ल्यपुनोव स्थिरता

This article is about asymptotic stability of nonlinear systems. For stability of linear systems, see exponential stability.

गतिशील प्रणालियों का वर्णन करने वाले [[अंतर समीकरण]]ों या अंतर समीकरणों के समाधान के लिए विभिन्न प्रकार के स्थिरता सिद्धांत पर चर्चा की जा सकती है। सबसे महत्वपूर्ण प्रकार संतुलन के बिंदु के निकट समाधानों की स्थिरता से संबंधित है। इस पर अलेक्जेंडर ल्यपुनोव के सिद्धांत से चर्चा की जा सकती है। सरल शब्दों में, यदि समाधान संतुलन बिंदु के पास शुरू होते हैं $x_{e}$ पास रहो $x_{e}$ तो हमेशा के लिए $x_{e}$ ल्यपुनोव स्थिर है। और अधिक मजबूती से, यदि $x_{e}$ ल्यपुनोव स्थिर है और सभी समाधान जो निकट से शुरू होते हैं $x_{e}$ में जुटना $x_{e}$, तब $x_{e}$ एसिम्प्टोटिक रूप से स्थिर कहा जाता है (एसिम्प्टोटिक विश्लेषण देखें)। घातांकीय स्थिरता की धारणा क्षय की न्यूनतम दर की गारंटी देती है, यानी, यह अनुमान लगाती है कि समाधान कितनी जल्दी अभिसरण होते हैं। ल्यपुनोव स्थिरता के विचार को अनंत-आयामी कई गुना तक बढ़ाया जा सकता है, जहां इसे संरचनात्मक स्थिरता के रूप में जाना जाता है, जो अंतर समीकरणों के विभिन्न लेकिन निकटवर्ती समाधानों के व्यवहार से संबंधित है। इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता (आईएसएस) इनपुट वाले सिस्टम पर ल्यपुनोव धारणाओं को लागू करता है।

इतिहास

लायपुनोव स्थिरता का नाम रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर मिखाइलोविच ल्यपुनोव के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1892 में खार्कोव विश्वविद्यालय में गति की स्थिरता की सामान्य समस्या थीसिस का बचाव किया था। ए. एम. लायपुनोव संतुलन के बिंदुओं के बारे में उन्हें रैखिक बनाने की व्यापक रूप से फैली स्थानीय पद्धति की तुलना करके गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों की स्थिरता के विश्लेषण के लिए वैश्विक दृष्टिकोण विकसित करने के सफल प्रयासों में अग्रणी थे। उनका काम, जो शुरू में रूसी में प्रकाशित हुआ और फिर फ्रेंच में अनुवादित हुआ, कई वर्षों तक बहुत कम ध्यान दिया गया। ए.एम. लायपुनोव द्वारा स्थापित गति की स्थिरता के गणितीय सिद्धांत ने विज्ञान और प्रौद्योगिकी में इसके कार्यान्वयन के लिए काफी समय का अनुमान लगाया था। इसके अलावा लायपुनोव ने स्वयं इस क्षेत्र में आवेदन नहीं किया, उनकी रुचि खगोलीय अनुप्रयोग के साथ घूर्णनशील द्रव द्रव्यमान की स्थिरता में थी। उनके पास कोई डॉक्टरेट छात्र नहीं थे जो स्थिरता के क्षेत्र में अनुसंधान का अनुसरण करते थे और 1918 में उनकी आत्महत्या के कारण उनका अपना भाग्य बहुत दुखद था।. कई दशकों तक स्थिरता का सिद्धांत पूरी तरह से गुमनामी में डूब गया। 1930 के दशक में कज़ान एविएशन इंस्टीट्यूट में काम करने वाले रूसी-सोवियत गणितज्ञ और मैकेनिक निकोले गुरयेविच चेतेव पहले व्यक्ति थे जिन्होंने ए.एम. ल्यपुनोव द्वारा की गई खोज की अविश्वसनीय परिमाण को महसूस किया था। सिद्धांत में योगदान एन.जी.चेतेव द्वारा किया गया इतना महत्वपूर्ण था कि कई गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और इंजीनियर उन्हें ल्यपुनोव का प्रत्यक्ष उत्तराधिकारी और स्थिरता के गणितीय सिद्धांत के निर्माण और विकास में अगला वैज्ञानिक वंशज मानते हैं।

