हॉसडॉर्फ आयाम

गैर-पूर्णांक आयामों का उदाहरण। कोच हिमपात के पहले चार पुनरावृत्तियों, जहां प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, सभी मूल रेखा खंडों को चार के साथ बदल दिया जाता है, प्रत्येक एक स्व-समान प्रतिलिपि जो मूल की लंबाई 1/3 है। हॉसडॉर्फ आयाम की एक औपचारिकता डी = (लॉग एन)/(लॉग) होने के पहले पुनरावृत्ति के बाद आयाम, डी की गणना करने के लिए स्केल फैक्टर (एस = 3) और स्वयं-समान वस्तुओं की संख्या (एन = 4) का उपयोग करती है। एस) = (लॉग 4)/(लॉग 3) ≈ 1.26।

गणित में, हॉसडॉर्फ आयाम 'खुरदरापन', या अधिक विशेष रूप से, फ्रैक्टल आयाम का एक माप है, जिसे पहली बार 1918 में गणितज्ञ फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा पेश किया गया था। उदाहरण के लिए, एक बिंदु (ज्यामिति) का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा खंड का 1 है, एक वर्ग का 2 है, और एक घन का 3 है। यानी, उन बिंदुओं के सेट के लिए जो एक चिकनी आकृति या एक को परिभाषित करते हैं। आकार जिसमें कोनों की एक छोटी संख्या होती है- पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार- हॉसडॉर्फ आयाम आयाम की सामान्य भावना से सहमत एक पूर्णांक है, जिसे आगमनात्मक आयाम भी कहा जाता है। हालांकि, सूत्र भी विकसित किए गए हैं जो अन्य कम सरल वस्तुओं के आयाम की गणना की अनुमति देते हैं, जहां, केवल स्केलिंग (ज्यामिति) और आत्म-समानता के उनके गुणों के आधार पर, किसी को यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि विशेष वस्तुएं-भग्न सहित - गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हैं। अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच द्वारा अत्यधिक अनियमित या मोटे सेट के लिए आयामों की गणना की अनुमति देने के कारण महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति के कारण, इस आयाम को आमतौर पर हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम के रूप में भी जाना जाता है।

अधिक विशेष रूप से, हॉसडॉर्फ आयाम एक मीट्रिक स्थान से जुड़ी एक आयामी संख्या है, यानी एक सेट जहां सभी सदस्यों के बीच की दूरी परिभाषित की जाती है। आयाम विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से खींचा गया है, ${\overline {\mathbb {R} }}$, आयाम की अधिक सहज धारणा के विपरीत, जो सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान से संबद्ध नहीं है, और केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों में मान लेता है।

गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ आयाम एक वास्तविक सदिश स्थान के आयाम की धारणा को सामान्य करता है। अर्थात्, n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान का हॉसडॉर्फ आयाम n के बराबर होता है। यह पहले के कथन को रेखांकित करता है कि एक बिंदु का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा का एक है, आदि, और उस फ्रैक्टल में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया कोच स्नोफ्लेक एक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को इकाई लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता है, नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग एक नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर इंगित करता है, और इस आधार खंड को फिर से एक अंतिम वस्तु छोड़ने के लिए हटा दिया जाता है। 4 की इकाई लंबाई का पुनरावृति। अर्थात्, पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से बदल दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल के रूप में 1/S = 1/3 है।दूसरे तरीके से कहा गया है, हमने यूक्लिडियन आयाम, डी के साथ एक वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, ताकि इसकी लंबाई बढ़कर एन = एस हो जाए^{डी </सुप>। इस समीकरण को डी के लिए आसानी से हल किया जाता है, आंकड़ों में दिखाई देने वाले लॉगरिदम (या प्राकृतिक लॉगरिदम) के अनुपात की उपज, और कोच और अन्य फ्रैक्टल मामलों में-इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम देना।}

हॉसडॉर्फ आयाम सरल, लेकिन आमतौर पर समकक्ष, बॉक्स-गिनती या मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम का उत्तराधिकारी है।

