के लिए, जब एक तरंग असमदिग्वर्ती होने की दशा से होकर गुजरती है, जैसे कि क्रिस्टल प्रकाशिकी या तलछटी चट्टान के माध्यम से ध्वनि तरंगें, तो तरंग वेक्टर तरंग प्रसार की दिशा में सटीक रूप से इंगित नहीं कर सकता है।^[4]^[5]

ठोस अवस्था भौतिकी में

ठोस-अवस्था भौतिकी में, क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉन छिद्र का वेववेक्टर (जिसे के-वेक्टर भी कहा जाता है) इसके क्वांटम यांत्रिकी | क्वांटम-मैकेनिकल तरंग क्रिया का वेववेक्टर होता है। ये इलेक्ट्रॉन तरंगें सामान्य sinusoidal तरंगें नहीं हैं, लेकिन उनमें एक प्रकार का लिफाफा (तरंगें) होता है जो साइनसॉइडल होता है, और वेववेक्टर को उस लिफाफा तरंग के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, आमतौर पर भौतिकी परिभाषा का उपयोग करके। अधिक जानकारी के लिए बलोच का प्रमेय देखें।^[6]

विशेष सापेक्षता में

विशेष सापेक्षता में एक गतिशील तरंग सतह को स्पेसटाइम में एक हाइपरसरफेस (एक 3डी उपस्थान) के रूप में माना जा सकता है, जो तरंग सतह से गुजरने वाली सभी घटनाओं से बनता है। एक वेवट्रेन (कुछ चर द्वारा चिह्नित)। $X$ ) को स्पेसटाइम में ऐसे हाइपरसर्फेस के एक-पैरामीटर परिवार के रूप में माना जा सकता है। यह चर $X$ स्पेसटाइम में स्थिति का एक अदिश फलन है। इस अदिश का व्युत्पन्न एक सदिश है जो तरंग, चार-तरंगवेक्टर की विशेषता बताता है।^[7] फोर-वेववेक्टर एक वेव फोर-वेक्टर है जिसे मिन्कोवस्की स्थान में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

जहां कोणीय आवृत्ति ${\tfrac {\omega }{c}}$ अस्थायी घटक और वेवनंबर वेक्टर है ${\vec {k}}$ स्थानिक घटक है.

वैकल्पिक रूप से, वेवनंबर $k$ को कोणीय आवृत्ति के रूप में लिखा जा सकता है $ω$ चरण वेग|चरण-वेग से विभाजित $v p$ , या व्युत्क्रम अवधि के संदर्भ में $T$ और व्युत्क्रम तरंग दैर्ध्य $λ$ .

जब स्पष्ट रूप से लिखा जाता है तो इसके सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण और सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण रूप इस प्रकार हैं:

{\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

सामान्य तौर पर, तरंग चार-वेक्टर का लोरेंत्ज़ अदिश परिमाण है:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

चार-तरंगवेक्टर द्रव्यमान रहित कण (फोटोनिक) कणों के लिए कारण संरचना # स्पर्शरेखा वैक्टर है, जहां शेष द्रव्यमान होता है $m_{o}=0$ शून्य चार-वेववेक्टर का एक उदाहरण सुसंगत, एकरंगा प्रकाश की किरण होगी, जिसमें चरण-वेग होता है $v_{p}=c$

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{प्रकाश-जैसा/शून्य के लिए}

जिसमें चार-तरंग वेक्टर के स्थानिक भाग की आवृत्ति और परिमाण के बीच निम्नलिखित संबंध होगा:

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

{प्रकाश-जैसा/शून्य के लिए}

चार-तरंगवेक्टर चार-संवेग से इस प्रकार संबंधित है:

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

चार-वेववेक्टर चार-आवृत्ति से इस प्रकार संबंधित है:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)

चार-वेववेक्टर चार-वेग से इस प्रकार संबंधित है:

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

चार-वेववेक्टर का लोरेंत्ज़ परिवर्तन लेना सापेक्षवादी डॉपलर प्रभाव प्राप्त करने का एक तरीका है। लोरेंत्ज़ मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