शीत युद्ध (1953-62) की अवधि के दौरान इसमें रुचि अचानक बढ़ गई जब ल्यपुनोव की तथाकथित दूसरी विधि (नीचे देखें) को एयरोस्पेस मार्गदर्शन प्रणालियों की स्थिरता के लिए लागू पाया गया, जिसमें आम तौर पर मजबूत गैर-रैखिकताएं होती हैं जो अन्य तरीकों से इलाज योग्य नहीं होती हैं। नियंत्रण और सिस्टम साहित्य में तब और उसके बाद से बड़ी संख्या में प्रकाशन सामने आए। हाल ही में ल्यपुनोव प्रतिपादक की अवधारणा (स्थिरता पर चर्चा करने की ल्यपुनोव की पहली विधि से संबंधित) को अराजकता सिद्धांत के संबंध में व्यापक रुचि मिली है। ट्रैफ़िक असाइनमेंट समस्याओं में संतुलन समाधान खोजने के लिए ल्यपुनोव स्थिरता विधियों को भी लागू किया गया है।

निरंतर-समय प्रणालियों के लिए परिभाषा

स्वायत्त प्रणाली (गणित) अरेखीय गतिशील प्रणाली पर विचार करें

${\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}$,

कहाँ $x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ राज्य अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व को दर्शाता है, ${\mathcal {D}}$ खुला सेट जिसमें मूल शामिल है, और $f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ पर सतत सदिश क्षेत्र है ${\mathcal {D}}$. कल्पना करना $f$ पर संतुलन है $x_{e}$ ताकि $f(x_{e})=0$ तब

1. इस संतुलन को ल्यपुनोव स्थिर कहा जाता है, यदि, प्रत्येक के लिए $\epsilon >0$, वहाँ मौजूद है $\delta >0$ ऐसा कि, यदि $\|x(0)-x_{e}\|<\delta$, फिर प्रत्येक के लिए $t\geq 0$ अपने पास $\|x(t)-x_{e}\|<\epsilon$.
2. उपरोक्त प्रणाली का संतुलन स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर कहा जाता है यदि यह ल्यपुनोव स्थिर है और मौजूद है $\delta >0$ ऐसे कि अगर $\|x(0)-x_{e}\|<\delta$, तब $\lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0$.
3. उपरोक्त प्रणाली के संतुलन को चरघातांकीय रूप से स्थिर कहा जाता है यदि यह स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है और मौजूद है $\alpha >0,\beta >0,\delta >0$ ऐसे कि अगर $\|x(0)-x_{e}\|<\delta$, तब $\|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}$, सभी के लिए $t\geq 0$.

वैचारिक रूप से, उपरोक्त शब्दों के अर्थ निम्नलिखित हैं:

1. ल्यपुनोव संतुलन की स्थिरता का मतलब है कि समाधान संतुलन के काफी करीब (दूरी के भीतर) शुरू होते हैं $\delta$ इससे) हमेशा के लिए काफी करीब (दूरी के भीतर) बने रहते हैं $\epsilon$ यह से)। ध्यान दें कि यह किसी के लिए भी सत्य होना चाहिए $\epsilon$ जिसे कोई चुनना चाहेगा।
2. एसिम्प्टोटिक स्थिरता का मतलब है कि जो समाधान काफी करीब से शुरू होते हैं वे न केवल काफी करीब रहते हैं बल्कि अंततः संतुलन में आ जाते हैं।
3. घातीय स्थिरता का अर्थ है कि समाधान न केवल अभिसरित होते हैं, बल्कि वास्तव में विशेष ज्ञात दर से अधिक या कम से कम उतनी ही तेजी से अभिसरण होते हैं $\alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}$.

प्रक्षेप पथ$x(t)=\phi (t)$(स्थानीय रूप से) आकर्षक है यदि

$\|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0$ जैसा $t\rightarrow \infty$

सभी प्रक्षेप पथों के लिए $x(t)$ वह काफी करीब से शुरू होता है $\phi (t)$, और विश्व स्तर पर आकर्षक है यदि यह संपत्ति सभी प्रक्षेप पथों के लिए है।

अर्थात्, यदि x इसके स्थिर अनेक गुना के आंतरिक भाग से संबंधित है, तो यह आकर्षक और स्थिर होने पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है। (ऐसे उदाहरण हैं जो दिखाते हैं कि आकर्षण का अर्थ स्पर्शोन्मुख स्थिरता नहीं है। होमोक्लिनिक कक्षा का उपयोग करके ऐसे उदाहरण बनाना आसान है।)

यदि जेकोबियन मैट्रिक्स और संतुलन पर गतिशील प्रणाली का निर्धारक हर्विट्ज़ मैट्रिक्स#हर्विट्ज़ स्थिर मैट्रिक्स होता है (यानी, यदि प्रत्येक आइगेनवैल्यू का वास्तविक हिस्सा सख्ती से नकारात्मक है), तो संतुलन असम्बद्ध रूप से स्थिर है।

