लॉगिट

0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में, लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में है |

गणितीय रूप से लॉगिट, लॉजिस्टिक फंक्शन$\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$ का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)$.

इस वजह से, लॉगिट को लॉग-ऑड्स भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक ${\frac {p}{1-p}}$ के बराबर है जहां p एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो $(0,1)$वास्तविक संख्याओं में $(-\infty ,+\infty )$, प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।

परिभाषा

यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:

$\operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1)$

वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है,जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार ई के साथ प्राकृतिक लघुगणक e सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक शैनन (इकाई), आधारe एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई) के सामान होता है ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इनआधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।

किसी भी संख्या $\alpha$ का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-logit द्वारा दिया गया है

$\operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+\operatorname {exp} (-\alpha )}}={\frac {\operatorname {exp} (\alpha )}{\operatorname {exp} (\alpha )+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}$

दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात (R) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है:

$\operatorname {ln} (R)=\ln \left({\frac {{p_{1}}/(1-p_{1})}{{p_{2}}/(1-p_{2})}}\right)=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.$

इतिहास

रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में अनुकूलित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां आउटपुट एक संभाव्यता मान है, $(0,1)$, किसी वास्तविक संख्या के बजाय $(-\infty ,+\infty )$. कई मामलों में, ऐसे प्रयासों ने सीमा का मानचित्रण करके इस समस्या के मॉडलिंग पर ध्यान केंद्रित किया है $(0,1)$ को $(-\infty ,+\infty )$ और फिर इन परिवर्तित मूल्यों पर रैखिक प्रतिगमन चलाना। 1934 में चेस्टर इटनर ब्लिस ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभाव्यता इकाई का संक्षिप्त नाम कहा;। हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में, जोसेफ बर्कसन ने ऑड्स के लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा, प्रोबिट के सादृश्य के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम:

I use this term [logit] for $\ln p/q$ following Bliss, who called the analogous function which is linear on $x$ for the normal curve "probit."

लॉग ऑड्स का उपयोग चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था। 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने आमतौर पर इस्तेमाल होने वाला शब्द लॉग-ऑड्स गढ़ा; किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की संभावना का लॉगिट है। बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के एक अमूर्त रूप के रूप में लॉड्स शब्द भी गढ़ा, लेकिन सुझाव दिया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द का सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह रोजमर्रा की जिंदगी में अधिक परिचित है।

उपयोग और गुण

• संभार तन्त्र परावर्तन में लॉगिट एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष मामला है: यह बर्नौली वितरण के लिए कैनोनिकल लिंक फंक्शन है।
• लॉगिट फंक्शन बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन के व्युत्पन्न का नकारात्मक है।
• लॉगिट माप के लिए संभाव्य तीव्र मॉडल का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
• व्युत्क्रम-लॉगिट फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक फंक्शन) को कभी-कभी एक्सपिट फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।
• पादप रोग महामारी विज्ञान में डेटा को लॉजिस्टिक मॉडल में फिट करने के लिए लॉगिट का उपयोग किया जाता है। गोम्पर्ट्ज़ और मोनोमोलेक्यूलर मॉडल के साथ तीनों को रिचर्ड्स परिवार मॉडल के रूप में जाना जाता है।
• संभावनाओं का लॉग-ऑड्स फंक्शन अक्सर राज्य अनुमान एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है छोटी संभावनाओं के मामले में इसके संख्यात्मक लाभ के कारण। बहुत छोटी फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याओं को गुणा करने के बजाय, लॉग-ऑड्स संभावनाओं को केवल (लॉग-ऑड्स) संयुक्त संभावना की गणना करने के लिए सारांशित किया जा सकता है।

प्रोबिट के साथ तुलना

स्केल्ड प्रोबिट (यानी सामान्य वितरण का व्युत्क्रम संचयी वितरण फंक्शन) के साथ लॉगिट फंक्शन की तुलना, तुलना $\operatorname {logit} (x)$ बनाम ${\tfrac {\Phi ^{-1}(x)}{\,{\sqrt {\pi /8\,}}\,}}$, जो ढलानों को समान बनाता है y-मूल।

से निकटता से संबंधित है logit फंक्शन (और लॉगिट मॉडल) प्रोबिट फंक्शन और प्रोबिट मॉडल हैं। वह logit और probit दोनों सिग्मॉइड फंक्शन हैं जिनका डोमेन 0 और 1 के बीच है, जो उन दोनों को क्वांटाइल फंक्शन बनाता है - यानी, संभाव्यता वितरण के संचयी वितरण फंक्शन (सीडीएफ) के व्युत्क्रम। वास्तव में, logit लॉजिस्टिक वितरण का मात्रात्मक कार्य है, जबकि probit सामान्य वितरण का मात्रात्मक फलन है। वह probit फंक्शन दर्शाया गया है $\Phi ^{-1}(x)$, कहाँ $\Phi (x)$ मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण कार्य है, जैसा कि अभी बताया गया है:

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy.$

जैसा कि दाईं ओर ग्राफ़ में दिखाया गया है logit और probit फ़ंक्शंस बेहद समान होते हैं जब probit फंक्शन को स्केल किया गया है, ताकि इसका ढलान हो y = 0 के ढलान से मेल खाता है logit. परिणामस्वरूप, कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।

यह भी देखें

• सिग्मॉइड फंक्शन, लॉगिट फंक्शन का व्युत्क्रम
• बाइनरी लॉगिट, मल्टीनोमियल लॉगिट, कंडीशनल लॉगिट, नेस्टेड लॉगिट, मिक्स्ड लॉगिट, एक्सप्लोडेड लॉगिट और ऑर्डर किए गए लॉगिट पर अलग विकल्प
• सीमित आश्रित चर
• डेनियल मैकफैडेन, अर्थशास्त्र में प्रयुक्त एक विशेष लॉगिट मॉडल के विकास के लिए अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार विजेता* मार्केटिंग में लॉगिट विश्लेषण
• बहुपद लॉगिट
• द्विज्या, समान आकृति वाला वक्र
• परसेप्ट्रॉन
• प्रोबिट, लॉगिट के समान डोमेन और रेंज वाला एक अन्य फंक्शन
• सवारी स्कोरिंग
• डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)
• आर्कसिन (परिवर्तन)
• तीव्र मॉडल

वेबलिंक

• Which-link-function-logit-probit-or-cloglog/ कौन सा लिंक फंक्शन - लॉगिट, प्रोबिट, या क्लॉलॉग? 12.04.2023

संदर्भ

• Berkson, Joseph (1944). "Application of the Logistic Function to Bio-Assay". Journal of the American Statistical Association. 39 (227 (September)): 357–365. doi:10.2307/2280041. JSTOR 2280041.
• Barnard, George Alfred (1949). "Statistical Inference". Journal of the Royal Statistical Society. B. 11 (2): 115–149. JSTOR 2984075.

अग्रिम पठन

• Ashton, Winifred D. (1972). The Logit Transformation: with special reference to its uses in Bioassay. Griffin's Statistical Monographs & Courses. Vol. 32. Charles Griffin. ISBN 978-0-85264-212-2.