ऐसी स्थिति में जहां तेज गति से चलने वाले स्रोत द्वारा प्रकाश उत्सर्जित किया जा रहा है और कोई पृथ्वी (प्रयोगशाला) फ्रेम में पाए गए प्रकाश की आवृत्ति जानना चाहता है, हम लोरेंत्ज़ परिवर्तन को निम्नानुसार लागू करेंगे। ध्यान दें कि स्रोत एक फ़्रेम में है $S s$ और पृथ्वी अवलोकन फ्रेम में है, $S obs$ . लोरेंत्ज़ परिवर्तन को तरंग वेक्टर पर लागू करना

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }

और केवल देखने के लिए चयन करना $\mu =0$ घटक परिणाम देता है

{\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}

कहाँ $\cos \theta$ की दिशा कोज्या है $k^{1}$ इसके संबंध में $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$ इसलिए

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}

स्रोत दूर जा रहा है (रेडशिफ्ट)

उदाहरण के तौर पर, इसे ऐसी स्थिति में लागू करें जहां स्रोत सीधे पर्यवेक्षक से दूर जा रहा हो ( $\theta =\pi$ ), यह बन जाता है:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

स्रोत (ब्लूशिफ्ट) की ओर बढ़ रहा है

इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत सीधे पर्यवेक्षक की ओर बढ़ रहा है ( $θ = 0$ ), यह बन जाता है:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

स्रोत स्पर्शरेखीय रूप से घूम रहा है (अनुप्रस्थ डॉपलर प्रभाव)

इसे ऐसी स्थिति में लागू करने के लिए जहां स्रोत पर्यवेक्षक के संबंध में अनुप्रस्थ रूप से घूम रहा है ( $θ = π /2$ ), यह बन जाता है:

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}

यह भी देखें

विमान तरंग विस्तार
घटना का तल

संदर्भ

↑ In most contexts, both the radian and the cycle (or period) are treated as the dimensionless quantity 1, reducing this constant to 2π.

↑ Physics example: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Handbook of Physics. p. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Crystallography example: Vaĭnshteĭn (1994). Modern Crystallography. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
↑ Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). आधुनिक क्रिस्टलोग्राफी. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
↑ Fowles, Grant (1968). आधुनिक प्रकाशिकी का परिचय. Holt, Rinehart, and Winston. p. 177.
↑ "This effect has been explained by Musgrave (1959) who has shown that the energy of an elastic wave in an anisotropic medium will not, in general, travel along the same path as the normal to the plane wavefront ...", Sound waves in solids by Pollard, 1977. link
↑ Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Bloch wave". Fundamental Formulas of Physics, Volume 2 (Reprint of Prentice-Hall 1955 2nd ed.). Courier-Dover. p. 624. ISBN 978-0486605968.
↑ Wolfgang Rindler (1991). "§24 Wave motion". विशेष सापेक्षता का परिचय (2nd ed.). Oxford Science Publications. pp. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

अग्रिम पठन

Brau, Charles A. (2004). Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.

[1] In most contexts, both the radian and the cycle (or period) are treated as the dimensionless quantity 1, reducing this constant to 2π.

[2] Physics example: Harris, Benenson, Stöcker (2002). Handbook of Physics. p. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[3] Crystallography example: Vaĭnshteĭn (1994). Modern Crystallography. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[4] Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). आधुनिक क्रिस्टलोग्राफी. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[fowles-5] Fowles, Grant (1968). आधुनिक प्रकाशिकी का परिचय. Holt, Rinehart, and Winston. p. 177.

[pollard-6] "This effect has been explained by Musgrave (1959) who has shown that the energy of an elastic wave in an anisotropic medium will not, in general, travel along the same path as the normal to the plane wavefront ...", Sound waves in solids by Pollard, 1977. link

[7] Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Bloch wave". Fundamental Formulas of Physics, Volume 2 (Reprint of Prentice-Hall 1955 2nd ed.). Courier-Dover. p. 624. ISBN 978-0486605968.

[8] Wolfgang Rindler (1991). "§24 Wave motion". विशेष सापेक्षता का परिचय (2nd ed.). Oxford Science Publications. pp. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

[lower-alpha 1]

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