अंतर्ज्ञान

एक ज्यामितीय वस्तु X के आयाम की सहज अवधारणा स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जिसे किसी को अंदर एक अद्वितीय बिंदु चुनने की आवश्यकता होती है। हालांकि, दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके बजाय एक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि वास्तविक विमान की प्रमुखता वास्तविक रेखा की कार्डिनैलिटी के बराबर है (इसे कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा देखा जा सकता है जिसमें दो नंबरों के अंकों को इंटरविविंग शामिल करना शामिल है) एक ही नंबर एक ही जानकारी को कूटबद्ध करता है)। एक स्थान-भरने वाले वक्र के उदाहरण से पता चलता है कि कोई भी वास्तविक रेखा को वास्तविक तल पर प्रक्षेपित फलन के लिए मैप कर सकता है (एक वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस तरह से लेना कि सभी जोड़े संख्याओं को कवर किया जाए) और लगातार, इसलिए कि एक आयामी वस्तु एक उच्च-आयामी वस्तु को पूरी तरह से भर देती है।

प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं को कई बार हिट करता है और इसमें निरंतर उलटा नहीं होता है। दो आयामों को एक पर इस तरह से मैप करना असंभव है जो निरंतर और लगातार उलटा हो। टोपोलॉजिकल डायमेंशन, जिसे लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों। यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है जैसे कि छोटी खुली गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम एक बिंदु होता है जहाँ n + 1 गेंदें ओवरलैप होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे खुले अंतराल के साथ एक रेखा को कवर करता है, तो कुछ बिंदुओं को दो बार कवर किया जाना चाहिए, आयाम n = 1 देते हुए।

लेकिन टोपोलॉजिकल आयाम एक स्थान के स्थानीय आकार (एक बिंदु के पास आकार) का एक बहुत ही कच्चा माप है। एक वक्र जो लगभग स्थान-भरने वाला है, अभी भी टोपोलॉजिकल आयाम एक हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। एक फ्रैक्टल में एक पूर्णांक टोपोलॉजिकल आयाम होता है, लेकिन अंतरिक्ष की मात्रा के संदर्भ में, यह एक उच्च-आयामी स्थान की तरह व्यवहार करता है।

हॉसडॉर्फ आयाम, अंकों के बीच की दूरी, मीट्रिक स्थान को ध्यान में रखते हुए स्थान के स्थानीय आकार को मापता है। त्रिज्या की गेंद (गणित) की संख्या N(r) पर विचार करें, जो X को पूरी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक है। जब r बहुत छोटा होता है, N(r) 1/r के साथ बहुपद रूप से बढ़ता है। पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किए गए एक्स के लिए, हॉसडॉर्फ आयाम अद्वितीय संख्या डी है जैसे कि एन (आर) 1/आर के रूप में बढ़ता है^d जैसे ही r शून्य के करीब पहुंचता है। अधिक सटीक रूप से, यह मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम | बॉक्स-गिनती आयाम को परिभाषित करता है, जो हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर होता है, जब मूल्य डी विकास दर के बीच एक महत्वपूर्ण सीमा होती है जो अंतरिक्ष को कवर करने के लिए अपर्याप्त होती है, और विकास दर जो अत्यधिक होती है।

उन आकृतियों के लिए जो चिकने हैं, या कम संख्या में कोनों वाली आकृतियों के लिए, पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार, हॉसडॉर्फ आयाम टोपोलॉजिकल आयाम से सहमत एक पूर्णांक है। लेकिन बेनोइट मंडेलब्रोट ने देखा कि फ्रैक्टल, गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयामों के साथ सेट, प्रकृति में हर जगह पाए जाते हैं। उन्होंने देखा कि आपके द्वारा अपने आस-पास दिखाई देने वाली अधिकांश खुरदरी आकृतियों का उचित आदर्शीकरण चिकने आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में नहीं है, बल्कि भग्न आदर्शित आकृतियों के संदर्भ में है:

बादल गोले नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, और छाल चिकनी नहीं है, और न ही बिजली एक सीधी रेखा में यात्रा करती है।

प्रकृति में होने वाले भग्न के लिए, हॉसडॉर्फ और मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम | बॉक्स-गिनती आयाम मेल खाते हैं। पैकिंग आयाम अभी तक एक और समान धारणा है जो कई आकारों के लिए समान मूल्य देता है, लेकिन अच्छी तरह से प्रलेखित अपवाद हैं जहां ये सभी आयाम भिन्न होते हैं।

औपचारिक परिभाषा

Main article: Hausdorff measure

हॉसडॉर्फ आयाम की औपचारिक परिभाषा पहले हॉसडॉर्फ माप को परिभाषित करके प्राप्त की जाती है, जो लेबेस्ग माप का एक भिन्न-आयाम एनालॉग है। सबसे पहले, एक बाहरी माप का निर्माण किया जाता है: मान लीजिए कि X एक मीट्रिक स्थान है। अगर एस एक्स और डी ∈ [0, ∞),