विचलन की प्रणाली

केवल संतुलन बिंदु ( स्थिर समाधान) के निकट स्थिरता पर विचार करने के बजाय $x(t)=x_{e}$), कोई मनमाना समाधान के निकट स्थिरता की समान परिभाषाएँ तैयार कर सकता है $x(t)=\phi (t)$. हालाँकि, कोई अधिक सामान्य स्थिति को चरों में परिवर्तन द्वारा संतुलन की स्थिति तक कम कर सकता है जिसे विचलन प्रणाली कहा जाता है। परिभाषित करना $y=x-\phi (t)$, अंतर समीकरण का पालन करना:

${\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)$.

यह अब स्वायत्त प्रणाली नहीं है, लेकिन इसमें गारंटीशुदा संतुलन बिंदु है $y=0$ जिसकी स्थिरता मूल समाधान की स्थिरता के बराबर है $x(t)=\phi (t)$.

लायपुनोव की स्थिरता के लिए दूसरी विधि

लायपुनोव ने अपने मूल 1892 के काम में, दो अभिसरण प्रमाण तकनीकों का प्रस्ताव रखा।पहली विधि ने श्रृंखला में समाधान विकसित किया जो तब सीमाओं के भीतर अभिसरण साबित हुआ। दूसरी विधि, जिसे अब ल्यपुनोव स्थिरता मानदंड या प्रत्यक्ष विधि के रूप में जाना जाता है, ल्यपुनोव फ़ंक्शन वी (्स) का उपयोग करती है जिसमें शास्त्रीय गतिशीलता के संभावित फ़ंक्शन का सादृश्य होता है। इसे सिस्टम के लिए निम्नानुसार प्रस्तुत किया गया है ${\dot {x}}=f(x)$ संतुलन का बिंदु होना $x=0$. फ़ंक्शन पर विचार करें $V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ ऐसा है कि

• $V(x)=0$ अगर और केवल अगर $x=0$
• $V(x)>0$ अगर और केवल अगर $x\neq 0$
• ${\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0$ के सभी मूल्यों के लिए $x\neq 0$ . नोट: स्पर्शोन्मुख स्थिरता के लिए, ${\dot {V}}(x)<0$ के लिए $x\neq 0$ आवश्यक है।

तब V(x) को ल्यपुनोव समारोह कहा जाता है और सिस्टम ल्यपुनोव के अर्थ में स्थिर है। (ध्यान दें कि $V(0)=0$ आवश्यक है; अन्यथा उदाहरण के लिए $V(x)=1/(1+|x|)$ यह साबित कर देंगे ${\dot {x}}(t)=x$ स्थानीय रूप से स्थिर है।) वैश्विक स्थिरता का निष्कर्ष निकालने के लिए उचितता या रेडियल अनबाउंडनेस नामक अतिरिक्त स्थिति की आवश्यकता होती है। वैश्विक स्पर्शोन्मुख स्थिरता (जीएएस) भी इसी प्रकार चलती है।

भौतिक प्रणाली (जैसे कंपन वसंत और द्रव्यमान) के बारे में सोचकर और ऐसी प्रणाली की ऊर्जा पर विचार करके विश्लेषण की इस पद्धति की कल्पना करना आसान है। यदि सिस्टम समय के साथ ऊर्जा खो देता है और ऊर्जा कभी बहाल नहीं होती है तो अंततः सिस्टम को रुकना होगा और कुछ अंतिम विश्राम अवस्था में पहुंचना होगा। इस अंतिम अवस्था को आकर्षणकर्ता कहा जाता है। हालाँकि, ऐसा फ़ंक्शन ढूंढना जो भौतिक प्रणाली की सटीक ऊर्जा देता है, मुश्किल हो सकता है, और अमूर्त गणितीय प्रणालियों, आर्थिक प्रणालियों या जैविक प्रणालियों के लिए, ऊर्जा की अवधारणा लागू नहीं हो सकती है।

ल्यपुनोव का एहसास था कि वास्तविक भौतिक ऊर्जा के ज्ञान की आवश्यकता के बिना स्थिरता साबित की जा सकती है, बशर्ते उपरोक्त बाधाओं को पूरा करने के लिए ल्यपुनोव फ़ंक्शन पाया जा सके।

