श्रृंखला बहुखंड

गणित में, घात श्रृंखला का बहुखंड एक नई घात श्रृंखला है जो मूल श्रृंखला से अपरिवर्तित रूप से निकाले गए समान दूरी वाले शब्दों से बनी होती है। औपचारिक रूप से, यदि किसी को एक शक्ति श्रृंखला दी जाती है

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}$

तो इसका बहुखंड रूप की एक शक्ति श्रृंखला है

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}$

जहाँ p, q पूर्णांक हैं, 0 ≤ p < q के साथ। श्रृंखला बहुखंड सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन परिवर्तन में से एक का प्रतिनिधित्व करता है।

विश्लेषणात्मक कार्यों का बहुखंड

एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन की श्रृंखला का एक बहुखंड

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cdot z^{n}$

फ़ंक्शन के संदर्भ में एक बंद-रूप अभिव्यक्ति है $f(x)$:

$\sum _{m=0}^{\infty }a_{qm+p}\cdot z^{qm+p}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}\cdot f(\omega ^{k}\cdot z),$

कहाँ $\omega =e^{\frac {2\pi i}{q}}$ एकता का एक आदिम nवाँ मूल है|एकता का आदिम q-वाँ मूल है। इस अभिव्यक्ति को अक्सर एकता फ़िल्टर की जड़ कहा जाता है। इस समाधान की खोज सबसे पहले थॉमस सिम्पसन ने की थी। यह अभिव्यक्ति विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि यह एक अनंत योग को एक सीमित योग में परिवर्तित कर सकती है। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, गॉस के डिगामा प्रमेय के मानक प्रमाण के एक महत्वपूर्ण चरण में किया जाता है, जो तर्कसंगत मान पी/क्यू पर मूल्यांकन किए गए डिगामा फ़ंक्शन का एक बंद-रूप समाधान देता है।

उदाहरण

द्विभाजन

सामान्य तौर पर, किसी श्रृंखला के द्विभाजन श्रृंखला के सम और विषम कार्य भाग होते हैं।

ज्यामितीय श्रृंखला

ज्यामितीय श्रृंखला पर विचार करें

$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}\quad {\text{ for }}|z|<1.$

व्यवस्थित करके $z\rightarrow z^{q}$ उपरोक्त शृंखला में इसके बहुखण्ड आसानी से देखे जा सकते हैं

$\sum _{m=0}^{\infty }z^{qm+p}={\frac {z^{p}}{1-z^{q}}}\quad {\text{ for }}|z|<1.$

यह याद रखते हुए कि बहुखंडों का योग मूल श्रृंखला के बराबर होना चाहिए, हम परिचित पहचान को पुनः प्राप्त करते हैं

$\sum _{p=0}^{q-1}z^{p}={\frac {1-z^{q}}{1-z}}.$

घातांकीय फलन

घातांकीय फलन

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}$

उपरोक्त सूत्र के माध्यम से विश्लेषणात्मक कार्यों को अलग किया जाता है

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\omega ^{-kp}e^{\omega ^{k}z}.$

द्विभाजन तुच्छ रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य हैं:

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m} \over (2m)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}+e^{-z}\right)=\cosh {z}$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{2m+1} \over (2m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(e^{z}-e^{-z}\right)=\sinh {z}.$

उच्च क्रम के मल्टीसेक्शन इस बात पर ध्यान देकर पाए जाते हैं कि ऐसी सभी श्रृंखलाओं को वास्तविक रेखा के साथ वास्तविक-मूल्यवान होना चाहिए। वास्तविक भाग लेकर और मानक त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके, सूत्रों को स्पष्ट रूप से वास्तविक रूप में लिखा जा सकता है

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{qm+p} \over (qm+p)!}={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}e^{z\cos(2\pi k/q)}\cos {\left(z\sin {\left({\frac {2\pi k}{q}}\right)}-{\frac {2\pi kp}{q}}\right)}.$

इन्हें रैखिक अवकल समीकरण के समाधान के रूप में देखा जा सकता है $f^{(q)}(z)=f(z)$ सीमा शर्तों के साथ $f^{(k)}(0)=\delta _{k,p}$, क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करते हुए। विशेष रूप से, त्रिखंड हैं

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m} \over (3m)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}+2e^{-z/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+1} \over (3m+1)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-e^{-z/2}\left(\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}-{\sqrt {3}}\sin {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{3m+2} \over (3m+2)!}={\frac {1}{3}}\left(e^{z}-e^{-z/2}\left(\cos {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}+{\sqrt {3}}\sin {\frac {{\sqrt {3}}z}{2}}\right)\right),$

और चतुर्खंड हैं

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m} \over (4m)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}+\cos {z}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+1} \over (4m+1)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}+\sin {z}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+2} \over (4m+2)!}={\frac {1}{2}}\left(\cosh {z}-\cos {z}\right)$

$\sum _{m=0}^{\infty }{z^{4m+3} \over (4m+3)!}={\frac {1}{2}}\left(\sinh {z}-\sin {z}\right).$

द्विपद शृंखला

द्विपद विस्तार का बहुखंड

$(1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x+{n \choose 2}x^{2}+\cdots$

x = 1 पर चरण q के साथ द्विपद गुणांकों के योग के लिए निम्नलिखित पहचान मिलती है:

${n \choose p}+{n \choose p+q}+{n \choose p+2q}+\cdots ={\frac {1}{q}}\cdot \sum _{k=0}^{q-1}\left(2\cos {\frac {\pi k}{q}}\right)^{n}\cdot \cos {\frac {\pi (n-2p)k}{q}}.$

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Series Multisection". MathWorld.
• Somos, Michael A Multisection of q-Series, 2006.
• John Riordan (1968). Combinatorial identities. New York: John Wiley and Sons.