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},$

जहां सभी गणनीय कवरों पर सबसे अधिक लिया जाता है U_iएस। हॉसडॉर्फ बाहरी माप को तब परिभाषित किया जाता है ${\mathcal {H}}^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$, और गैर-मापनीय सेट ों के लिए मानचित्रण का प्रतिबंध इसे एक माप के रूप में सही ठहराता है, जिसे डी-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है।

हॉसडॉर्फ आयाम

हॉसडॉर्फ आयाम $\dim _{\operatorname {H} }{(X)}$ एक्स के द्वारा परिभाषित किया गया है

$\dim _{\operatorname {H} }{(X)}:=\inf\{d\geq 0:{\mathcal {H}}^{d}(X)=0\}.$

यह d ∈ [0, ∞) के समुच्चय के सर्वोच्च के समान है, जैसे कि X का d-आयामी हॉसडॉर्फ माप अनंत है (सिवाय इसके कि जब संख्याओं का यह बाद वाला सेट d खाली होता है तो हॉसडॉर्फ आयाम शून्य होता है)।

हॉसडॉर्फ सामग्री

एस की डी-आयामी 'असीमित हॉसडॉर्फ सामग्री' द्वारा परिभाषित किया गया है

$C_{H}^{d}(S):=H_{\infty }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{k})^{d}:\bigcup _{k=1}^{\infty }U_{k}\supseteq S\right\}$

दूसरे शब्दों में, $C_{H}^{d}(S)$ हौसडॉर्फ माप का निर्माण किया है जहां कवरिंग सेटों को मनमाने ढंग से बड़े आकार की अनुमति है (यहां, हम मानक सम्मेलन का उपयोग करते हैं कि infimum|inf Ø = ∞)। हौसडॉर्फ माप और हौसडॉर्फ सामग्री दोनों का उपयोग एक सेट के आयाम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन यदि सेट का माप गैर-शून्य है, तो उनके वास्तविक मान असहमत हो सकते हैं।

उदाहरण

एक और भग्न उदाहरण का आयाम। सिएरपिंस्की त्रिकोण, लॉग(3)/लॉग(2)≈1.58 के हॉसडॉर्फ आयाम के साथ एक वस्तु।

* गणनीय सेट में हॉसडॉर्फ आयाम 0 है।

• यूक्लिडियन अंतरिक्षⁿ में हॉसडॉर्फ आयाम n है, और वृत्त 'S' है¹ में हॉसडॉर्फ आयाम 1 है।* फ्रैक्टल्स अक्सर ऐसे स्थान होते हैं जिनका हॉसडॉर्फ आयाम सख्ती से टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है।उदाहरण के लिए, कैंटर सेट , एक शून्य-आयामी स्थान |शून्य-आयामी टोपोलॉजिकल स्पेस, स्वयं की दो प्रतियों का एक संघ है, प्रत्येक प्रतिलिपि एक कारक 1/3 से सिकुड़ जाती है; इसलिए, यह दिखाया जा सकता है कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम ln(2)/ln(3) ≈ 0.63 है। सिएरपिंस्की त्रिभुज स्वयं की तीन प्रतियों का एक संघ है, प्रत्येक प्रतिलिपि 1/2 के कारक से सिकुड़ती है; इससे ln(3)/ln(2) ≈ 1.58 का हॉसडॉर्फ आयाम प्राप्त होता है।ये हॉसडॉर्फ आयाम एल्गोरिदम के विश्लेषण में पुनरावृत्ति संबंध को हल करने के लिए मास्टर प्रमेय (एल्गोरिदम का विश्लेषण ) के महत्वपूर्ण घातांक से संबंधित हैं।
• पीनो कर्व्स की तरह स्पेस-फिलिंग कर्व्स में हॉसडॉर्फ आयाम समान होता है, जैसा कि वे स्पेस को भरते हैं।
• आयाम 2 और उससे अधिक में ब्राउनियन गति के प्रक्षेपवक्र को हॉसडॉर्फ आयाम 2 माना जाता है।

[[image:Great Britain Hausdorff.svg|thumb|upright=1.2|ब्रिटेन का तट कितना लंबा है, के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाना? सांख्यिकीय स्व-समानता और भिन्नात्मक आयाम

