मॉर्ले रैंक

गणितीय तर्क में, मॉर्ले रैंक, द्वारा प्रस्तुत किया गया Michael D. Morley (1965), एक सिद्धांत (तर्क) के मॉडल सिद्धांत के सबसेट के आकार को मापने का एक साधन है, जो बीजगणितीय ज्यामिति में आयाम की धारणा को सामान्य बनाता है।

परिभाषा

मॉडल एम के साथ एक सिद्धांत टी को ठीक करें। सूत्र φ की मॉर्ले रैंक एक निश्चित सेट को परिभाषित करती है | एम के निश्चित (मापदंडों के साथ) उपसमुच्चय एस एक क्रमसूचक संख्या या −1 या ∞ है, जिसे पहले पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करके परिभाषित किया गया है कि कुछ क्रमसूचक α के लिए मॉर्ले को कम से कम α रैंक देने के सूत्र के लिए इसका क्या अर्थ है।

• यदि S गैर-रिक्त है तो मॉर्ले रैंक कम से कम 0 है।
• α के उत्तराधिकारी क्रमसूचक के लिए, मॉर्ले रैंक कम से कम α है यदि एम के कुछ प्राथमिक विस्तार एन में, सेट एस में अनगिनत असीमित निश्चित उपसमुच्चय एस हैं_i, प्रत्येक रैंक कम से कम α − 1 है।
• α के लिए एक गैर-शून्य सीमा क्रमसूचक, मॉर्ले रैंक कम से कम α है यदि यह α से कम सभी β के लिए कम से कम β है।

मॉर्ले रैंक को तब α के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि यह कम से कम α है लेकिन कम से कम α + 1 नहीं है, और इसे ∞ के रूप में परिभाषित किया गया है यदि यह सभी ऑर्डिनल्स α के लिए कम से कम α है, और यदि S खाली है तो इसे −1 के रूप में परिभाषित किया गया है।

मॉडल एम (सूत्र φ द्वारा परिभाषित) के एक निश्चित उपसमुच्चय के लिए मॉर्ले रैंक को किसी भी ℵ में φ की मॉर्ले रैंक के रूप में परिभाषित किया गया है।₀-संतृप्त मॉडल एम का प्राथमिक विस्तार। विशेष रूप से ℵ के लिए₀-संतृप्त मॉडल में उपसमुच्चय की मॉर्ले रैंक उपसमुच्चय को परिभाषित करने वाले किसी भी सूत्र की मॉर्ले रैंक होती है।

यदि S को परिभाषित करने वाले φ की रैंक α है, और S रैंक α के n < ω सबसेट से अधिक में नहीं टूटता है, तो φ को 'मॉर्ले डिग्री' n कहा जाता है। एक परिमित समुच्चय को परिभाषित करने वाले सूत्र में मॉर्ले रैंक 0 है। मॉर्ले रैंक 1 और मॉर्ले डिग्री 1 वाले सूत्र को दृढ़तापूर्वक न्यूनतम सिद्धांत कहा जाता है। 'दृढ़ता से न्यूनतम' संरचना वह है जहां तुच्छ सूत्र x = x दृढ़ता से न्यूनतम है। मॉर्ले रैंक और दृढ़ता से न्यूनतम संरचनाएं मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण और मॉडल सैद्धांतिक स्थिरता सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत) के बड़े क्षेत्र में महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

उदाहरण

• खाली सेट में मॉर्ले रैंक -1 है, और इसके विपरीत मॉर्ले रैंक -1 में से कुछ भी खाली है।
• एक उपसमुच्चय में मॉर्ले रैंक 0 है यदि और केवल यदि यह परिमित और गैर-रिक्त है।
• यदि V, K में एक बीजगणितीय समुच्चय हैⁿ, बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड K के लिए, तो V का मॉर्ले रैंक इसके सामान्य क्रुल आयाम के समान है। वी की मॉर्ले डिग्री अधिकतम आयाम के अपरिवर्तनीय घटकों की संख्या है; यह इसकी डिग्री (बीजगणितीय ज्यामिति) के समान नहीं है, सिवाय इसके कि जब इसके अधिकतम आयाम के घटक रैखिक स्थान हों।
• तर्कसंगत संख्याएँ, जिन्हें एक क्रमबद्ध सेट माना जाता है, में मॉर्ले रैंक ∞ है, क्योंकि इसमें स्वयं के लिए आइसोमोर्फिक निश्चित उपसमुच्चय का एक गणनीय असंयुक्त संघ शामिल है।

यह भी देखें

• चेर्लिन-ज़िल्बर अनुमान
• परिमित मॉर्ले रैंक का समूह
• यू-रैंक

संदर्भ

• Alexandre Borovik, Ali Nesin, "Groups of finite Morley rank", Oxford Univ. Press (1994)
• B. Hart Stability theory and its variants (2000) pp. 131–148 in Model theory, algebra and geometry, edited by D. Haskell et al., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Cambridge Univ. Press, New York, 2000. Contains a formal definition of Morley rank.
• David Marker Model Theory of Differential Fields (2000) pp. 53–63 in Model theory, algebra and geometry, edited by D. Haskell et al., Math. Sci. Res. Inst. Publ. 39, Cambridge Univ. Press, New York, 2000.
• Morley, M.D. (1965), "Categoricity in power", Trans. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 114 (2): 514–538, doi:10.2307/1994188, JSTOR 1994188
• Pillay, Anand (2001) [1994], "Group of finite Morley rank", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Pillay, Anand (2001) [1994], "मॉर्ले रैंक", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press