असतत-समय प्रणालियों के लिए परिभाषा

असतत-समय प्रणालियों की परिभाषा निरंतर-समय प्रणालियों के लगभग समान है। नीचे दी गई परिभाषा इसे प्रदान करती है, आमतौर पर अधिक गणितीय पाठों में उपयोग की जाने वाली वैकल्पिक भाषा का उपयोग करते हुए।

मान लीजिए (X, d) मीट्रिक स्थान है और f : X → X सतत फलन है। X में बिंदु x को 'ल्यपुनोव स्थिर' कहा जाता है, यदि,

$\forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].$

हम कहते हैं कि x 'स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर' है यदि यह इसके स्थिर मैनिफोल्ड के आंतरिक भाग से संबंधित है, अर्थात यदि,

$\exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].$

रैखिक राज्य अंतरिक्ष मॉडल के लिए स्थिरता

रैखिक राज्य स्थान (नियंत्रण) मॉडल

${\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}$,

कहाँ $A$ परिमित मैट्रिक्स है, स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर है (वास्तव में, घातीय स्थिरता) यदि eigenvalues ​​​​के सभी वास्तविक भाग $A$ नकारात्मक हैं. यह शर्त निम्नलिखित के बराबर है:

$A^{\textsf {T}}M+MA$

कुछ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स के लिए नकारात्मक निश्चित है $M=M^{\textsf {T}}$. (प्रासंगिक ल्यपुनोव फ़ंक्शन है $V(x)=x^{\textsf {T}}Mx$.)

तदनुसार, समय-असतत रैखिक राज्य स्थान (नियंत्रण) मॉडल

${\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}$

यदि सभी eigenvalues ​​स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर हैं (वास्तव में, चरघातांकीय रूप से स्थिर)। $A$ निरपेक्ष मान से छोटा होता है।

इस बाद की स्थिति को स्विच्ड सिस्टम के लिए सामान्यीकृत किया गया है: रैखिक स्विच्ड असतत समय प्रणाली (मैट्रिसेस के सेट द्वारा शासित) $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$)

${{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}$

यदि सेट का संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या असममित रूप से स्थिर है (वास्तव में, घातीय रूप से स्थिर) $\{A_{1},\dots ,A_{m}\}$ से छोटा है.

इनपुट वाले सिस्टम के लिए स्थिरता

इनपुट (या नियंत्रण) वाले सिस्टम का स्वरूप होता है

${\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})$

जहां (आम तौर पर समय-निर्भर) इनपुट यू(टी) को नियंत्रण, बाहरी इनपुट के रूप में देखा जा सकता है, उत्तेजना, अशांति, या जबरदस्ती कार्य। यह दिखाया गया है संतुलन के बिंदु के करीब जो ल्यपुनोव स्थिर है, सिस्टम छोटी गड़बड़ी के तहत स्थिर रहता है। बड़ी इनपुट गड़बड़ी के लिए ऐसी प्रणालियों का अध्ययन नियंत्रण सिद्धांत का विषय है और नियंत्रण इंजीनियरिंग में लागू किया जाता है। इनपुट वाले सिस्टम के लिए, सिस्टम की स्थिरता पर इनपुट के प्रभाव की मात्रा निर्धारित करनी चाहिए। इस विश्लेषण के मुख्य दो दृष्टिकोण हैं बीआईबीओ स्थिरता (रैखिक प्रणाली के लिए) और इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता (आईएसएस) (अरेखीय प्रणाली के लिए)

उदाहरण

यह उदाहरण ऐसी प्रणाली दिखाता है जहां ल्यपुनोव फ़ंक्शन का उपयोग ल्यपुनोव स्थिरता को साबित करने के लिए किया जा सकता है लेकिन स्पर्शोन्मुख स्थिरता नहीं दिखा सकता है। घर्षण पद में परिवर्तन के साथ वैन डेर पोल ऑसिलेटर समीकरण के आधार पर निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

${\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.$

होने देना

$x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}$

ताकि संबंधित प्रणाली हो

${\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}$

मूल $x_{1}=0,\ x_{2}=0$ मात्र संतुलन बिंदु है। आइए हम ल्यपुनोव फ़ंक्शन के रूप में चुनें

$V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)$

जो स्पष्ट रूप से सकारात्मक-निश्चित कार्य है। इसका व्युत्पत्ति है

${\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.$

ऐसा लगता है कि यदि पैरामीटर $\varepsilon$ सकारात्मक है, स्थिरता के लिए स्पर्शोन्मुख है $x_{2}^{2}<3.$ लेकिन यह गलत है, क्योंकि ${\dot {V}}$ पर निर्भर नहीं है $x_{1}$, और हर जगह 0 होगा $x_{1}$ ्सिस। संतुलन ल्यपुनोव स्थिर है लेकिन स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर नहीं है।

