न्यूनतम-वर्ग समायोजन

न्यूनतम-वर्ग समायोजन, न्यूनतम वर्ग अवलोकन अवशेष के सिद्धांत पर आधारित, समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान हेतु एक प्रारूप है। इसका उपयोग व्यापक रूप से सर्वेक्षण, भूगणित और फोटोग्राममिति में, सर्वसमावेशी रूप से किया जाता है।

सूत्रीकरण

न्यूनतम वर्ग समायोजन के तीन रूप हैं: प्राचलिक, औपबंधिक और संयुक्त:

• 'प्राचलिक समायोजन' में, कोई अवलोकन समीकरण h(X)=Y प्राप्त कर सकता है जो स्पष्ट रूप से मानदंड X के संदर्भ में अवलोकन Y से संबंधित है (जिससे A-मॉडल का निर्माण होता है)।
• औपबंधिक समायोजन में, एक औपबंधिक समीकरण होता है जिसमें केवल अवलोकन Y संबंधित होते हैं और इसमें कोई पैरामीटर X नहीं होता है, जो इसे g(Y)=0 रूप में प्रकट करता है (जिससे B-मॉडल का निर्माण होता है)।
• संयुक्त समायोजन में, न सिर्फ पैरामीटर X बल्कि अवलोकन Y भी मिश्रित मॉडल समीकरण f(X,Y)=0 में निहित रूप से सम्मिलित होते हैं। इस समीकरण के माध्यम से दोनों पैरामीटर और अवलोकनों के बीच संबंध का समाधान किया जाता है।

स्पष्ट रूप से, प्राचलिक और औपबंधिक समायोजन अधिक सामान्य संयुक्त परिप्रेक्ष्य के अनुरूप होते हैं जब क्रमशः f(X,Y)=h(X)-Y और f(X,Y)=g(Y)। फिर भी विशेष परिप्रेक्ष्य में सरल समाधान की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे बताया गया है। प्रायः साहित्य में, Y को L से दर्शाया जा सकता है।

समाधान

उपरोक्त समानताएँ केवल अनुमानित मापदंडों के लिए मान्य हैं ${\hat {X}}$ और अवलोकन ${\hat {Y}}$, इस प्रकार $f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0$. इसके विपरीत, मापे गए अवलोकन ${\tilde {Y}}$ और अनुमानित पैरामीटर ${\tilde {X}}$ एक गैर-शून्य गलत प्रकटीकरण उत्पन्न करें:

${\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).$

कोई समीकरणों के टेलर श्रृंखला विस्तार के लिए आगे बढ़ सकता है, जिसके परिणामस्वरूप जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक या डिजाइन मैट्रिक्स होता है: पहला,

$A=\partial {f}/\partial {X};$

और दूसरा,

$B=\partial {f}/\partial {Y}.$

रेखीयकृत मॉडल तब पढ़ता है:

${\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,$

कहाँ ${\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}$ प्राथमिक मानों के लिए अनुमानित पैरामीटर सुधार हैं, और ${\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}$ आँकड़ों में पोस्ट-फिट अवलोकन त्रुटियाँ और अवशेष हैं।

प्राचलिक समायोजन में, दूसरा डिज़ाइन मैट्रिक्स एक पहचान है, बी = -आई, और मिसक्लोजर वेक्टर को पूर्व-फिट अवशेषों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, ${\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}$, इसलिए सिस्टम सरल हो जाता है:

$A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\tilde {y}},$

जो साधारण न्यूनतम वर्ग के रूप में है। औपबंधिक समायोजन में, पहला डिज़ाइन मैट्रिक्स शून्य है, A=0। अधिक सामान्य मामलों के लिए, लैग्रेंज गुणक को दो जैकोबियन मैट्रिक्स से संबंधित करने के लिए पेश किया गया है, और बाधा (गणित) न्यूनतम वर्ग समस्या को एक अप्रतिबंधित (यद्यपि एक बड़ा) में बदल दिया गया है। किसी भी मामले में, उनके हेरफेर की ओर जाता है ${\hat {X}}$ और ${\hat {Y}}$ वैक्टर के साथ-साथ संबंधित पैरामीटर और पोस्टीरियर कोवेरिएंस मैट्रिसेस का अवलोकन।

गणना

उपरोक्त आव्यूहों और सदिशों को देखते हुए, उनका समाधान मानक न्यूनतम-वर्ग विधियों के माध्यम से पाया जाता है; उदाहरण के लिए, सामान्य मैट्रिक्स बनाना और चोलेस्की अपघटन को लागू करना, क्यूआर फैक्टराइजेशन को सीधे जैकोबियन मैट्रिक्स पर लागू करना, बहुत बड़ी प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त तरीके आदि।

अनुप्रयोग

• लेवलिंग, ट्रैवर्स (सर्वेक्षण), और नियंत्रण नेटवर्क
• बंडल समायोजन
• त्रिकोणीकरण, त्रिपुंजीकरण, विकट:त्रिकोणीकरण
• GPS /जीएनएसएस स्थिति
• हेल्मर्ट परिवर्तन

संबंधित अवधारणाएँ

• प्राचलिक समायोजन अधिकांश प्रतिगमन विश्लेषण के समान है और गॉस-मार्कोव मॉडल के साथ मेल खाता है
• संयुक्त समायोजन, जिसे गॉस-हेल्मर्ट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है (जर्मन गणितज्ञों/जियोडेसिस्ट कार्ल फ्रेडरिक गॉस|सी.एफ. गॉस और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट|एफ.आर. हेल्मर्ट के नाम पर), त्रुटि-में-चर मॉडल और कुल न्यूनतम वर्गों से संबंधित है। रेफरी नाम = शेफ़रिन&स्नो2010 >Schaffrin, Burkhard; Snow, Kyle (2010). "टाइखोनोव प्रकार का टोटल लीस्ट-स्क्वायर नियमितीकरण और कोरिंथ में एक प्राचीन रेसट्रैक". Linear Algebra and Its Applications. Elsevier BV. 432 (8): 2061–2076. doi:10.1016/j.laa.2009.09.014. ISSN 0024-3795.</ref>
• प्राथमिक पैरामीटर सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग तिखोनोव नियमितीकरण के समान है

एक्सटेंशन

यदि रैंक की कमी का सामना करना पड़ता है, तो इसे प्रायः अतिरिक्त समीकरणों को सम्मिलित करके मापदंडों और/या टिप्पणियों पर बाधाएं डालकर ठीक किया जा सकता है, जिससे न्यूनतम वर्ग सीमित हो जाते हैं।

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