संदृढ़ता आव्युह

For ठोस यांत्रिकी में कठोरता टेंसर, see हुक का नियम मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व (कठोरता टेंसर).

अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए परिमित तत्व विधि में, कठोरता आव्युह आव्युह (गणित) है जो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जिसे अंतर समीकरण के अनुमानित समाधान का पता लगाने के लिए हल किया जाना चाहिए।

पॉइसन समस्या के लिए कठोरता आव्युह

सरलता के लिए, हम पहले पॉइसन समस्या पर विचार करेंगे

$-\nabla ^{2}u=f$

कुछ डोमेन पर Ω, सीमा शर्त के अधीन u = 0 की सीमा पर Ω. परिमित तत्व विधि द्वारा इस समीकरण को भिन्न करने के लिए, कोई आधार कार्य का समूह चुनता है {φ₁, …, φ_n} पर परिभाषित किया गया Ω जो सीमा पर लुप्त भी हो जाते हैं। फिर अनुमान लगाता है

$u\approx u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.$

गुणांक u₁, u₂, …, u_n निर्धारित किया जाता है जिससे कि सन्निकटन में त्रुटि प्रत्येक आधार फलन के लिए ऑर्थोगोनल हो φ_i:

$\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u^{h}\,dx=-\sum _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\right)\,u_{j}=\sum _{j}\left(\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\right)u_{j}.$

कठोरता आव्युह है n-तत्व वर्ग आव्युह A द्वारा परिभाषित

$\mathbf {A} _{ij}=\int _{x\in \Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.$

सदिश को परिभाषित करके Fघटकों के साथ ${\textstyle \mathbf {F} _{i}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx,}$ गुणांक u_iरेखीय प्रणाली द्वारा निर्धारित होते हैं Au = F. कठोरता आव्युह सममित आव्युह है, अर्थात। A_ij = A_ji, इसलिए इसके सभी आइगेनवैल्यू ​​​​वास्तविक हैं। इसके अतिरिक्त, यह सख्ती से धनात्मक-निश्चित आव्युह है, जिससे कि प्रणाली Au = F के पास सदैव अनोखा समाधान होता है। (अन्य समस्याओं के लिए, यह अच्छी संपत्तियाँ खो जाएँगी।)

ध्यान दें कि कठोरता आव्युह डोमेन के लिए उपयोग किए गए कम्प्यूटेशनल ग्रिड और किस प्रकार के परिमित तत्व का उपयोग किया जाता है, इसके आधार पर भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, जब टुकड़ेवार द्विघात परिमित तत्वों का उपयोग किया जाता है तब कठोरता आव्युह में टुकड़ेवार रैखिक तत्वों की तुलना में स्वतंत्रता की अधिक डिग्री होगी।

अन्य समस्याओं के लिए कठोरता आव्युह

अन्य पीडीई के लिए कठोरता आव्युह का निर्धारण अनिवार्य रूप से ही प्रक्रिया का पालन करता है, किन्तु यह सीमा स्थितियों की पसंद से समष्टि हो सकता है। अधिक समष्टि उदाहरण के रूप में, अण्डाकार वक्र पर विचार करें

$-\sum _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}\right)=f$

कहाँ $\mathbf {A} (x)=a^{kl}(x)$ प्रत्येक बिंदु के लिए परिभाषित धनात्मक-निश्चित आव्युह है x डोमेन में. हम रॉबिन सीमा शर्त क्रियान्वित करते हैं

$-\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}=c(u-g),$

कहाँ ν_k इकाई जावक सामान्य सदिश का घटक है ν में k-वीं दिशा. हल करने की प्रणाली है

$\sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}\varphi _{j}\,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}g\,ds,$

जैसा कि ग्रीन की पहचान के एनालॉग का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। गुणांक u_i अभी भी रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके पाए जाते हैं, किन्तु प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाला आव्युह सामान्य पॉइसन समस्या से स्पष्ट रूप से भिन्न है।

सामान्यतः, प्रत्येक अदिश अण्डाकार ऑपरेटर के लिए L आदेश की 2k, द्विरेखीय रूप संबद्ध है B सोबोलेव क्षेत्र पर H^k, जिससे कि समीकरण का अशक्त सूत्रीकरण हो सके Lu = f है

$B[u,v]=(f,v)$

सभी कार्यों के लिए v में H^k. फिर इस समस्या के लिए कठोरता आव्युह है

$\mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].$

कठोरता आव्युह की व्यावहारिक असेंबली

कंप्यूटर पर परिमित तत्व विधि को क्रियान्वित करने के लिए, किसी को पहले आधार कार्यों का समूह चुनना होगा और फिर कठोरता आव्युह को परिभाषित करने वाले इंटीग्रल्स की गणना करनी होगी। सामान्यतः, डोमेन Ω को जाल निर्माण के कुछ रूपों द्वारा विभेदित किया जाता है, जिसमें इसे गैर-अतिव्यापी त्रिभुज जाल या जाल के प्रकारों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें सामान्यतः तत्वों के रूप में जाना जाता है। फिर आधार कार्यों को प्रत्येक तत्व के अंदर कुछ क्रम के बहुपद और तत्व सीमाओं के पार निरंतर चुना जाता है। सबसे सरल विकल्प त्रिकोणीय तत्वों के लिए टुकड़ावार रैखिक फलन और आयताकार तत्वों के लिए टुकड़ावार द्विरेखीय हैं।

तत्व कठोरता आव्युह A^[k]तत्व के लिए T_k आव्युह है

$\mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.$

अधिकांश मानों के लिए तत्व कठोरता आव्युह शून्य है i और j, जिसके लिए संबंधित आधार फलन शून्य हैं T_k. पूर्ण कठोरता आव्युह A तत्व कठोरता आव्युह का योग है। विशेष रूप से, उन आधार कार्यों के लिए जो केवल स्थानीय रूप से समर्थित हैं, कठोरता आव्युह विरल आव्युह है।

आधार कार्यों के अनेक मानक विकल्पों के लिए, अर्थात त्रिकोणों पर टुकड़े-टुकड़े रैखिक आधार कार्यों के लिए, तत्व कठोरता आव्युह के लिए सरल सूत्र हैं। उदाहरण के लिए, टुकड़ों में रैखिक तत्वों के लिए, शीर्षों वाले त्रिभुज पर विचार करें (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃), और 2×3 आव्युह को परिभाषित करें

$\mathbf {D} =\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{matrix}}\right].$

फिर तत्व कठोरता आव्युह है

$\mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\operatorname {area} (T)}}.$

जब अंतर समीकरण अधिक समष्टि होता है, मान लीजिए कि अमानवीय प्रसार गुणांक होता है, तब तत्व कठोरता आव्युह को परिभाषित करने वाले अभिन्न अंग का मूल्यांकन गॉसियन चतुर्भुज द्वारा किया जा सकता है।

कठोरता आव्युह की स्थिति संख्या संख्यात्मक ग्रिड की गुणवत्ता पर दृढ़ता से निर्भर करती है। विशेष रूप से, परिमित तत्व जाल में छोटे कोण वाले त्रिकोण कठोरता आव्युह के बड़े आइगेनवैल्यू ​​​​को प्रेरित करते हैं, जिससे समाधान की गुणवत्ता खराब हो जाती है।

संदर्भ

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• ग्रॉसमैन, सी.; रूस, एच.-जी.; स्टाइन्स, एम. (2007), आंशिक विभेदक समीकरणों का संख्यात्मक उपचार, बर्लिन, जर्मनी: स्प्रिंगर-वेरलाग, ISBN 978-3-540-71584-9
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