बार्बलाट की प्रमेयिका और समय-भिन्न प्रणालियों की स्थिरता

मान लें कि f केवल समय का फलन है।

• रखना ${\dot {f}}(t)\to 0$ इसका मतलब यह नहीं है $f(t)$ पर सीमा है $t\to \infty$. उदाहरण के लिए, $f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0$.
• रखना $f(t)$ सीमा के करीब पहुंच रहा है $t\to \infty$ इसका मतलब यह नहीं है ${\dot {f}}(t)\to 0$. उदाहरण के लिए, $f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0$.
• रखना $f(t)$ निचली सीमा और घटती हुई (${\dot {f}}\leq 0$) तात्पर्य यह है कि यह सीमा तक अभिसरण करता है। लेकिन यह नहीं बताता कि है या नहीं ${\dot {f}}\to 0$ जैसा $t\to \infty$.

बार्बलाट की लेम्मा (गणित) कहती है:

अगर $f(t)$ की सीमित सीमा होती है $t\to \infty$ और अगर ${\dot {f}}$ समान रूप से सतत है (या ${\ddot {f}}$ घिरा हुआ है), फिर ${\dot {f}}(t)\to 0$ जैसा $t\to \infty$.

वैकल्पिक संस्करण इस प्रकार है:

होने देना $p\in [1,\infty )$ और $q\in (1,\infty ]$. अगर $f\in L^{p}(0,\infty )$ और ${\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )$, तब $f(t)\to 0$ जैसा $t\to \infty .$

निम्नलिखित रूप में लेम्मा वेक्टर वैल्यू वाले मामले में भी सत्य है:

होने देना $f(t)$ बनच स्पेस में मानों के साथ समान रूप से निरंतर फ़ंक्शन बनें $E$ और मान लीजिये $\textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau$ की सीमित सीमा होती है $t\to \infty$. तब $f(t)\to 0$ जैसा $t\to \infty$.

निम्नलिखित उदाहरण स्लोटिन और ली की पुस्तक एप्लाइड नॉनलाइनियर कंट्रोल के पृष्ठ 125 से लिया गया है।

गैर-स्वायत्त प्रणाली (गणित)|गैर-स्वायत्त प्रणाली पर विचार करें

${\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)$

${\dot {g}}=-e\cdot w(t).$

यह गैर-स्वायत्त है क्योंकि इनपुट $w$ समय का कार्य है. मान लें कि इनपुट $w(t)$ घिरा है।

ले रहा $V=e^{2}+g^{2}$ देता है ${\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.$ ये तो यही कहता है $V(t)\leq V(0)$ पहली दो शर्तों से और इसलिए $e$ और $g$ बंधे हुए हैं. लेकिन यह के अभिसरण के बारे में कुछ नहीं कहता है $e$ शून्य करने के लिए. इसके अलावा, लासेल के अपरिवर्तनीय सिद्धांत को लागू नहीं किया जा सकता, क्योंकि गतिशीलता गैर-स्वायत्त है।

बार्बलाट की लेम्मा का उपयोग करना:

${\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)$.

यह इसलिए बाध्य है $e$, $g$ और $w$ बंधे हुए हैं. यह संकेत करता है ${\dot {V}}\to 0$ जैसा $t\to \infty$ और इसलिए $e\to 0$. इससे सिद्ध होता है कि त्रुटि मिलती है।

यह भी देखें

• ल्यपुनोव समारोह
• लासेल का अपरिवर्तनशील सिद्धांत
• ल्यपुनोव-मल्किन प्रमेय
• मार्कस-यामाबे अनुमान
• लाइब्रेशन बिंदु कक्षा
• हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय
• क्षोभ सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002). Stability theory of dynamical systems. Springer. ISBN 978-3-540-42748-3.
• Chervin, Robert (1971). Lyapunov Stability and Feedback Control of Two-Stream Plasma Systems (PhD). Columbia University.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 407–428. ISBN 978-3-540-60988-9.
• Parks, P. C. (1992). "A. M. Lyapunov's stability theory—100 years on". IMA Journal of Mathematical Control & Information. 9 (4): 275–303. doi:10.1093/imamci/9.4.275.
• Slotine, Jean-Jacques E.; Weiping Li (1991). Applied Nonlinear Control. NJ: Prentice Hall.
• Teschl, G. (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Wiggins, S. (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos (2nd ed.). New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-00177-7.

This article incorporates material from asymptotically stable on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.