• लुईस फ्राई रिचर्डसन ने विभिन्न समुद्र तटों के लिए अनुमानित हॉसडॉर्फ आयाम को मापने के लिए विस्तृत प्रयोग किए हैं। उनके परिणाम दक्षिण अफ्रीका के समुद्र तट के लिए 1.02 से लेकर ग्रेट ब्रिटेन के पश्चिमी तट के लिए 1.25 तक भिन्न हैं।

हॉसडॉर्फ आयाम के गुण

हॉसडॉर्फ आयाम और आगमनात्मक आयाम

एक्स को एक मनमाना वियोज्य स्पेस मेट्रिक स्पेस होने दें। एक्स के लिए आगमनात्मक आयाम की एक टोपोलॉजी धारणा है जिसे पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। यह हमेशा एक पूर्णांक (या +∞) होता है और इसे dim . के रूप में दर्शाया जाता है_ind(एक्स)।

'प्रमेय'। मान लीजिए X खाली नहीं है। फिर

$\dim _{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim _{\operatorname {ind} }(X).$

इसके अतिरिक्त,

$\inf _{Y}\dim _{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim _{\operatorname {ind} }(X),$

जहां Y मीट्रिक रिक्त स्थान पर होमोमोर्फिक से X तक होता है। दूसरे शब्दों में, X और Y में बिंदुओं का एक ही अंतर्निहित सेट होता है और मीट्रिक d_Y Y का टोपोलॉजिकल रूप से d . के बराबर है_X.

ये परिणाम मूल रूप से एडवर्ड स्ज़पिलराजन (1907-1976) द्वारा स्थापित किए गए थे, उदाहरण के लिए, ह्यूरविक्ज़ और वॉलमैन, अध्याय VII देखें।

हॉसडॉर्फ आयाम और मिंकोव्स्की आयाम

मिंकोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम के समान है, और कम से कम जितना बड़ा है, और वे कई स्थितियों में समान हैं। हालांकि, [0, 1] में परिमेय संख्या बिंदुओं के सेट में हॉसडॉर्फ आयाम शून्य और मिंकोव्स्की आयाम एक है। ऐसे कॉम्पैक्ट सेट भी हैं जिनके लिए मिंकोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम से सख्ती से बड़ा है।

हॉसडॉर्फ आयाम और फ्रॉस्टमैन उपाय

यदि एक मीट्रिक स्पेस X के बोरेल माप उपसमुच्चय पर परिभाषित एक माप (गणित) μ है, जैसे कि μ(X) > 0 और μ(B(x, r)) r^s कुछ स्थिर s > 0 के लिए और X में प्रत्येक गेंद B(x, r) के लिए होल्ड करता है, फिर मंद_Haus(एक्स) एस। फ्रॉस्टमैन के लेम्मा द्वारा आंशिक बातचीत प्रदान की जाती है।

यूनियनों और उत्पादों के तहत व्यवहार

यदि $X=\bigcup _{i\in I}X_{i}$ एक परिमित या गणनीय संघ है, तो

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).$

इसे सीधे परिभाषा से सत्यापित किया जा सकता है।

यदि एक्स और वाई गैर-रिक्त मीट्रिक रिक्त स्थान हैं, तो उनके उत्पाद का हॉसडॉर्फ आयाम संतुष्ट करता है

$\dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).$

यह असमानता सख्त हो सकती है। आयाम 0 के दो सेट खोजना संभव है जिनके उत्पाद का आयाम 1 है। विपरीत दिशा में, यह ज्ञात है कि जब X और Y 'R' के बोरेल उपसमुच्चय हैं।ⁿ, X × Y का हॉसडॉर्फ आयाम ऊपर से X के हॉसडॉर्फ आयाम और Y के पैकिंग आयाम से घिरा है। इन तथ्यों की चर्चा मैटिला (1995) में की गई है।

स्व-समान सेट

स्व-समानता की स्थिति द्वारा परिभाषित कई सेटों में आयाम होते हैं जिन्हें स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। मोटे तौर पर, एक सेट ई स्व-समान है यदि यह एक सेट-मूल्यवान परिवर्तन ψ का निश्चित बिंदु है, जो कि (ई) = ई है, हालांकि सटीक परिभाषा नीचे दी गई है।

'प्रमेय'। मान लीजिए

$\psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m$

R . पर संकुचन मानचित्रण मानचित्रण हैंⁿ संकुचन स्थिरांक r . के साथ_j<1. फिर एक अद्वितीय गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट सेट ए ऐसा है कि

$A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A).$

प्रमेय स्टीफन बानाच के संविदात्मक मानचित्रण प्रमेय से अनुसरण करता है जो आर के गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूर्ण मीट्रिक स्थान पर लागू होता हैⁿ हॉसडॉर्फ दूरी के साथ।

खुले सेट की स्थिति

Main article: Open set condition

स्व-समान सेट ए (कुछ मामलों में) के आयाम को निर्धारित करने के लिए, हमें संकुचन के अनुक्रम पर एक तकनीकी स्थिति की आवश्यकता होती है जिसे ओपन सेट कंडीशन (ओएससी) कहा जाता है_i.

एक अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट ओपन सेट वी है जैसे कि

$\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,$

जहां बाईं ओर संघ में सेट जोड़ीदार असंबद्ध सेट हैं।

खुले सेट की स्थिति एक पृथक्करण स्थिति है जो छवियों को सुनिश्चित करती है_i(वी) बहुत अधिक ओवरलैप न करें।

'प्रमेय'। मान लीजिए कि खुले सेट की स्थिति है और प्रत्येक_i एक समानता है, जो किसी बिंदु के चारों ओर एक आइसोमेट्री और एक फैलाव (मीट्रिक स्पेस) की संरचना है। तब का अद्वितीय निश्चित बिंदु एक ऐसा समुच्चय है जिसका हॉसडॉर्फ आयाम s है जहाँ s का अद्वितीय हल है

$\sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.$

एक समानता का संकुचन गुणांक फैलाव का परिमाण है।

सामान्य तौर पर, एक सेट ई जो मानचित्रण का एक निश्चित बिंदु है

$A\mapsto \psi (A)=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)$

स्व-समान है यदि और केवल यदि चौराहों

$H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,$

जहाँ s E और H . का हॉसडॉर्फ आयाम है^s हॉसडॉर्फ माप को दर्शाता है। यह सीरपिंस्की गैसकेट के मामले में स्पष्ट है (चौराहे सिर्फ बिंदु हैं), लेकिन यह भी अधिक आम तौर पर सच है:

'प्रमेय'। पिछले प्रमेय के समान शर्तों के तहत, का अद्वितीय निश्चित बिंदु स्व-समान है।

यह भी देखें

• हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा भग्नों की सूची नियतात्मक भग्न, यादृच्छिक और प्राकृतिक भग्न के उदाहरण।
• असौड आयाम, फ्रैक्टल आयाम का एक और रूपांतर, जो हॉसडॉर्फ आयाम की तरह, गेंदों द्वारा कवरिंग का उपयोग करके परिभाषित किया गया है
• आंतरिक आयाम
• पैकिंग आयाम
• भग्न आयाम

अग्रिम पठन

• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (June 12, 2003). "Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation". Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 72. pp. 305–347. arXiv:math/0305399. Bibcode:2003math......5399D. doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378. S2CID 119613948.
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1948). Dimension Theory. Princeton University Press.
• E. Szpilrajn (1937). "La dimension et la mesure". Fundamenta Mathematicae. 28: 81–9. doi:10.4064/fm-28-1-81-89.
• Marstrand, J. M. (1954). "The dimension of cartesian product sets". Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236. S2CID 122475292.
• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8.
• A. S. Besicovitch (1929). "On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions". Mathematische Annalen. 101 (1): 161–193. doi:10.1007/BF01454831. S2CID 125368661.
• A. S. Besicovitch; H. D. Ursell (1937). "Sets of Fractional Dimensions". Journal of the London Mathematical Society. 12 (1): 18–25. doi:10.1112/jlms/s1-12.45.18.
  Several selections from this volume are reprinted in Edgar, Gerald A. (1993). Classics on fractals. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7. See chapters 9,10,11
• F. Hausdorff (March 1919). "Dimension und äußeres Maß" (PDF). Mathematische Annalen. 79 (1–2): 157–179. doi:10.1007/BF01457179. hdl:10338.dmlcz/100363. S2CID 122001234.
• Hutchinson, John E. (1981). "Fractals and self similarity". Indiana Univ. Math. J. 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.
• Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). John Wiley and Sons.

बाहरी संबंध

• Hausdorff dimension at Encyclopedia of Mathematics
• Hausdorff measure at Encyclopedia of Mathematics